KAYDIRILMIŞ FREKANSTA İÇ EŞDEĞERLİK ALGORİTMASININ İKİ BOYUTLU ELEKTROMANYETİK SAÇILMA PROBLEMLERİNDE BAŞARIMININ İNCELENMESİ PERFORMANCE EVALUATION OF SHIFTED FREQUENCY INTERNAL EQUIVALENCE ALGORITHM FOR TWO DIMENSIONAL ELECTROMAGNETIC SCATTERING PROBLEMS ALPER ÜNAL Prof. Dr. Adnan Köksal Tez Danışmanı Hacettepe Üniversitesi Lisansüstü Eğitim - Öğretim ve Sınav Yönetmeliği’nin Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı İçin Öngördüğü YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır. 2016 ÖZET KAYDIRILMIŞ FREKANSTA İÇ EŞDEĞERLİK ALGORİTMASININ İKİ BOYUTLU ELEKTROMANYETİK SAÇILMA PROBLEMLERİNDE BAŞARIMININ İNCELENMESİ ALPER ÜNAL Yüksek Lisans, Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü Tez Danışmanı: Prof. Dr. Adnan Köksal Aralık 2016, 67 sayfa Bu tezde, homojen olmayan iki boyutlu cisimlerden elektromanyetik saçılma incelenmiştir. Dielektrik cisimler içeren ışıma ve saçılma problemleri yüzey in- tegral denklemleri (YİD) veya hacim integral denklemleri (HİD) kullanılarak çö- zülebilir. YİD cismin yüzeyinde konumlanmış bilinmeyenler kullanır ve homojen problemlere uygulanır. HİD ise cismin içinde dağılmış bilinmeyenler kullanır. HİD yöntemi ile homojen olmayan, yani içinde dielektrik ve manyetik özellikle- rin konuma göre değiştiği cisimlerin de incelenmesi mümkün olmaktadır. Bu problemlerde nümerik bir çözüm elde etmek için öncelikle bilinmeyen akım yoğunlukları Moment Metodu (MM) kullanılarak ayrıklaştırılır. Ayrıklaştırılmış integral denklemi daha sonrasında doğrusal denklemlere dönüştürülür. Son olarak, elde edilen doğrusal denklemlerin çözümü ile bilinmeyen akımlar bulu- nur. Çözümü yapılan doğrusal denklemin, başka bir ifadeyle, matrisin boyutları ise cismin elektriksel boyutları ile doğru orantılıdır. HİD yöntemi cismin içeri- sinde de bilinmeyenler tanımladığı için matris boyutları hızlıca büyümektedir. Bu çözüm yöntemleri kullanılarak yapılan çalışmalarda sıklıkla farklı frekans- larda çözümlere ihtiyaç duyulmaktadır. Böyle bir durumda, bu büyük matrislerin her frekans için oluşturulması ve çözülmesi gerekli olmaktadır. i Daha önceden Kaydırılmış Frekansta İç Eşdeğerlik (KFİE) ilkesi ile yapılan çö- zümlemelerde farklı frekanslarda yapılacak çözümler için matris elemanlarının hepsinin tekrar hesaplanmasının gerekmediği gösterilmiştir. Hacim etkileşim- leri olarak nitelendirilebilecek ve matrisin büyük kısmını oluşturan elemanlar sadece tek bir frekansta hesaplanıp, diğer frekanslarda ise sadece basit ope- rasyonlar ile tekrar kullanılabilmektedir. Çözümün istendiği diğer frekanslarda sadece yüzey etkileşimleri tekrar hesaplanmaktadır. Bu sayede, homoejen ol- mayan bir problemin çoklu frekans çözümünde matris doldurma kısmı etkin olarak homojen bir problemin çözümü gibi verimli olabilmektedir. KFİE yöntemi ile yapılan iki boyutlu çözümlemelerin özellikle doğruluk, bant ge- nişliği ve ihtiyaç duyduğu bilgisayar kaynakları açısından incelenmesi bu tezin konusudur. Bu incelemenin yapılabilmesi için elektriksel olarak farklı büyük- lüklerde, içerisinde malzeme özellikleri sürekli ve süreksiz bir şekilde değişen problemlerin çözümleri yapılmıştır. Karşılaştırmada kullanılacak MM sonuçları- nın doğruluğunun gösterilebilmesi için homojen bir problemin analitik, moment metodu ve KFİE yöntemleri ile elde edilen çözümleri de karşılaştırılmıştır. Ho- mojen olmayan problemlerde referans olarak kullanılacak bir analitik sonuç ol- madığı için MM ve KFİE yöntemleri kendi aralarında kıyaslanmıştır. Buna ek olarak, çeşitli sayıda frekans için yapılan çözümlemelerin zamanları karşılaş- tırılmış ve KFİE yöntemi ile bu çözümlerin ne kadar hızlandığı gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler: Moment Metodu, İntegral Denklemleri, Hacim İntegral Denk- lem, Kaydırılmış Frekansta İç Eşdeğerlik, Saçılma Problemi. ii ABSTRACT PERFORMANCE EVALUATION OF SHIFTED FREQUENCY INTERNAL EQUIVALENCE ALGORITHM FOR TWO DIMENSIONAL ELECTROMAGNETIC SCATTERING PROBLEMS ALPER ÜNAL Master of Science, Department of Electrical and Electronics Engineering Supervisor: Prof. Dr. Adnan Köksal December 2016, 67 pages In this thesis, scattering from two dimensional inhomogeneous dielectric bo- dies is investigated. Radiation and scattering problems involving dielectric ob- jects can be formulated by using surface integral equation (SIE) methods or volume integral equation (VIE) methods. SIE methods employ unknown cur- rents that reside on the surface of the geometry and are employed to formulate problems involving homogeneous bodies. VIE methods, on the other hand, employ unknown current densities that are distributed inside the geometry and allow problems involving inhomogeneous bodies to be solved. Numerical so- lution to these problems start with the discretization of the integral equations by a method of moments (MoM) scheme. Discretized integral equations are then converted into matrix equations which are solved to obtain unknown cur- rent coefficients. Numbers of elements in these matrix equations are closely related to the electrical size of the problem. Since VIE methods use volumetric currents, matrix sizes can quickly become very large. Usually these compu- tationally intensive operations are required in multiple frequencies covering a bandwidth. In this case, a lengthy solution process needs to be repeated for each frequency of interest. iii It has been shown earlier that by using Shifted Frequency Internal Equivalence (SFIE), it is not necessary to calculate all of the matrix elements for different incident frequencies. It is possible to reuse volume interactions within a wide frequency band by performing only algebraic manipulations. Only the matrix elements which correspond to surface interactions need to be recalculated for the solution at a different incident frequency. By reusing a large part of the matrix, computational complexity of the matrix filling part of the problem is effectively reduced to that of a homogeneous problem, although the body is inhomogeneous. It is the aim of this thesis to investigate the computational performance of SFIE in terms of accuracy, bandwidth, and required computer resources. In order to assess SFIE, analysis results for different, electrically large inhomogeneous scatterers with slowly and rapidly varying material properties are presented. Near and scattered far fields are calculated to assess the accuracy of SFIE. When possible, comparisons with analytical results are made. When analytical results are not available, comparisons with MoM results are made. It is shown that SFIE produces accurate results within a wide frequency band. Since com- putational complexity of the problem is effectively reduced, it will also be shown that SFIE accelerates the frequency sweeps of the multi-frequency scattering problems. Keywords: Method of Moments, Integral Equations, Volume Integral Equation, Shifted Frequency Internal Equivalence, Scattering Problem. iv TEŞEKKÜR Yüksek lisans çalışmam boyunca her zaman motive edici, anlayışlı ve yürek- lendirici olan, ayrıca bilgisi ve deneyimi ile sadece tez çalışmalarımda değil, hayatımı yaşayışımda da yol gösterici olan değerli tez danışmanım Prof. Dr. Adnan Köksal’a, çalışmalarım için imkan sağlayan ve destek veren Meteksan Savunma’ya ve iş arkadaşlarıma, bugünlere gelmemi sağlayan aileme, ve bana hep güvenen, her zaman yanımda olup destek veren ve yüreklendiren sevgili eşim Sıla’ma teşekkür ederim. v İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v İÇİNDEKİLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi ŞEKİLLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii ÇİZELGELER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. İKİ BOYUTLU PROBLEMLER İÇİN KFİE ALGORİTMASI . . . . . . . . . . . 