Show simple item record

dc.contributor.advisorAltınok Bhupal, Selma
dc.contributor.authorSarıoğlan, Samet
dc.date.accessioned2019-11-29T10:39:21Z
dc.date.issued2019
dc.date.submitted2019-08-08
dc.identifier.urihttp://hdl.handle.net/11655/11961
dc.description.abstractGiven a fnite graph G=(V,E), a commutative ring R with unity and an edge labeling function α that assigns the ideals of R to the edges of G, the pair (G,α) is called an edge labeled graph. A vertex labeling F ⊂ R |V | is said to be a generalized spline on (G,α) if the difference of the labels on adjacent vertices is an element of the ideal on the corresponding edge. The collection of all generalized splines on (G,α) over the base ring R is denoted by R(G,α) . There exists a ring and an R-module structure on R(G,α) . The module structure is studied with number of methods such as fow-up bases, the Chinese Remainder Theorem and linear algebra techniques in this thesis. We focus on the problems of freeness and finding bases for generalized spline modules. We give a combinatorial method to find the smallest leading entries of flow-up classes on any graph over principal ideal domains. We introduce a basis criteria for generalized spline modules on cycle graphs, diamond graphs and trees over greatest common divisor domains by using some determinantal techniques. We define the homogenization of an edge labeled graph to get more information about the generalized spline modules. This thesis includes six chapters. We give a survey of the literature on classical and generalized spline theory in Chapter 1. We give a detailed movitation of generalized spline theory. We summarize the results of the thesis. In Chapter 2, we give the necessary background knowledge such as the properties of CGD and LCM, the Chinese Remainder Theorem and the fundamentals of module theory and graph theory. In Chapter 3, we introduce basic definitions and properties of generalized spline theory. We study algebraic properties of the set R(G,α) and investigate the effect of changing the ordering of the vertices of (G,α) on the module structure of R(G,α) . Also, we define the matrix M(G,α) which is used for finding R-module generators of R(G,α) . In Chapter 4, we focus on a specific type of generalized splines, which is called flow-up classes. We formulate the smallest leading entries of flow-up classes on any graphs over any principal ideal domains by using some combinatorial techniques. We also investigate the existence of flow-up bases for R (G,α) . Moreover, we give an algorithm to compute flow-up classes that have smallest leading entries on arbitrary ordered cycles. In Chapter 5, we give a basis criteria for generalized spline modules on cycles, dia- mond graphs and trees over greatest common divisor domains by using determinantal techniques and flow-up classes. We generalize some previous works which are done for cycles and diamond graphs over integers and we introduce a basis criteria for generalized spline modules on trees. In order to do this, we use the smallest leading entries of flow-up classes that we formulate in Chapter 4. In Chapter 6, we defne the homogenization of an edge labeled graph in order to give a graded module structure to the set of generalized splines. We study the freeness relation between R(G,α) and the module of its homogenization. We also give some applications of the basis criteria that we introduce in Chapter 5.tr_TR
dc.language.isoentr_TR
dc.publisherFen Bilimleri Enstitüsütr_TR
dc.rightsinfo:eu-repo/semantics/openAccesstr_TR
dc.rightsCC0 1.0 Universal*
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/*
dc.subjectGeneralized splinestr_TR
dc.subjectGraphtr_TR
dc.subjectModuletr_TR
dc.subjectBasistr_TR
dc.titleAlgebraic Structure of Generalized Splinestr_eng
dc.title.alternativeGenelleştirilmiş Splineların Ceb irsel Yapısıtr_TR
dc.typeinfo:eu-repo/semantics/doctoralThesistr_TR
