| dc.description.abstract | A Hadamard matrix is a square matrix with entries ±1 whose rows are orthogonal to each other. Hadamard matrices appear in various fields including cryptography, coding theory, combinatorics etc. This thesis takes an interest in γ-Butson-Hadamard matrix that is a generalization of Hadamard matrices for γ ∈ R ∩ Z[ζm]. These matrices are examined for non-existence cases in this thesis. In particular, the unsolvability of certain equations is studied in the case of cyclotomic number fields whose ring of integers is not a principal ideal domain. Winterhof et al. considered the equations for γ ∈ Z. We first extend this result to γ ∈ R ∩ Z[ζm] by using some new methods from algebraic number theory. Secondly, we obtain another method for checking the non-existence cases of these equations, which uses the tool of norm from algebraic number theory. Then, the direct applications of these results to γ-Butson-Hadamard matrices, γ-Conference matrices, nearly perfect sequences are obtained. Finally, the connection between nonlinear Boolean cryptographic functions and γ-Butson-Hadamard matrices having small |γ| is established. In addition, a computer search is done for checking the cases which are excluded by our results and for obtaining new examples of existence parameters.
Keywords: Butson-Hadamard matrices, algebraic number fields, nearly perfect sequences, conference matrices, cryptographic functions | tr_TR |
| dc.description.ozet | Hadamard matrisleri uygulamalı matematikte, kuantum bilgisayar bilimlerinde, telekomünikasyon, uydu teknolojileri, akıllı telefonlar ve kablosuz iletişim gibi alanlarda kullanılır. Modern KBÇE (Kod bölmeli çoklu erişim) tabanlı cep telefonları, baz istasyonlarına ulaşan sinyallerin karışması gibi durumları minimize etmede ve sinyalleri modülüze etmek için Hadamard matrisleri kullanılır. Kablosuz ağlarda saklanan bilgi, optik telekomünikasyon, sinir bilimi ve örüntü tanıma, Hadamard matrislerinin kullanıldığı diğer alanlardandır. Ek olarak, Hadamard matrisleri bilgisayar bilimlerinde örneğin, Hadamard kodlar (en iyi doğru- lama kodu olarak bilinir.) ve Hadamard kapıları (kuantum kapılarında kullanılır.) gibi bir çok alana doğrudan uygulanabilir (bkz. [8]).
Bu tezde, Butson-Hadamard matrislerinin bir sınıfı çalışılmış ve onların uygulamaları araştırılmıştır. Yakın tarihte γ ∈ Z için m-li γ-Butson Hadamard matrisleri WYZ [16] makalesinde çalışılmıştır. Bu tezde, m-li γ-Butson Hadamard matrisleri γ ∈ (Z[ζm] ∩ R)\Z için çalışılmış ve yeni γ-Butson Hadamard örnekleri, onların var olmasını sağlayan gereklilikler m ∈ Z+ ve ζm birimin m-inci dereceden kökü olmak üzere araştırılmıştır. WYZ [16] çalışmasındaki ve cebirsel sayı teorisindeki yöntemlerden ve sonuçlardan yararlanılıp m-li γ-Butson-Hadamard matrisleri üzerinde yeni sonuçlar bulunmuştur. Buna ek olarak, Hadamard matrisleri üzerindeki bu yeni sonuçlar, kodlama teorisi ve kriptografideki yeni uygulamaların araştırılmasında kullanılmıştır.
Bu tezde γ-Butson-Hadamard matrislerini yeni metotlarla analiz edip, onları kodlama teorisi ve kriptografiye uygulanması amaçlanmıştır. γ-Butson-Hadamard matrisleri üzerindeki yakın
zamanlı çalışmalarda kullanılan analizlerin daha genel hali geliştirilmiş ve yeni γ-Butson- Hadamard matrisleri keşfedilmiştir.