6 2.1. Formülasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. MOMENT METODU İLE FORMÜLASYON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1. İki Boyutlu İnhomojen Cisimlerden Saçılım. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2. İki Boyutlu Problemlerde Green Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3. Alan-Kaynak İlişkileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3.1. Elektrik ve Manyetik Akımların Oluşturduğu Elektrik Alan İfadeleri . 16 3.3.2. Elektrik ve Manyetik Akımların Oluşturduğu Manyetik Alan İfadeleri 18 3.4. Moment Metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.5. Açılım ve Test Fonksiyonlarının İntegral Denklemlere Uygulanması . 23 3.5.1. Elektrik ve Manyetik Akımların Oluşturduğu Elektrik Alan İfadelerinin Ayrıklaştırılması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5.2. Elektrik ve Manyetik Akımların Oluşturduğu Manyetik Alan İfadelerinin Ayrıklaştırılması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6. Geometrinin Ayrıklaştırılması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.6.1. Tekillik İçermeyen Nümerik İntegrasyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6.2. H2 0 (k |r− r′|)’nin Yüzey İntegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6.3. H2 0 (k |r− r′|)’nin Çizgi İntegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 vi 3.7. Tekillik İçeren Nümerik İntegrasyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.7.1. H2 0 (k |r− r′|)’nin Yüzey İntegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.7.2. H2 0 (k |r− r′|)’nin Çizgi İntegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4. NÜMERİK SONUÇLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1. Homojen Dairesel Silindir Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2. Parçalı Kare Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3. Değişken Malzemeli Küçük Daire Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4. Değişken Malzemeli Büyük Daire Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5. MM ve KFİE Yönteminin Zaman Karşılaştırması . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5. SONUÇ VE TARTIŞMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 ÖZGEÇMİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 vii ŞEKİLLER Sayfa Şekil 2.1. İnhomojen saçıcı içeren elektromanyetik problem. . . . . . . . . . . . 7 Şekil 2.2. Saçılım problemi için elde edilen iç eşdeğerlilik. . . . . . . . . . . . . . 8 Şekil 2.3. Saçılım problemi için elde edilen dış eşdeğerlilik. . . . . . . . . . . . . 9 Şekil 3.1. Homojen olmayan saçıcı içeren elektromanyetik problem. . . . . 13 Şekil 3.2. Çeşitli kR değerleri için Green fonksiyonunun değişimi. . . . . . . 15 Şekil 3.3. Dairesel saçıcının farklı üçgenlemeleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Şekil 3.4. Tek bir üçgen üzerinde Green fonksiyonu nümerik integrasyon karşılaştırması. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Şekil 4.1. Homojen daire problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Şekil 4.2. Homojen dairesel saçıcı için MM ve KFİE yöntemlerinin analitik sonuçlar ile karşılaştırılması. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Şekil 4.3. Homojen problem için elde edilen analitik RKA değerlerinin MM ve KFİE yöntemi ile karşılaştırılması. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Şekil 4.4. Parçalı kare problemi geometrisi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Şekil 4.5. Düşük kontrastlı parçalı kare problemi için KFİE’nin MM’ye göre yüzde RKA hataları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Şekil 4.6. Düşük kontrastlı parçalı kare problemi için KFİE’nin MM’ye göre yüzde RKA hataları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Şekil 4.7. Düşük kontrastlı parçalı kare problemi için çeşitli frekanslarda MM ve KFİE’nin açıya bağlı RKA karşılaştırması. 45 Şekil 4.8. Yüksek kontrastlı parçalı kare problemi için çeşitli frekanslarda MM ve KFİE’nin açıya bağlı RKA karşılaştırması. 46 Şekil 4.9. Değişken malzemeli küçük daire problemi geometrisi. . . . . . . . 47 Şekil 4.10. Değişken malzemeli küçük daire problemi için MM ve KFİE yöntemlerinin yüzde RKA hataları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Şekil 4.11. Değişken malzemeli küçük daire problemi için çeşitli frekanslarda MM ve KFİE yöntemi RKA karşılaştırması. . . . . . . 49 Şekil 4.12. Değişken malzemeli büyük daire problemi geometrisi. . . . . . . . 50 viii Şekil 4.13. Yüksek kontrastlı değişken malzemeli büyük daire problemi için 1.0 GHz frekansında MM (a), (c), (e) ve KFİE (b), (d), (f) ile hesaplanmış alanlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Şekil 4.14. Değişken malzemeli düşük kontrastlı büyük daire problemi için MM ve KFİE yöntemlerinin yüzde RKA hataları. . . . . . . . . . 53 Şekil 4.15. Değişken malzemeli düşük kontrastlı büyük daire problemi için çeşitli frekanslarda MM ve KFİE’nin RKA karşılaştırması. . 54 Şekil 4.16. Yüksek kontrastlı değişken malzemeli büyük daire problemi için KFİE’nin MM’ye göre yüzde RKA hataları. . . . . . . . . . . . . . . 56 Şekil 4.17. Yüksek kontrastlı değişken malzemeli büyük daire problemi için çeşitli frekanslarda MM ve KFİE’nin RKA karşılaştırması. . 57 Şekil 4.18. Yüzde RKA hatasının yüksek olduğu frekanslarda açıya bağlı RKA değerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Şekil 4.19. MM ve KFİE yöntemleri toplam hesaplama zamanları. . . . . . . . 59 Şekil 4.20. KFİE yöntemi ile elde edilen hızlanma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ix ÇİZELGELER Sayfa Çizelge 4.1. Değişken malzemeli küçük daire problemi düşük kontrast durumu için üçgenleme bilgileri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Çizelge 4.2. Değişken malzemeli düşük kontrastlı büyük daire problemi üçgenleme bilgileri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Çizelge 4.3. Değişken malzemeli, yüksek kontrastlı büyük daire problemi üçgenleme bilgileri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1 1. GİRİŞ Cisimlerin elektromanyetik dalgalar ile etkileşiminin incelenmesi büyük önem taşımaktadır. Bu incelemeler sıklıkla ölçümler veya elektromanyetik analizler vasıtasıyla yapılmaktadır. Ölçümlerin sağlıklı yapılabilmesi çoğu zaman pra- tik zorluklar içermektedir, bu sebeple elektromanyetik analizlerin doğru ve hızlı bir şekilde yapılabilmesinin önemi artmaktadır. Denklem (1.1-1.4)’de gösterilen Maxwell denklemleri ve uygun sınır koşulları bu problemlerin çözümü için kul- lanılabilecek araçlardır. Ancak, bu denklemlerin açık çözümleri sadece belirli basit geometrilerle sınırlı kalmaktadır. Gerçek hayatta karşılaşılabilecek çok daha karmaşık yapılar için nümerik yöntemlerin kullanımı yaygındır. ∇× H(r, t) = ∂D(r, t) ∂t + J(r, t) (1.1) ∇× E(r, t) = −∂B(r, t) ∂t (1.2) ∇ · D(r, t) = ρ(r, t) (1.3) ∇ · B(r, t) = 0 (1.4) Elektromanyetik problemlerin çözümü için kullanılan nümerik yöntemler, dife- ransiyel denklem tabanlı ve integral denklemi tabanlı olmak üzere ikiye ay- rılabilir. Sonlu elemanlar yöntemi (FEM) [1] ve zaman uzamında sonlu fark- lar (FDTD) [2] yöntemleri sıklıkla kullanılan diferansiyel denklem yöntemleridir. Buna karşılık, moment metodu (MM) [3] ise çok tercih edilen bir integral denk- lem tabanlı nümerik yöntemdir. Yakın geçmişte moment metodunu bilgisayar kaynakları açısından daha verimli kılabilmek için Çokseviyeli Hızlı Çokkutup Al- goritması (MLFMA) [4] gibi yöntemler de geliştirilmiş ve integral denklem yön- temleri çok büyük ve karmaşık problemlerin çözümünde kullanılabilmiştir [5]. 