dc.description.ozetG sonlu bir çizge, R birimli değişmeli bir halka ve α, G çizgesinin kenarlarını R halkasının idealleri ile etiketleyen bir kenar etiketleme fonksiyonu olsun. (G,α) ikilisine bir kenar etiketli çizge denir. Bir (G,α) kenar etiketli çizgesi üzerinde bir genelleştirilmiş spline, komşu köşelerin üzerindeki etiketlerin farkı bu köşeleri bağlayan kenar üzerindeki idealin elemanı olacak şekilde bir F ⊂ R |V| köşe etiketlemesidir. R taban halkası ile bir (G,α) kenar etiketli çizgesi üzerinde tanımlı tüm genelleştirilmiş splineların kümesi R(G,α) ile gösterilir. R(G,α) kümesi halka ve R-modül yapılarına sahiptir. Bu tezde akış sınıfarı, Çin Kalan Teoremi ve lineer cebir teknikleri gibi yöntemler kullanarak genelleştirilmiş splineların modül yapısını çalışacağız. Genelleştirilmiş spline modüllerinin serbestlikleri ve taban bulma problemine odaklanacağız. Herhangi bir çizge ve temel ideal bölgesi üzerinde akış sınıflarının sıfırdan farklı ilk elemanlarının en küçüklerini bulmak için kombinatorik bir yöntem vereceğiz. Determinanta dayalı teknikler kullanarak taban halkası en büyük ortak bölen bölgeleri olmak üzere döngüler, elmas çizgeler ve ağaçlar üzerinde tanımlı genelleştirilmiş spline modülleri için bir taban kriteri sunacağız. Genelleştirilmiş spline modülleri ile ilgili daha fazla bilgi edinmek için kenar etiketli bir çizgenin homojenizasyonunu tanımlayacağız. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde klasik ve genelleştirilmiş spline teorisini literatür taraması yaparak sunacağız. Genelleştirilmiş spline teorisinin motivasyonunu detaylı bir şekilde vereceğiz. Tezin sonuçlarını özetleyeceğiz. İkinci bölümde ebob ve ekok kavramlarının özellikleri, Çin Kalan Teoremi, temel modül teori ve temel çizge teori gibi tez için gerekli ön bilgileri vereceğiz. Üçüncü bölüm genelleştirilmiş spline teorisinin temel tanımları ve özelliklerine ayrılmıştır. Bu bölümde R(G,α) kümesinin cebirsel özelliklerini vereceğiz. (G,α) çizgesinin köşelerinin sırasını değiştirmenin R(G,α) modülünün yapısına etkisini araştıracağız. Ayrıca R(G,α) için R-modül üreteçleri bulmak için kullanılan M(G,α) matrisini tanımlayacağız. Dördüncü bölümde genelleştirilmiş splineların akış sınıfları adı verilen özel bir sınıfına odaklanacağız. Herhangi bir çizge ve herhangi bir temel ideal bölgesi üzerinde akış sınıfarının sıfırdan farklı ilk elemanlarının en küçüklerini formülize edeceğiz. Ayrıca genelleştirilmiş spline modülleri için akış sınıflarından oluşan tabanların varlığını inceleyeceğiz. Buna ek olarak, karışık sıralı döngü çizgeler üzerinde sıfırdan farklı İlk elemanları en küçük olan akış sınıflarını hesaplamaya yönelik bir algoritma vereceğiz. Beşinci bölümde en büyük ortak bölen bölgeleri taban halkası ile döngüler, elmas çizgeler ve ağaçlar üzerinde tanımlı genelleştirilmiş spline modülleri için bir taban kriteri vereceğiz. Tamsayılar taban halkası ile döngüler ve elmas çizgeler için daha önce yapılmış çalışmaları genelleştireceğiz ve ağaçlar üzerinde tanımlı genelleştirilmiş spline modülleri için de biz bir taban kriteri sunacağız. Bunun yaparken dördüncü bölümde formülize ettiğimiz akış sınıfarının sıfırdan farklı ilk elemanlarının en küçüklerini kullanacağız. Altıncı bölümde genelleştirilmiş splineların kümesine bir dereceli halka yapısı vermek için kenar etiketli bir çizgenin homojenizasyonunu tanımlayacağız. Genelleştirilmiş spline modülleri ile onların homojenizasyonları arasındaki serbestlik ilişkisini inceleyeceğiz. Ayrıca beşinci bölümde elde ettiğimiz taban kriterlerinin bir uygulamasını vereceğiz.tr_TR
dc.contributor.departmentMatematiktr_TR
dc.embargo.termsAcik erisimtr_TR
dc.embargo.lift-
dc.fundingTÜBİTAKtr_TR


Files in this item

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record

info:eu-repo/semantics/openAccess
Except where otherwise noted, this item's license is described as info:eu-repo/semantics/openAccess