Girdileri ±1 olan ve tüm satırları birbirine dik olan karesel matrise, Hadamard matrisi denir. Hadamard matrislerinin ilk genelleştirilmesi, 1962 yılında Butson tarafından yapılmıştır. Butson, Hadamard matrislerinin girdileri için birimin 2-inci dereceden kökünü almak yerine, birimin m-inci dereceden karmaşık kökünü almıştır [3]. γ-Butson-Hadamard matrisleri, bir satırın diğer satırın karmaşık eşleniğiyle iç çarpımından elde edilen γ değeri dışında, Butson Hadamard matrislerine benzerdir. Butson-Hadamard matrisleri için en yaygın sonuç Brock’un [2] ve Winterhof vd. [16]’nin çalışmalarıdır.
Winterhof vd. γ-Butson-Hadamard matrisinin var olabilmesi için olan koşulları siklotomik cismin sayı halkası üzerindeki bir denkleme indirgediler. Yani, onlar aşada verilen denkle- min,
αα ̄ = ((γ + 1)v − γ)(v − γ)v−1, (0.1) v ∈ Z+ boyutlu γ-Butson Hadamard matrisini γ ∈ Z olmak üzere α ∈ Z çözümlerini düşündüler. Onlar, D = ((γ + 1)v − γ)(v − γ)v−1’nin temel ideal çarpanlarına ayrılmasını ve (1.1) denkleminin çözümünün var olmama koşullarını ele almışlardır. Ayrıca, D’nin ideal çarpanlarına ayrılabilmesi için yalnızca γ tam sayısını düşünmüşlerdir. Bu tezde, Bölüm 3’de γ ∈ Z[ζm] ∩ R için olan yöntem geliştirildi. γ ∈ Z[ζm] ∩ R olmak üzere (1.1) denkleminin çözümü olmaması için koşulları ele alındı. γ ∈ Z[ζm]∩R olduğunda (1.1)’in çözümü olamaması için ekstradan D’nin temel olmayan ideal çarpanının normu ile temel ideal çarpanının normunun aralarında asal olması koşuluna ihtiyacımız vardır (bkz. Theorem 3.3).
İkinci olarak, Bölüm 4’te, belirli γ ∈ Z[ζm] ∩ R için γ-Butson Hadamard matrisi var olmadığını kontrol etmek için bir yeni yöntem üretildi. (1.1) denklemindeki α’yı bölen asal ideallerin normunun α ̄ ‘yı da böldüğü gerçeği de kullanıldı. Bu yüzden, D’yi bölen her asal ideal p için, eğer p’nin normu tarafından bölünen D’nin normu, p’nin normuyla aralarında asalsa, (1.1)’in çözümü yoktur (bkz. Theorem 4.1). Ayrıca, D’nin normunun çarpanlarına ayrıldığında üsler en fazla bir ise (1.1)’nin hiç bir çözümü olmadığı açıktır (bkz Corollary 4.2). Sabit bir m ve ζm için v ∈ {2, 3, . . . , 100} üzerinde Teoremler 3.3 ve 4.1’in gücünü görmek için (1.1) denkleminin var olmaması bilgisayar tarama programı olan MAGMA [1] ile detaylı bir araştırma yapıldı. Teorem 3.3 ve Teorem 4.1 kullanılarak bazı değerler için γ-Butson-Hadamard matrislerinin var olmadığı görüldü. Diğer yandan, bu iki teoremin birbirlerini kapsamadığı gözlendi (bkz. Remark 4.4). Uygulamamızın MAGMA kodları tezin
ek kısmında verilmiştir.