2 İntegral denklem yöntemleri de kendi aralarında yüzey ve hacim integral denk- lem metodları olarak ayrılabilir. Yüzey integral denklem (YİD) yöntemleri özel- likle mükemmel iletken cisimler içeren yapıların analizinde kullanılmaktadır. Pa- ralel bilgisayarlarda çalışan MLFMA yöntemi ile 1801.25λ0 çapında bir küre problemi 3.5 milyar bilinmeyen kullanılarak çözülebilmiştir [6]. Benzer şekilde aynı yöntem çeşitli anten yapılarının analizi ve tasarımı için de kullanılmış- tır [7–9]. Farklı yüzey integral denklemleri kullanılarak homojen dielektrik veya metalik yapılar içeren elektromanyetik problemlerin çözümü de mümkündür [10]. Öte yandan, cismin dielektrik ve manyetik malzeme özellikleri, içinde bu- lunduğu ortamınkilere çok yaklaştığında, YİD yöntemleri hatalı sonuçlar ver- mekte ve bu durumun düzeltilmesi için özel önlemlerin alınması gerekmekte- dir [11]. Bu tez kapsamında iki boyutlu ve homojen olmayan dielektrik yapılardan elektro- manyetik saçılma problemleri incelenecektir. Bu problemlerde cisimlerin di- elektrik ve manyetik malzeme özellikleri saçıcı içerisinde değişiklik göstermek- tedir. Homojen olmayan saçıcıların çözülebilmesi için yüzey integral denklem- leri yeterli olmamaktadır, cisim içerisinde kalan hacmin ayrıklaştırıldığı hacim integral denklemleri (HİD) kullanılmalıdır [12]. Buna ek olarak, HİD, homo- jen yapılar için de kullanılabilir. Bir başka olumlu özellik olarak, YİD yönte- minde karşılaşılan düşük kontrast problemleri, HİD yönteminde bulunmamak- tadır [11]. Ancak, saçıcı içerisindeki hacmin ayrıklaştırılması, neredeyse her zaman sadece yüzeyin ayrıklaştırıldığı duruma göre daha büyük problemlerin çözümünü gerektirecektir. Dolayısıyla HİD yöntemi homojen problemlerin çö- zümünde çoğunlukla tercih edilmez. Bu tez kapsamında yapılan çalışmalar iki boyutlu yapıları kapsadığı için, lite- ratürde hacim olarak ifade edilen kısım yüzeye dönüşmektedir. Benzer şekilde yüzey olarak ifade edilen kısım ise kenara dönüşmektedir. Ancak, literatür ile uyumlu olmak adına, tez kapsamında hacim ve yüzey kelimelerinin kullanıl- ması tercih edilmiştir. 3 MM ile yapılan çözümlemelerde en önemli kısıt bilgisayar kaynakları, yani bel- lek ve işlemci gücüdür. Ayrıca, MM frekans bölgesi yöntemi olduğu için ince- lenmek istenen her frekansta ayrı bir çözüm yapılması da gereklidir. Genelde empedans matrisi Z ’nin doldurulması çözümlemenin en uzun süren kısmıdır. Literatürde empedans matrisinin diğer çözüm yapılacak frekanslarda da kulla- nılabilmesi, dolayısı ile bilgisayar kaynaklarından tasarruf sağlanması için ya- pılmış çalışmalar bulunmaktadır. Newman’ın önerdiği yöntem [13] çözümleme yapılacak geniş frekans aralığı içerisinde üç adet noktada matrisin hesaplanması ve depolanması ile başlar. Burada hesaplama yapılan frekansların arasının açık olması önemlidir. Daha sonra çözüm yapılacak diğer frekanslarda empedans matrisi önceden hesap- lanan üç matris kullanılarak, aradeğerleme ile kestirilir. Bu yöntem empadans matrisindeki frekansa bağlı değişimlerin akımlar ve alanlara göre daha az ol- ması özelliğinden faydalanır. Çalışmada örnek olarak bir tel antenin geniş fre- kans giriş empedans çözümü yapılmıştır. 200 MHz ve 1400 MHz aralığında yapılan çözümlemede 500, 800 ve 1100 MHz noktaları önden hesaplanmış- tır. Geri kalan noktalar ise matris interpolasyonu ile elde edilmiştir. Çalışmada önerilen yöntemin önemli bir dezavantajı ise fazladan üç adet empedans mat- risinin program boyunca bellekte tutulmasıdır. Dolayısı ile işlemci gücünden yapılan tasarrufun karşılığı artan bellek gereksinimi olmaktadır. Çoklu frekans çözümleme için literatürde önerilen bir başka yöntem ise asim- totik dalga biçimi tespitidir (AWE) [14] [15]. Bu yöntemde elektrik akımları be- lirli bir frekans etrafında Taylor serisi ile açılır. Dolayısı ile, belirli bir frekans aralığında seri açılımının hassaslığı ile orantılı doğrulukta akımlar elde edilir. Daha sonra bu akımlar radar kesit alanı (RKA) gibi diğer değerlerin hesaplan- masında kullanılabilir. Taylor açılımının mertebesi elde edilen akımların doğru olduğu frekans aralığını etkilemektedir. Daha geniş aralıkta çözümleme isten- diğinde Taylor serisi katsayıları Padé yaklaşımlarına uyumlandırılır. Bu sayede, 10-50 GHz gibi oldukça geniş bir frekans aralığında iyi sonuçlar elde edilebil- 4 miştir. Öte yandan, bu yöntem de empedans matrisinin kopyalarının bellekte tutulmasını gerektirmektedir. Dolayısı ile elde edilebilecek kazanımlar arade- ğerleme yöntemleri ile benzerdir ve büyük problemler için uygun değildir. Bu tez kapsamında çoklu frekans çözümlemeleri için kaydırılmış frekansta iç eşdeğerlik (KFİE) [16,17] algoritması kullanılmıştır. Önceki paragraflarda bah- sedilen yöntemler özünde aradeğerleme ve seri açılımı yaklaşımları üzerine kurulmuştur. Kaydırılmış frekansta iç eşdeğerlik ilkesine göre ω frekansındaki elektromanyetik alanlar, ω0 frekansında ve serbest uzayda ışınım yapan eşde- ğer hacim ve yüzey akımları kullanılarak elde edilebilmektedir [16]. Bu eşde- ğerlik kullanılarak çözülecek problemin iç eşdeğerliği ω0 frekansında oluşturu- lup, gelen alan frekansı ω istenen bant içerisinde seçilebilir ve hacim etkileşim- lerinin her frekans için tekrar hesaplanması engellenebilir. Dolayısı ile, tek bir frekans için doldurulan empedans matrisinin sadece yüzey kaynakları, yani dış eşdeğerlik kaynakları, diğer frekanslar için tekrar hesaplanarak çoklu frekans çözümü elde edilebilir. Sadece dış eşdeğerliğin kullanıldığı frekanslarda prob- lem etkin kompleksite olarak yüzey integral denklemlerine indirgenmiş olur. Bu- nun sonucunda işlemci gücü kaynaklarından önemli tasarruflar yapılmış olur. Önceki paragraflarda önerilen yöntemlere karşıt olarak KFİE ile yapılan çö- zümlemelerde empedans matrisinin kopyalarının saklanması gerekmemekte- dir. Sadece yüzey bilinmeyenleri empadans matrisine eklenmektedir. Dolayısı ile problemin çözümünde bellek isterleri de ciddi şekilde artmamaktadır. İlerleyen bölümlerde MM ve KFİE yöntemlerinin detayları ve elde edilen nü- merik sonuçlar paylaşılacaktır. Sonuçlar RKA değerleri açısından birbirleriyle karşılaştırılacak ve yüzde hatalar tanımlanacaktır. Çalışma, sonuçlar ve ileride yapılması planlanan işler bölümü ile sonlanacaktır. 5 2. İKİ BOYUTLU PROBLEMLER İÇİN KFİE ALGORİTMASI 2.1 Formülasyon Homojen olmayan ve gelişigüzel geometrisi olan bir cisimden saçılım prob- lemi Şekil 2.1’de verilmiştir. Bu problemde malzeme özellikleri, εr ve µr , cisim içerisinde değişik değerler alabilmektedir ve V hacmi içerisinde her yerde tü- revlenebilir oldukları varsayılmaktadır. Şekil 2.1’de gösterilen Ji ω ve Mi ω kaynakları ω frekansında ve saçıcının yoklu- ğunda gelen (Ei ω,Hi ω) alanlarını oluşturur. Formülasyonda gelen alanın bilindiği ve aşağıdaki ifadeleri kaynakların ve saçıcı cismin bulunduğu alanların dışında sağladığı varsayılmaktadır. ∇× Ei ω = −jωµ0Hi ω (2.1) ∇× Hi ω = jωε0Ei ω (2.2) Toplam alanlar (Eω,Hω) ise problemin bilinmeyenleri olup, çözüm sonucunda elde edileceklerdir. Benzer şekilde, toplam alanlar da saçıcı objenin içerisinde aşağıdaki ifadeleri sağlamaktadır. ∇× Eω = −jωµHω (2.3) ∇× Hω = jωεEω (2.4) 6 (Ji ω ,Mi ω) (Eω , Hω) (εr , µr) (Eω ,Hω) (ε ,µ ) (Ji ω ,Mi ω) v s(εr ,µr) s Şekil 2.1. İnhomojen saçıcı içeren elektromanyetik problem. Bu saçılım probleminin her bir ω gelen alan frekansında çözülebilmesi için bir hacim-yüzey integral denklemi formülasyonu yapmak mümkündür. Bu formü- lasyonda iç ve dış eşdeğerlikler yazılıp, teğet alanların V ’nin sınırı olan S yüze- yinde eşitlenmesi sonucunda integral denklem elde edilecektir. Bu çalışmada da bu yöntem izlenmiştir. Ancak, iç eşdeğerliğin formülasyonunda KFİE kulla- nılacaktır. KFİE saçıcının içerisinde de kaynakların bulunduğu daha genel bir durum için [16]’te kanıtlanmıştır. Aşağıda verilen eşdeğer hacim ve yüzey kaynakları ve KFİE kullanılarak prob- lemin yüzeyinde ve içerisindeki (Eω,Hω) toplam alanları hesaplanabilmektedir. Bu ifadelerde n̂’in yüzey normal vektörü olduğu ve V hacminden dışarı doğru yöneldiği kabul edilmiştir. Buna ek olarak, bu kaynaklar ω0 frekansında ve boş uzayda yayılım yapmaktadır. Elde edilen iç eşdeğerlik Şekil 2.2’de gösterilmiş- tir. 7 (J v ω0 , M v ω0 ) (ε0 , µ0) v s J s ω0 M s sM s ω0 Şekil 2.2. Saçılım problemi için elde edilen iç eşdeğerlilik. Jv ω0 = j(ωε− ω0ε0)Eω (2.5) Mv ω0 = j(ωµ− ω0µ0)Hω (2.6) Js ω0 = −n̂× Hω (2.7) Ms ω0 = n̂× Eω (2.8) Benzer şekilde bu problem için elde edilmiş dış eşdeğerlik ise Şekil 2.3’te gösterilmiştir. Bu eşdeğerliğin oluşturulması için alışılagelmiş yüzey kaynak- ları olan −Js ω0 ve −Ms ω0 kullanılmıştır. Bu akımlar hacmin dışında doğru saçılan alanları oluşturmakta, hacmin içinde ise yok oluş teoremine uymaktadır. Kurulan eşdeğerlikler teğet alanların yüzey üzerinde eşitlenmesi şeklinde kul- lanıldığında çözülebilir bir integral denklem kümesi elde edilmiş olur. 8 (-E s ω ,-H s ω) (ε0 ,µ0) v s -J s ω0 (E s ω ,H s ω) (ε ,µ ) s -M s ω0 (ε0 ,µ0) Şekil 2.3. Saçılım problemi için elde edilen dış eşdeğerlilik. Erω0(J v ω0 , Mv ω0 , Js ω0 , Ms ω0 ) = Eω (V'de) (2.9) Hrω0(J v ω0 , Mv ω0 , Js ω0 , Ms ω0 ) = Hω (V'de) (2.10) Erω(−Js ω0 ,−Ms ω0 )tan + Ei ω tan = Erω0(J v ω0 , Mv ω0 , Js ω0 , Ms ω0 )tan (S'de) (2.11) Hrω(−Js ω0 ,−Ms ω0 )tan + Hi ω tan = Hrω0(J v ω0 , Mv ω0 , Js ω0 , Ms ω0 )tan (S'de) (2.12) Yukarıda verilen eşitliklerde tan ifadesi alanların teğet bileşenlerini ifade etmek- tedir. Erω0(J v ω0 , Mv ω0 , Js ω0 , Ms ω0 ) ve Hrω0(J v ω0 , Mv ω0 , Js ω0 , Ms ω0 ) ise kaydırılmış frekans eşdeğer kaynakların boş uzayda ω0 frekansında oluşturdukları alanları belirt- mektedir. Benzer şekilde Erω(−Js ω0 ,−Ms ω0 ) ve Hrω(−Js ω0 ,−Ms ω0 ) ise Js ω0 ve Ms ω0 kaydırılmış frekans akımlarının boş uzayda oluşturduğu elektrik ve manyetik alanların negatifleridir. Ancak, bu alanlar ω frekansındadır. Dolayısı ile farklı frekanslardaki alanlar, kaydırılmış frekans akımlarının kullanılması sayesinde yüzey üzerinde eşitlenebilmektedir. 9 Nümerik yöntemler kullanarak (2.9-2.12)’de verilen denklemlerin bilinmeyen (Eω,Hω) alanları için çözümü mümkündür. Çünkü, denklemlerde geçen bütün eşdeğer akımlar bilinmeyen alanların, malzeme özelliklerinin, ω ve ω0 frekans- larının fonksiyonlarıdır. Bu çalışmada denklemlerin çözümü için standart MM prosedürleri uygulan- mıştır. Bu kapsamda, bilinmeyen (Eω,Hω) toplam alanları m + p açılım fonksi- yonu kullanılarak açılmıştır. Burada m saçıcının içerisinde yer alan hacim bi- linmeyenlerini, p ise hacmin sınırlarında yer alan yüzey bilinmeyenlerini temsil etmektedir. Bu açılımın sonucunda m + p bilinmeyenli integral denklemi elde edilmiş olur. Daha sonrasında ise bu integral denklemi hacim içerisinde m, yüzeyde ise p adet test fonksiyonu kullanılarak test edilir. Böylelikle integral denklemleri m + p bilinmeyenli m + p adet denklemden oluşan bir lineer sis- teme dönüştürülmüş olur. Bu lineer sistemin nümerik çözümü ise gene stan- dart prosedürler kullanılarak yapılmıştır. Sonuç olarak problemin iç hacminde ve yüzeyinde bilinmeyen toplam alanlar olan (Eω,Hω) hesaplanmış olur. Bu yöntem kullanılarak saçılım probleminin çoklu frekans çözümü yapılabil- mektedir. Bunun rahat anlaşılabilmesi için öncelikle (2.9-2.12) denklemlerin- deki bazı alanların sadece ω0 frekansında hesaplandığına dikkat edilmelidir. Gelen alanın frekansı olarak ω seçildiğinde, yukarıda bahsedilen alan bileşen- lerinin farklı gelen alan frekansları için tekrar hesaplanmasına gerek kalmadığı görülür. Dikkat edilmesi gereken başka bir nokta ise ω0 frekansında hesapla- nan alan bileşenlerinin hacim-hacim etkileşimleri olduğudur. Pratik uygulama- larda sıklıkla karşılaşılacak geometrilerde hacim-hacim etkileşimleri genellikle daha fazla sayıda olmaktadır. Bu sayede, saçılım problemi çözümünün geneli düşünüldüğünde, hesaplaması uzun süren etkileşimler tüm frekans bandında tekrar kullanılabilmektedir. Bir başka deyişle, inhomojen bir saçıcının çoklu fre- kans çözümü yapılırken problem etkin olarak yüzey integral denklemleri ile mo- dellenmiş bir homojen probleme yakınsar. Bu sayede problemin hesaplama süresinde ciddi kazanımlar elde edilebilmektedir. 10 2.2 Algoritma Bu çalışmada, KFİE ile yapılan çoklu frekans çözümlemelerinde aşağıdaki al- goritma kullanılmıştır: 1. Kaydırılmış frekans ω0 seçilir. 2. (2.9) ve (2.10) ile ilgili matris elemanları uygun kaydırılmış frekans eş- değer akımları ile hesaplanır. Bu hesaplamalar yapılırken birim hacim kaynakları kullanılır. 3. (2.11) ve (2.12) ile ilgili olan matris elemanları ω0 frekansında hesaplanır. 4. Gelen alan frekansı ω seçilir ve gelen alanlar hesaplanır. 5. (2.11) ve (2.12) ile ilgili olan ve ω frekansında tanımlı matris elemanları hesaplanır. Gerekli yerlerde 3 numaralı adımda elde edilmiş ω0 frekan- sında tanımlı yüzey etkileşimleri de kullanılır. 6. 2’inci adımda hesaplanmış matris elemanları gerekli sabitler ile çarpılır. Bu çarpımda belirlenmiş olan ω gelen alan frekansı bilgisi kullanılır. 7. Matris denklemi elde edilir ve bilinmeyen (Eω,Hω) toplam alanları için çö- zülür. 8. Farklı bir frekans çözümü için 4 numaralı adıma geri dönülür. Algoritmadan da belli olduğu gibi, MM matrisinde iç eşdeğerlik ile ilgili kısım- lar birim kaynaklar ile hesaplanmış etkileşimlerin basit sabitler ile çarpılması sayesinde diğer frekanslarda da kullanılabilir hale gelmektedir. Buna ek olarak ω0 frekansında tanımlı yüzey etkileşimleri de sadece bir kere hesaplanmakta- dır. Böylelikle inhomojen bir saçılım problemi hesaplama karışıklığı açısından etkin olarak yüzey integral denklemleri ile kurgulanmış bir homojen saçıcıya yakınsamaktadır. 11 3. MOMENT METODU İLE FORMÜLASYON Bu bölümde, gelişigüzel geometriye sahip bir cisimden elektromanyetik saçılı- mın çözülebilmesi için gerekli integral denklemleri tanıtılacaktır. Bu tez kapsa- mında yapılan çalışmalarda saçıcının z yönünde uzanan iki boyutlu bir cisim olduğu düşünülmüştür. Bahsedilen saçılım problemlerinin nümerik çözümleri için ise moment metodu (MM) tanıtılacaktır. Bu metod sayesinde cismin yüzeyinde ve içerisinde oluşan akımlar bilinen açılım fonksiyonları ile açılacak ve integral denklemleri bilinme- yen sayısı kadar test edilecektir. Bu sayede çözülebilir bir lineer denklemler kümesi elde edilecektir. 3.1 İki Boyutlu İnhomojen Cisimlerden Saçılım İki boyutlu homojen olmayan bir saçılım problemi Şekil 3.1’de gösterilmiştir. Şekil 3.1’de gösterilen Ji ω ve Mi ω akımları kaynakları temsil etmektedir. Bu kay- naklar gelen alanların oluşmasına, gelen alanlar ise cismin yüzeyinde ve içeri- sinde ikincil kaynakların oluşmasına sebep olur. İkincil kaynakların yayılımı ise saçılan alanları meydana getirmektedir. Dolayısı ile, saçılım probleminde kar- şılaşılan toplam elektrik ve manyetik alanlar, gelen ve saçılan alanların toplamı olarak aşağıda gösterildiği gibi yazılabilir. ET = Es + Ei HT = Hs + Hi (3.1) Bu çalışma kapsamında yapılacak çözümlemelerde gelen alan bilinmektedir, saçılan alanlar ise kaynakların fonksiyonu olarak potansiyel formülasyonları kullanılarak ifade edilecektir. Toplam elektrik ve manyetik alanlar ise bilinme- yenler olarak tanımlanacak ve çözülecektir. 