Bölüm 5’te Teorem 3.3 ve Teorem 4.1’den çıkan iki yeni sonucu γ-Butson-Hadamard matrislerine uyguladık. Yani, γ-Butson-Hadamard matrislerinin var olmama koşulları için uygun v ∈ Z ve γ ∈ Z[ζm] ∩ R bulmaya çalıştık. Bu ise α ∈ Z[ζm] için αα ̄ = ((γ + 1)v − γ)(v−γ)v−1 denkleminin çözümü için gerekli koşullar bulmaya denktir. Bu yüzden, ana teoremlerimizi kullanarak, γ-Butson-Hadamard matrislerinin var olmadığı koşulları elde ettik (bkz. Corollary 5.9-(i) ve Corollary 5.11-(i)). Diğer yandan, dolanır (circulant) γ-Butson- Hadamard matrisinin ilk satırı neredeyse mükemmel diziye denktir (bkz. [5] ve Remark 5.8). Mükemmel diziler literatürde detaylı bir şekilde çalışılmış ve onların bir çok uygulaması üretilmiştir (bkz. [7]). Bu yüzden, bizim teoremlerimizi neredeyse mükemmel dizilere uygu- layıp, onların var olmama durumlarında gerekli koşulları belirttik(bkz. Corollary5.9-(ii) ve 5.11-(ii)).
Buna ek olarak, γ-Butson Hadamard matrisinin köşegeninin sıfır olma durumunda bu mat- ris, γ-Konferans matrisi adını alır. Benzer olarak, γ-Butson Hadamard matrisinin ve m-li neredeyse mükemmel dizilerinin birbirlerine denklikleri gibi, bir γ-Konferans matrislerinin de neredeyse mükemmel dizilere denklikleri vardır (bkz. Remark 5.8). Bölüm 5’te, γ- Konferans matrisleri ve m-li neredeyse mükemmel diziler için benzer var olmama sonuçları elde ettik (bkz. Corollary 5.10 ve 5.12).
Dolanır γ-Butson-Hadamard matrislerinin ve küçük |γ| için γ tipinde neredeyse mükemmel dizilerinin var olan durumları da tez kapsamında düşünülebilir. Çünkü, küçük |γ| değerlerine sahip mükemmel diziler bir çok uygulamada kullanılır. Bu yüzden, v ∈ {1, 2, . . . , 11} ve m ∈ {1, 2, . . . , 11} için MAGMA’yı kullanarak detaylı bir bilgisayar taraması yaptık ve γ tipinde neredeyse mükemmel dizilerin varlığı (ya da dolanır γ-Butson Hadamard matrisi) için γ aradık. γ tipinde yeni bir çok neredeyse mükemmel diziler elde ettik gerçekten de çok küçük γ’ya sahip bazı diziler bulduk (bkz. Tablo 5.1). Uygulamamızın MAGMA kodları tezin ekler bölümünde verilmiştir.
Sonuç olarak, tezde, bir Butson-Hadamard matrisi ile kriptografik fonksiyon arasındaki ilişki araştırıldı. Kriptografide, gizlilik (ya da güvenlik) doğrusal olmayan Boolean fonksiyonlar aracılığıyla şifreli metnin içindeki mesajı karıştıran blok şifreleme kullanılarak sağlanır. Lineer olmama durumu maksimum olan bir Boolean fonksiyonu, Bent fonksiyon olarak adlandırılır. Butson Hadamard matrisleri, kriptografik bent fonksiyonlarının bir eşiti (dengi) olarak bilinir (bkz. [10] ya da Teorem 6.7). Bölüm 6’da bu denklik kullanarak, γ-Butson-Hadamard matrisini bir Boolean fonksiyonuna dönüştürüldü. Bir hayli küçük bir |γ| değeri- ne sahip dolanır γ-Butson-Hadamard matrisleri kullanılarak elde edilen büyük bir lineer ol- mama ölçüsüne sahip Boolean fonsiyonları bulunabileceği gözlemlenmiştir (bkz. Tablo 6.1).
Anahtar Kelimeler: Butson-Hadamard matrisleri, cebirsel sayı cisimleri, neredeyse mü- kemmel diziler, konferans matrisleri, kriptografik fonksiyonlar | tr_TR |