12 (Ji ω ,Mi ω) (Eω , Hω) (εr , µr) (Eω ,Hω) (ε ,µ ) (Ji ω ,Mi ω) v s(εr ,µr) s Şekil 3.1. Homojen olmayan saçıcı içeren elektromanyetik problem. 3.2 İki Boyutlu Problemlerde Green Fonksiyonu İki boyutlu elektromanyetik problem çözümlemelerinde kullanılan Green fonk- siyonu ikinci tip Hankel fonksiyonudur ve aşağıda gösterilmiştir. G(r, r′) = 1 4j H2 0 (k |r− r′|) (3.2) İkinci tip Hankel fonksiyonu, birinci ve ikinci tip Bessel fonksiyonları kullanılarak aşağıda gösterildiği gibi ifade edilebilir. H2 0 (kR) = J0(kR)− jY0(kR) (3.3) Kullanılan bu ifadelerde R = |r− r′| alan ve gözlem noktaları arasındaki mesa- feyi temsil etmektedir. Bu eşitlik içerisinde r gözlem noktasına, r′ ise alan nok- tasına işaret eden vektörlerdir. İlerleyen bölümlerde ihtiyaç duyuldukça, basitlik adına, sadece R kullanılacaktır. Green fonksiyonunu oluşturan Bessel fonksi- 13 yonları küçük kR değerleri için farklı, büyük kR değerleri için farklı davranış- lar göstermektedir. Bu duruma örnek olması için, çeşitli kR değerlerine göre H2 0 (kR) fonksiyonunun mutlak değer, reel ve sanal kısımları Şekil 3.2’de gös- terilmiştir. Buradan da görülebileceği gibi, kR → 0 durumunda fonksiyon tekil davranmaktadır. Bu tekillik küçük kR değerlerini içeren integrallerin hesaplan- masında zorluk ortaya çıkarmaktadır. Green fonksiyonunda gözlemlenen tekilliğin daha iyi anlaşılabilmesi için, fonk- siyonun kR → 0 asimtotik durumu incelenmelidir. lim kR→0 J0(kR) = 1 Γ(1) ( kR 2 )0 = 1 (3.4) lim kR→0 Y0(kR) = 2 π ( ln ( kR 2 ) + γ ) = −∞ (3.5) Bu ifadelerde γ Euler-Mascheroni sabitini [18] ifade etmektedir ve yaklaşık ola- rak 0.5772 değerine eşittir. Denklem (3.4) incelendiğinde, kR → 0 durumu için fonksiyonun 1 değerini aldığı gözlemlenir. Ancak, Denklem (3.5) aynı durumda logaritmik tekillik yüzünden −∞ değerine yakınsamaktadır. Özellikle alan ve gözlem noktalarının çakıştığı, öz etkileşim terimlerinin hesabı sırasında Green fonksiyonu integrallerinde bu tekillik çıkarılmalıdır. Aksi tak- dirde hesaplanan etkileşimler yanlış olacaktır. İlerleyen bölümlerde bu tekilliğin çıkarılması detaylı bir şekilde anlatılmaktadır. 3.3 Alan-Kaynak İlişkileri Saçılım problemlerinin nümerik çözümlerinde kullanılacak saçılan alan ifade- leri Es ve Hs, akım-kaynak ilişkileri sayesinde belirlenir. Bu ilişkilerin oluştu- rulmasında ise potansiyel formülasyonları kullanılacaktır. İlerleyen bölümlerde verilen formülasyonlarda ωe ve ke ifadeleri kullanılmıştır. Bu ifadeler efektif açı- sal frekans ve dalga numarasını ifade etmekte olup hacim-hacim etkileşimle- rinde ωe = ω0 ve ke = k0 olmaktadır. Yüzey-yüzey etkileşimlerinde ise iç veya 14 kR 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 abs reel imag a. Yakın etkileşimler için Green fonksiyonu. kR 0 10 20 30 40 50 -2 -1 0 1 2 abs reel imag b. Uzak etkileşimler için Green fonksiyonu. Şekil 3.2. Çeşitli kR değerleri için Green fonksiyonunun değişimi. 15 dış eşdeğerlik terimi olmasına göre ωe ω0 yada ω değeri alabilmektedir. Benzer şekilde ke ise k0 veya k olabilmektedir. Elektrik ve manyetik potansiyel formü- lasyonları aşağıda verilmiştir. E(r) = −jωeA(r)− j ωeµ0ε0 ∇∇ · A(r)− 1 ε0 ∇× F(r) (3.6) H(r) = −jωeF(r)− j ωeµ0ε0 ∇∇ · F(r) + 1 µ0 ∇× A(r) (3.7) Denklem (3.6) ve Denklem (3.7) ifadeleri kaynaklar ile bu kaynakların oluştur- duğu alanlar arasında bağlantı kurmaktadır. Çünkü, elektrik potansiyel A ve manyetik potansiyel F ifadeleri içerisinde elektrik J ve manyetik M akımları bu- lunmaktadır. Bu ifadeler ise aşağıda verilmiştir. A(r) = µ0 4j ∫ s′ J(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ (3.8) F(r) = ε0 4j ∫ s′ M(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ (3.9) Yukarıda verilen ifadeler iki boyutlu saçılım problemlerinin çözümünde kullanı- lan temel ilişkilerdir. 3.3.1 Elektrik ve Manyetik Akımların Oluşturduğu Elektrik Alan İfadeleri İfadelerin daha rahat anlaşılabilmesi için denklemler parçalara ayrılmıştır. Ön- celikle Denklem (3.8) ve Denklem (3.9), Denklem (3.6)’da yerine konur. Dola- yısıyla Denklem (3.6), E(r) =− jωeA(r)− j ωeµ0ε0 ∇∇ · A(r)− 1 ε0 ∇× F(r) =I1 + I2 + I3 (3.10) 16 şeklinde yazılabilir. Daha sonra ise sırasıyla I1, I2, I3 ifadeleri, I1 =− jωeA(r) =− ωeµ0 4 ∫ s′ J(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ (3.11) I2 =− j ωeµ0ε0 ∇∇ · A(r) =− 1 4ωeε0 ∇∇ · ∫ s′ J(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ =− 1 4ωeε0 ∇ ∫ s′ [ H2 0 (ke|r− r′|)∇ · J(r′) + J(r′) · ∇H2 0 (ke|r− r′|) ] ds′ = 1 4ωeε0 ∇ ∫ s′ [ J(r′) · ∇′H2 0 (ke|r− r′|) ] ds′ = 1 4ωeε0 ∇ ∫ s′ [ ∇′ · (J(r′)H2 0 (ke|r− r′|))− H2 0 (ke|r− r′|)∇′ · J(r′) ] ds′ = 1 4ωeε0 ∇ ∮ ∂s′ (n̂′ · J(r′))H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ − ∫ s′ H2 0 (ke|r− r′|)∇′ · J(r′)ds′  (3.12) I3 =− 1 4j ∇× ∫ s′ M(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ =− 1 4j ∫ s′ [ H2 0 (ke|r− r′|)∇×M(r′)−M(r′)×∇H2 0 (ke|r− r′|) ] ds′ =− 1 4j ∫ s′ [ M(r′)×∇′H2 0 (ke|r− r′|) ] ds′ (3.13) olarak elde edilir. Bu sadeleştirmeler yapılırken ∇ · J(r′) = 0 ve ∇×M(r′) = 0 özdeşliklerinden faydalanılmıştır. Buna ek olarak ıraksama teoremi kullanılarak yüzey integrali çizgi integraline indirgenmiştir. Sonuç olarak, tüm terimler bir 17 ifadede toplanırsa; E(r) = −ωeµ0 4 ∫ s′ J(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ − 1 4j ∫ s′ [ M(r′)×∇′H2 0 (ke|r− r′|) ] ds′ + 1 4ωeε0 ∇ ∮ ∂s′ (n̂′ · J(r′))H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ − ∫ s′ H2 0 (ke|r− r′|)∇′ · J(r′)ds′ (3.14) olarak elde edilir. 3.3.2 Elektrik ve Manyetik Akımların Oluşturduğu Manyetik Alan İfade- leri Benzer çıkarımlar manyetik alan ifadeleri için de yapılabilir. H(r) =− jωeF(r)− j ωeµ0ε0 ∇∇ · F(r) + 1 µ0 ∇× A(r) =I1 + I2 + I3 (3.15) I1 =− jωeF(r) =− ωeε0 4 ∫ s′ M(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ (3.16) I2 =− j ωeµ0ε0 ∇∇ · F(r) =− 1 4ωeµ0 ∇ ∫ s′ [ H2 0 (ke|r− r′|)∇ ·M(r′) + M(r′) · ∇H2 0 (ke|r− r′|) ] ds′ = 1 4ωeµ0 ∇ ∫ s′ M(r′) · ∇′H2 0 (ke|r− r′|)ds′′ = 1 4ωeµ0 ∇ ∫ s′ [ ∇′ · (M(r′)H2 0 (ke|r− r′|))− H2 0 (ke|r− r′|)∇′ ·M(r′) ] ds′ =I21 + I22 (3.17) 18 I21 = 1 4ωeµ0 ∇ ∫ s′ ∇′ · [ M(r′)H2 0 (ke|r− r′|)) ] ds′ = 1 4ωeµ0 ∇ ∮ ∂s′ [ n̂′ ·M(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ = 1 4ωeµ0 ∮ ∂s′ [ n̂′ ·M(r′) ] ∇H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ =− 1 4ωeµ0 ∮ ∂s′ [ n̂′ ·M(r′) ] keH2 1 (ke|r− r′|)R̂dl ′ (3.18) I22 =− 1 4ωeµ0 ∇ ∫ s′ H2 0 (ke|r− r′|)∇′ ·M(r′)ds′ =− 1 4ωeµ0 ∫ s′ [ ∇′ ·M(r′) ] ∇H2 0 (ke|r− r′|)ds′ = 1 4ωeµ0 ∫ s′ [ ∇′ ·M(r′) ] keH2 1 (ke|r− r′|)R̂ds′ (3.19) I3 = 1 µ0 ∇× A(r) = 1 4j ∇× ∫ s′ J(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ = 1 4j ∫ s′ [ H2 0 (ke|r− r′|)∇× J(r′)− J(r′)×∇H2 0 (ke|r− r′|) ] ds′ = 1 4j ∫ s′ J(r′)×∇′H2 0 (ke|r− r′|)ds′ = 1 4j ∫ s′ [ H2 0 (ke|r− r′|)∇′ × J(r′)−∇′ × (J(r′)H2 0 (ke|r− r′|) ] ds′ =− 1 4j ∮ ∂s′ [ n̂′ × J(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ + 1 4j ∫ s′ [ ∇′ × J(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)ds′ (3.20) Dolayısı ile, elektrik ve manyetik kaynakların neden olduğu manyetik alan ifa- 19 desi, H(r) = I1 + I21 + I22 + I3 = −ωeε0 4 ∫ s′ M(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ − 1 4ωeµ0 ∮ ∂s′ [ n̂′ ·M(r′) ] keH2 1 (ke|r− r′|)R̂dl ′ + 1 4ωeµ0 ∫ s′ [ ∇′ ·M(r′) ] keH2 1 (ke|r− r′|)R̂ds′ − 1 4j ∮ ∂s′ [ n̂′ × J(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ + 1 4j ∫ s′ [ ∇′ × J(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)ds′ (3.21) şeklinde yazılabilir. Bu ifadelerin çıkarımında da bir önceki bölümde olduğu gibi ∇ · J(r′) = 0 ve ∇×M(r′) = 0 özdeşliklerinden faydalanılmıştır. 3.4 Moment Metodu Moment metodu (MM) elektromanyetik problemlerin çözümü için sıklıkla kul- lanılan bir ayrıklaştırma yöntemidir ve özellikle integral denklemlere uygulanır. Örneğin, ∫ (r )′∈Ω f (r′)K (r, r′)dΩ = g(r) (3.22) gibi bir integral denklemde f (r′) bilinmeyen fonksiyonu ifade etsin. İntegral denk- lemdeki diğer iki terim olan K (r, r′) ve g(r) ise sırasıyla bilinen çekirdek ve uyarım fonksiyonları olsun. Yukarıda gösterilen ve Ω bölgesinde tanımlı olan integral denklem, sembolik olarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. L{f (r′)} = g(r) (3.23) Denklem (3.23)’te L, bilinmeyen f (r′) fonksiyonuna uygulanan operatörü tem- sil etmektedir. Bu operatör, diferansiyel, integral ya da ikisinin birleşimi olabilir. 20 Ancak, bu uygulama için önemli koşul, operatörün doğrusal olmasıdır. MM ile çözümün yapılabilmesi için, öncelikle bilinmeyen f (r′) fonksiyonu, bilinen açılım fonksiyonları bn(r) kullanılarak açılmaktadır. Açılım fonksiyonları operatör ile aynı bölgede tanımlı olmalı ve doğrusal bağımsız olmalıdır. Açılım fonksiyonla- rının uygun αn katsayıları ile ağırlıklandırılması sonucunda aşağıda gösterildiği gibi bilinmeyen fonksiyona yaklaşılır. f (r′) ≈ N∑ n−1 αnbn(r′) (3.24) Denklem (3.24), Denklem (3.23)’te yerine konursa, L{ N∑ n−1 αnbn(r′)} = g(r) (3.25) elde edilir. Operatör L’nin doğrusal olma özelliği kullanılırsa, toplama işlemi operatör dışarısına alınabilir. Bu durumda, N∑ n−1 αnL{bn(r′)} = g(r) (3.26) elde edilir. Bu ifadenin toplamda N bilinmeyen içeren, tek bir denklem oldu- ğuna dikkat edilmelidir. Bu sebeple, denklem bu hali ile çözülemez. Çözümün sağlanabilmesi için toplamda N denkleme ihtiyaç vardır. Bu denklemlerin elde edilebilmesi için öncelikle R(r) artık hatası tanımlanır. R(r) = [ N∑ n−1 αnL{bn(r′)} ] − g(r) (3.27) MM ile yapılan çözümlemelerde R(r)’nin, uygun αn katsayıları seçilerek, ola- bildiğince küçültülmesi hedeflenir. Bunun çözüm uzamında ortalamada sağ- lanabilmesi için ise wm(r) test fonksiyonları kullanılır. Artık hata fonksiyonu 21 R(r)’nin test fonksiyonları wm(r)’ler ile iç çarpımı yapılır. İç çarpım olarak Denk- lem (3.28)’de verilen tanım kullanılmaktadır. < u, v >= ∫ Ω u · vdΩ (3.28) Dolayısı ile, artık hata fonksiyonu ile test fonksiyonları arasındaki iç çarpım < wm(r), R(r) >= ∫ Ω wm(r) · R(r)dΩ (3.29) olarak ifade edilebilir. Yukarıdaki ifade sıfıra eşitlenir, operatörün ve iç çarpımın lineerlik özellikleri kullanılırsa aşağıdaki ifade elde edilmiş olur. N∑ n−1 αn < wm(r), L{f (r′)} >=< wm(r), g(r) > (3.30) İç çarpımın tanımı gereği N∑ n−1 αn ∫ Ω wm(r) · L{f (r′)}dΩ = ∫ Ω wm(r) · g(r)dΩ (3.31) elde edilir. Bu ifade ise N∑ n−1 αnZmn = vm (3.32) matris denklemi olarak yazılabilir. Burada Zmn empedans matrisini, vm ise uya- rım vektörünü ifade etmektedir. Zmn’nin hesaplanması için iki integrasyon ya- pılması gerektiği, buna karşılık vm’nin hesabı için tek integrasyonun yeterli ol- duğuna dikkat edilmelidir. Bu sebeple, empedans matrisi hesabı MM yöntemi ile yapılan çözümlemelerde sıklıkla en yüksek miktarda nümerik çabanın har- candığı yer olmaktadır. Buna ek olarak, m = n olarak da ifade edilebilecek, 22 kaynak ve alanların aynı bölgede bulunduğu öz etkileşimlerde tekil integraller ile karşılaşılmaktadır. Matris denkleminin sonucunda ise hatayı minimize eden αn katsayıları bulun- maktadır. Bu katsayılar bulunduğunda ise Denklem (3.24) gereği bilinmeyen fonksiyon elde edilmiş olur. Bu çalışma kapsamında gerçeklenen yazılımda açılım fonksiyonu olarak darbe fonksiyonları kullanılmıştır. Bu fonksiyonlar, bölge içerisinde sabit değer al- makta, bölge dışarısında ise sıfıra eşit olmaktadır. bn(r) = 1, r ∈ Ω 0, r 6∈ Ω (3.33) Bu özellikleri sayesinde, açılım fonksiyonlarının türevini gerektiren durumlarda sıfıra eşitlenip, ifadelerde sadeleştirme sağlanabilir. Denklemlerin test edilmesi için ise (3.34)’te gösterilen delta fonksiyonları kulla- nılmıştır. Delta fonksiyonları ile test edilen denklemlerde dış integraller sadeleş- mekte ve fonksiyonun tek bir noktada hesaplanması haline indirgenmektedir. wm(r) = δ(r− rm) (3.34) 3.5 Açılım ve Test Fonksiyonlarının İntegral Denklemlere Uygulanması Alan-Kaynak ifadelerini veren integral denklemlerin bilgisayar ortamında MM kullanılarak çözülebilmesi için bu denklemlerin açılım ve test fonksiyonları ile ayrıklaştırılması gereklidir. Önceki bölümde de belirtildiği gibi, darbe ve delta fonksiyonları sırasıyla açılım ve test fonksiyonları olarak kullanılmıştır. Darbe fonksiyonu, tanımlandığı bölge içerisinde sabit bir değer aldığı için türevi aynı bölge içerisinde sıfıra eşit olmaktadır. Bu sayede bazı terimlerde sadeleş- tirmeler yapılabilmiştir. Delta fonksiyonu ile yapılan testler ise matris elemanla- 23 rının hesabında karşılaşılan dış integrallerin sadeleşmesine neden olmaktadır, dolayısı ile bu terimlerin hesaplanma maliyeti azalmaktadır. 3.5.1 Elektrik ve Manyetik Akımların Oluşturduğu Elektrik Alan İfadele- rinin Ayrıklaştırılması Anlaşılabilirliğin artırılması için elektrik alan ifadesi burada tekrarlanmıştır. Elekt- rik akım J(r′)’nin açılımında kullanılan fonksiyonlar bj(r′) ile gösterilecek, man- yetik akım M(r′)’nin açılım fonksiyonları ise bm(r′) ile gösterilecektir. Test fonk- siyonları ise t(r) ile gösterilmiştir. E(r) = I1 + I2 + I3 = −ωeµ0 4 ∫ s′ J(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ − 1 4j ∫ s′ [ M(r′)×∇′H2 0 (ke|r− r′|) ] ds′ + 1 4ωeε0 ∇ ∮ ∂s′ (n̂′ · J(r′))H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ − ∫ s′ H2 0 (ke|r− r′|)∇′ · J(r′)ds′  (3.35) Bu ifadeyi oluşturan parçalar teker teker incelenecektir. İlk terim, I1 = −ωeµ0 4 ∫ s′ J(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ < I1, t(r) > = −ωeµ0 4 ∫ s t(r)ds · ∫ s′ bj(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ < I1, t(r) > = −ωeµ0 4 ∫ s ∫ s′ [t(r) · bj(r′)]H2 0 (ke|r− r′|)ds′ds < I1, t(r) > = −ωeµ0 4 ∫ s′ [t̂(r) · bj(r′)]H2 0 (ke|rm − r′|)ds′ (3.36) şeklinde yazılabilir. İkinci ifade ∇× (ψA) = ψ(∇×A) + (∇ψ)×A özdeşliğinden 24 yararlanılarak sadeleştirilebilir. I2 = − 1 4j ∫ s′ [ M(r′)×∇′H2 0 (ke|r− r′|) ] ds′ = − 1 4j ∫ s′ [ ∇′ × (M(r′)H2 0 (ke|r− r′|))− H2 0 (ke|r− r′|)∇′ ×M(r′) ] ds′ = − 1 4j ∮ ∂s′ [ n̂′ ×M(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ + 1 4j ∫ s′ H2 0 (ke|r− r′|)∇′ ×M(r′)ds′ (3.37) Manyetik akımların bm(r′) darbe fonksiyonları ile açılacağı düşünülürse yukarı- daki eşitlikte ikinci terimin sıfır olacağı gözlemlenebilir. Çünkü, bölge içerisinde sabit olan açılım fonksiyonunun türevi alınmaktadır. Dolayısı ile açılım ve test fonksiyonları sadece ilk terime uygulanmıştır. Dolayısı ile bu ifadenin açılım ve test fonksiyonu uygulanmış hali olarak I2 = − 1 4j ∮ ∂s′ [ n̂′ ×M(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ < I2, t(r) > = − 1 4j ∫ s t(r)ds · ∮ ∂s′ [ n̂′ × bm(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ < I2, t(r) > = − 1 4j ∮ ∂s′ t̂(r) · [ n̂′ × bm(r′) ] H2 0 (ke|rm − r′|)dl ′ (3.38) elde edilir. I3 olarak ifade edilen son terim de açılım ve test fonksiyonları uygulandıktan sonra sıfıra eşit olmaktadır. Çünkü, elektrik akım J(r′) iki boyutlu problemin do- ğası gereği sadece z yönünde bulunmaktadır. Bu sayede ilk integral sıfır olur. 25 İkinci integralde ise darbe fonksiyonu ile açılan elektrik akımın türevi alınmakta- dır. Sabit fonksiyonun türevi alındığı için bu ifade de sıfıra eşit olmaktadır. Test edilen noktadaki elektrik alan aşağıdaki ifade ile gösterilmiştir. Test ve açılım fonksiyonlarının uygun seçimi ile Ez(Jz), Ez(Mx ) ve Ez(My ) matris elemanları elde edilir. < E, t(r) >=− ωeµ0 4 ∫ s′ [t̂(r) · bj(r′)]H2 0 (ke|rm − r′|)ds′ − 1 4j ∮ ∂s′ t̂ · [ n̂′(r)× bm(r′) ] H2 0 (ke|rm − r′|)dl ′ (3.39) 3.5.2 Elektrik ve Manyetik Akımların Oluşturduğu Manyetik Alan İfadele- rinin Ayrıklaştırılması Anlaşılabilirliğin artırılması için manyetik alan ifadesi burada tekrarlanmıştır. Elektrik akım J(r′)’nin açılımında kullanılan fonksiyonlar bj(r′) ile gösterilecek, manyetik akım M(r′)’nin açılım fonksiyonları ise bm(r′) ile gösterilecektir. Test fonksiyonları ise t(r) ile gösterilmiştir. H(r) = I1 + I21 + I22 + I3 = −ωeε0 4 ∫ s′ M(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ − 1 4ωeµ0 ∮ ∂s′ [ n̂′ ·M(r′) ] keH2 1 (ke|r− r′|)R̂dl ′ + 1 4ωeµ0 ∫ s′ [ ∇′ ·M(r′) ] keH2 1 (ke|r− r′|)R̂ds′ − 1 4j ∮ ∂s′ [ n̂′ × J(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ + 1 4j ∫ s′ [ ∇′ × J(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)ds′ (3.40) Kullanılan açılım fonksiyonları akılda tutularak yukarıdaki ifade incelendiğinde 26 I22’nin sıfır olacağı kolaylıkla söylenebilir. Buna ek olarak, I3’ün ikinci teriminde de sonucu sıfır çıkan bir başka türev operasyonu vardır. I1 = −ωeε0 4 ∫ s′ M(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ < I1, t(r) > = −ωeε0 4 ∫ s t(r)ds · ∫ s′ bm(r′)H2 0 (ke|r− r′|)ds′ < I1, t(r) > = −ωeε0 4 ∫ s′ [ t̂(r) · bm(r′) ] H2 0 (ke|rm − r′|)ds′ (3.41) I21 = − 1 4ωeµ0 ∮ ∂s′ [ n̂′ ·M(r′) ] keH2 1 (ke|r− r′|))R̂dl ′ < I21, t(r) > = − 1 4ωeµ0 ∫ s t(r)ds · ∮ ∂s′ [ n̂′ · bm(r′) ] keH2 1 (ke|r− r′|)R̂dl ′ < I21, t(r) > = − 1 4ωeµ0 ∮ ∂s′ [ n̂′ · bm(r′) ] keH2 1 (ke|rm − r′|) [ t̂(r) · R̂ ] dl ′ (3.42) I3 = − 1 4j ∮ ∂s′ [ n̂′ × J(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ < I3, t(r) > = − 1 4j ∫ s t(r)ds · ∮ ∂s′ [ n̂′ × bj(r′) ] H2 0 (ke|r− r′|)dl ′ < I3, t(r) > = − 1 4j ∮ ∂s′ t̂(r) · [ n̂′ × bj(r′) ] H2 0 (ke|rm − r′|)dl ′ (3.43) Test edilen noktadaki manyetik alan aşağıdaki ifade ile gösterilmiştir. Test ve 27 açılım fonksiyonlarının uygun seçimi ile Hx (Jz), Hy (Jz), Hx (Mx ), Hx (My ), Hy (Mx ), Hy (My ) matris elemanları elde edilebilir. < H, t(r) >=− ωeε0 4 ∫ s′ [ t̂(r) · bm(r′) ] H2 0 (ke|rm − r′|)ds′ − 1 4ωeµ0 ∮ ∂s′ [ n̂′ · bm(r′) ] keH2 1 (ke|rm − r′|) [ t̂(r) · R̂ ] dl ′ − 1 4j ∮ ∂s′ t̂(r) · [ n̂′ × bj(r′) ] H2 0 (ke|rm − r′|)dl ′ (3.44) Kaynakların kenarlar üzerinde olduğu durumlarda yapılan çıkarımlar benzer olduğu için gösterilmemiştir. 3.6 Geometrinin Ayrıklaştırılması MM ile yapılan hesaplamalarda saçıcı geometrinin ayrıklaştırılması gerekmek- tedir. Bu çalışmada saçıcının iç hacmi düzlemsel üçgenler kullanılarak ayrık- laştırılmıştır. Daha sonra, bu üçgenler üzerinde bn(r) açılım fonksiyonları ta- nımlanmıştır. Elde edilen integral denklemler wm(r) test fonksiyonları ile bu üç- genlerin orta noktalarında test edilmiştir. Geometrilerin tanımlanması ve ayrıklaştırılması işlemleri MATLAB PDE Tool- box kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Şekil 3.3’te 1 GHz frekansında 0.5λ0 ya- rıçapında dairesel bir saçıcının farklı üçgenlemeleri gösterilmiştir. Kullanılan yazılım farklı büyüklüklerde üçgenlemeler yapılmasına izin vermektedir. Dola- yısıyla frekansa ve malzeme özelliklerine göre uygun üçgenlemeler elde edile- bilir. 28 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 a. 1059 üçgen. -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 b. 6070 üçgen. Şekil 3.3. Dairesel saçıcının farklı üçgenlemeleri. 29 3.6.1 Tekillik İçermeyen Nümerik İntegrasyonlar Empedans matrisi Zmn ve gelen alan vektörü vm’nin elemanları çeşitli integral- lerin hesaplanması ile belirlenmektedir. Bu bölümde sıklıkla karşılaşılan integ- rallerin hesaplanmasına yönelik detaylar verilecektir. 3.6.2 H2 0 (k |r− r′|)’nin Yüzey İntegrali Matris elemanlarının hesaplanması sırasında sıklıkla Denklem (3.45) benzeri integrallerin alınması gerekmektedir. Bu çalışma kapsamında tekillik içerme- yen yüzey integralleri üçgen üzerinde nümerik olarak Gauss-Legendre [19] ku- ralları kullanılarak hesaplanmıştır. ∫ s′ H2 0 (k |r− r′|)ds′ (3.45) Kullanılan nümerik integrasyon kuralları, integrali, integrali alınacak fonksiyo- nun sadece belirli noktalarda hesaplandığı ve elde edilen değerlerin belirli kat- sayılar ile çarpılarak toplandığı bir biçime sokar. Dolayısıyla, hesaplanacak in- tegral aşağıda gösterilen şekilde yazılabilir. ∫ s′ H2 0 (k |r− r′|)ds′ = S N∑ i=1 wiH2 0 (kRi) (3.46) Burada S integralin hesaplandığı üçgenin alanını, wi , i’ninci nokta için kullanı- lan ağırlık değerini, H2 0 (kRi) ise o noktada Green fonksiyonunun aldığı değeri ifade etmektedir. Dikkat edilmesi gereken bir başka nokta ise nümerik integ- rasyonda kullanılacak nokta sayısıdır. Doğası gereği, kullanılan nokta sayısı arttıkça hesaplanan integral gerçek değere yakınsamaktadır. Öte yandan ge- reğinden fazla nokta kullanmak ise programın verimliliğini düşürecektir. Çünkü Green fonksiyonu hesaplaması görece pahalıdır. Dolayısıyla çözülecek prob- lem için uygun bir miktarda integrasyon noktası kullanılması gerekmektedir. Uygun miktarda integrasyon nokta sayısının belirlenmesi için kullanılabilecek 30 başka bir yöntem ise uyarlamalı integrasyondur. Ancak bu yöntem tez kapsa- mında kullanılmamıştır. 3.6.3 H2 0 (k |r− r′|)’nin Çizgi İntegrali Matris elemanlarının hesaplanması sırasında sıklıkla karşılaşılan başka bir in- tegral ise Denklem (3.47) şeklindedir. Yüzey integrallerine benzer şekilde, çizgi integralleri de Gauss-Legendre kuralları kullanılarak hesaplanmıştır. Gene aynı şekilde, uyarlamalı integrasyon kullanılmamaktadır. ∫ c H2 0 (k |r− r′|)dl ′ (3.47) Çizgi integralleri de Denklem (3.46) gösterilen şekilde yazılabilir ve kolaylıkla hesaplanabilir. 3.7 Tekillik İçeren Nümerik İntegrasyonlar Özellikle gözlem ve alan noktalarının birbirine çok yaklaştığı öz etkileşim terim- lerinde ve komşu üçgenler üzerinde alınan çizgi integrallerinde sıklıkla tekillik ile karşılaşılmaktadır. Bu bölümde yüzey ve çizgi integrallerinde tekil integral- lerin nümerik olarak hesaplanması anlatılacaktır. 3.7.1 H2 0 (k |r− r′|)’nin Yüzey İntegrali Yüzey integralleri hesaplanırken Hankel fonksiyonuna dair bir özdeşlikten [20] faydalanılmıştır. Bütünlüğün sağlanabilmesi için özdeşlik ve yüzey integraline uygulanışı burada tekrar edilecektir. İki boyutlu Green fonksiyonu aşağıda gösterildiği gibi yazılabilir. H2 0 (kR) = 1 4 [ ∇2R2H2 0 (kR) + k2R2H2 0 (kR) + kRH2 1 (kR) ] (3.48) Dolayısı ile, Denklem (3.48)’in iki tarafının da yüzey integrali alındığında aşa- 31 ğıdaki ifade elde edilir. 4 ∫ s′ H2 0 (kR)ds′ = ∫ s′ [ ∇2R2H2 0 (kR) + k2R2H2 0 (kR) + 4kRH2 1 (kR) ] ds′ = ∫ s′ ∇2R2H2 0 (kR)ds′ + ∫ s′ k2R2H2 0 (kR)ds′ + ∫ s′ 4kRH2 1 (kR)ds′ =I1 + I2 + I3 (3.49) Yukarıda elde edilen ifadede I2 ve I3 için daha fazla sadeleştirme yapılması gerekli değildir. Bu iki integralin kR → 0 limiti incelendiğinde sonuçların sınırlı olduğu gözlemlenecektir. Dolayısı ile bu iki integral için tekillik ortadan kalkmış- tır. I1 ile gösterilen diğer integral için ise sadeleştirmelere aşağıda gösterildiği gibi devam edilebilir. I1 = ∫ s′ ∇2R2H2 0 (kR)ds′ = ∫ s′ ∇ · ∇ [ R2H2 0 (kR) ] ds′ = ∫ s′ ∇ · [ R2∇H2 0 (kR) + H2 0 (kR)∇R2]ds′ = ∫ s′ ∇ · [ R2−k R H2 1 (kR)R + H2 0 (kR)2R ] ds′ = ∫ s′ ∇ · [ −kR2H2 1 (kR) ] R̂ds′ + ∫ s′ ∇ · [ 2RH2 0 (kR)R̂ ] ds′ = ∮ ∂s′ (n̂ · R̂)(−kR2)H2 1 (kR)dl ′ + ∮ ∂s′ (n̂ · R̂)2RH2 0 (kR)dl ′ (3.50) Dolayısı ile, Green fonksiyonunun yüzey integrali tekillik içermeyen iki çizgi in- tegral ve iki yüzey integralinin toplamı olarak aşağıda gösterildiği gibi yazılabilir. ∫ s′ 4H2 0 (kR)ds′ = ∮ ∂s′ (n̂ · R̂)(−kR2)H2 1 (kR)dl ′ + ∮ ∂s′ (n̂ · R̂)2RH2 0 (kR)dl ′ + ∫ s′ k2R2H2 0 (kR)ds′ + ∫ s′ 4kRH2 1 (kR)ds′ (3.51) 32 Tekillik içeren bu yüzey integralinin nümerik olarak hesaplanabilmesi için kul- lanılan bir başka yöntem de tekilliğe neden olan logaritmik terimin Green fonk- siyonundan çıkarılıp tekrar eklenmesidir [21]. Bu yöntem uygulandığında elde tekil olmayan bir Green fonksiyonu integrali ve analitik olarak hesaplanabilen bir logaritmik integral kalmaktadır. Bu yöntem, Green fonksiyonunun çizgi in- tegralinin anlatıldığı bölümde detaylandırılacaktır. Şekil 3.4’te tekilliğin bahsedilen iki yöntemle çıkarıldığı ve çıkarılmadığı durum- larda elde edilen değerler karşılaştırılmaktadır. Green fonksiyonu Şekil 3.4-c’de gösterilen üçgen içerisinde tanımlanmıştır ve 16 noktalı bir integrasyon kuralı uygulanmıştır. Kuralın tanımladığı integrasyon noktaları şekil üzerinde göste- rilmektedir. Nümerik integral, gözlem noktası y = x doğrusu üzerinde kayacak şekilde bir çok noktada hesaplanmıştır. Diğer şekillerde ise nümerik integras- yon sonucunda elde edilen kompleks sayının büyüklüğü çizdirilmiştir. Şekil 3.4-a’da görülebileceği gibi, gözlem noktası üçgen içerisindeyken tekilli- ğin çıkarılmadığı durumda integral yanlış sonuçlar vermektedir. Özellikle göz- lem noktası ile alan noktasının tam olarak çakıştığı noktalarda hata artmakta- dır. Burada dikkat edilmesi gereken önemli bir konu nümerik tekilliğin sadece tek bir noktada etkili olmadığı, alan noktasının etrafında da yanlış sonuçlara neden olduğudur. Dolayısı ile algoritma içerisinde gözlem ve alan noktalarının çakışmasını engellemek doğru sonuç elde etmek için yeterli değildir. Buna ek olarak, bahsedilen iki yöntem ile hesaplanan integraller olması gerektiği gibi çok daha düzgün sonuçlar vermiştir. Şekil 3.4-b’de ise gözlem noktası üçgenden uzaklaştıkça elde edilen sonuç- lar gösterilmektedir. Burada tüm yöntemler aynı sonucu vermektedir, çünkü tekillik ortadan kalkmıştır. Dolayısı ile matris elemanları hesaplanırken öz etki- leşimlerde tekillik, özdeşlik yöntemi kullanılarak çıkarılmış, ancak diğer etkile- şimlerde hızlı hesaplama yapılabilmesi için bu önlem alınmamıştır. 33 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 a. Gözlem noktası üçgen içerisinde. 10 20 30 40 50 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 b. Gözlem noktası üçgen dışında ve uzakta. X Ekseni 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Y Ek se ni 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 c. İntegrasyon noktaları. Şekil 3.4. Tek bir üçgen üzerinde Green fonksiyonu nümerik integrasyon karşı- laştırması. 34 3.7.2 H2 0 (k |r− r′|)’nin Çizgi İntegrali Green fonksiyonunun tekil çizgi integrali hesaplanırken Hankel fonksiyonunun asimtotik ifadelerinden faydalanılır. lim kR→0 H2 0 (kR) = 1− j 2 π ( ln ( kR 2 ) + γ ) (3.52) Önceki bölümde bahsedildiği gibi, kR → 0 durumunda logaritmik tekillik ortaya çıkmaktadır. Bu sebeple de integralin nümerik olarak hesaplanması zor olmak- tadır. Bu tekilliğin çıkarılması için Denklem (3.53)’te gösterildiği gibi logaritmik terim çıkarılıp tekrar eklenir. ∫ H2 0 (kR)dl ′ = ∫ [ H2 0 (kR) + j 2 π ln(kR) ] dl ′ − j 2 π ∫ ln(kR)dl ′ (3.53) Elde edilen ilk integral tekil değildir ve standart nümerik yöntemler ile kolaylıkla hesaplanabilir. İkinci integral ise analitik olarak kolaylıkla alınabilir. Bu sayede nümerik olarak hesaplanması güç olan tekil integral nümerik olarak hesapla- nabilen bir integral ile analitik olarak hesaplanabilen bir integralin toplamına dönüşmüş olur. Empedans matrisi elemanları hesaplanırken çizgi integrallerde tekillik komşu üçgenlerde görülür. Bu elemanların doğru olarak hesaplanabilmesi için tekillik çıkarımı yapılmıştır. 35 4. NÜMERİK SONUÇLAR Bu bölümde çeşitli büyüklüklerde ve şekillerde saçılım problemlerinin KFİE ve MM ile elde edilmiş sonuçları sunulmaktadır. Fakat, KFİE ve MM’nin homo- jen olmayan saçıcılarda karşılaştırılmasından önce bu iki yöntem homojen bir problem için elde edilmiş analitik sonuçlar ile karşılaştırılacaktır. Bu sayede ça- lışmada geliştirilen çözücü programların doğruluğu gösterilmiş olacaktır. Doğ- ruluk incelemeleri yapılırken saçıcıların içerisinde oluşan toplam alan değerleri, saçıcıların uzağında elde edilen radar kesit alan (RKA) değerleri, çözümü ya- pılan doğrusal sistemlerin büyüklükleri ve çözümler için ihtiyaç duyulan zaman gibi veriler sunulacaktır. Çalışma kapsamında yapılan çözümlemelerde kolaylık olması için w0 kaydırıl- mış frekansı olarak 1.0 GHz seçilmiş olup frekans taraması 0.1 GHz adımlar ile 0.1 GHz’e kadar yapılmıştır. Saçıcı geometrilerin fiziksel ve elektromanyetik özellikleri ise ilgili bölümlerde belirtilmektedir. İlerleyen bölümlerde yapılacak RKA karşılaştırmalarında yüzde hatalar Denk- lem (4.1) ve Denklem (4.2)’de gösterildiği şekilde hesaplanacaktır. Mümkün olan durumda referans değerler olarak analitik sonuçlar kullanılacak, mümkün olmadığında ise MM ile hesaplanan değerler kullanılacaktır. Hata = 100× ||RKAreferans − RKAhesaplanan|| ||RKAreferans|| (4.1) Hata = 100× ||RKAMM − RKAKFE || ||RKAMM || (4.2) Yapılan çalışmaların tümünde gelen dalganın −x yönünde ilerlediği ve elektrik alanın z yönünde olduğu durum ele alınmıştır. Bu durumda açıya bağlı RKA değerleri düşünüldüğünde gözlem açısı 0 olduğunda geri saçılım, 180 oldu- ğunda ise ileri saçılım meydana gelmektedir. Çeşitli malzeme özelliklerine sahip saçıcı geometrilerde kullanılan üçgenleme 36 sıklıkları çözüm doğruluğunu etkilemektedir. Ancak, homojen olmayan bir cis- min içerisinde dielektrik dalga boyu λd değişmektedir. Bu sebeple üçgenleme sıklığını tanımlamak güç olmaktadır. Bu çalışma kapsamında hesaplanan üç- genleme sıklıkları en yüksek frekansta ve saçıcı içerisindeki en yüksek kontrast için hesaplanmıştır. Bu bölümde özellikle elektriksel olarak büyük yapıların sonuçlarına ulaşılmaya çalışılmış ve başarım bu tip problemler için incelenmiştir. Küçük problemler için yöntemin iyi sonuç verdiği daha önce gözlemlenmiştir [22]. 4.1 Homojen Dairesel Silindir Problemi x y Şekil 4.1. Homojen daire problemi. İlerleyen bölümlerde, homojen olmayan problemlerde kendi aralarında kıyas- lanacak olan MM ve KFİE yönteminin öncelikle analitik bir çözüm ile karşı- laştırılması iki yöntemin de doğru çözümler ürettiğini göstermesi açısından önem taşımaktadır. Bu amaçla yarıçapı en yüksek frekansta 0.5λ0 olan bir dairesel silindir problemi seçilmiştir. Saçıcının malzeme parametreleri olarak εr = µr = 2 değerleri kullanılmıştır. Dolayısıyla problemin en yüksek frekansta yarıçapı 1.0λd olmaktadır. Şekil 4.2’de bu problem için bütün frekans bandında çeşitli üçgen sayılarına 37 Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 2 4 6 8 10 580 Üçgen 1052 Üçgen 1988 Üçgen 2954 Üçgen a. Analitik ve MM yöntemi ile elde edilen RKA değerleri karşı- laştırması. Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 2 4 6 8 10 580 Üçgen 1052 Üçgen 1988 Üçgen 2954 Üçgen b. Analitik ve KFİE yöntemi ile elde edilen RKA değerleri karşı- laştırması. Şekil 4.2. Homojen dairesel saçıcı için MM ve KFİE yöntemlerinin analitik so- nuçlar ile karşılaştırılması. 38 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 Analitik MM a. 1.0 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 Analitik MM b. 0.8 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 Analitik MM c. 0.6 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 Analitik MM d. 0.4 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 Analitik MM e. 0.2 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 Analitik MM f. 0.1 GHz Şekil 4.3. Homojen problem için elde edilen analitik RKA değerlerinin MM ve KFİE yöntemi ile karşılaştırılması. 39 göre RKA hata değişimi gösterilmektedir. Genel olarak MM ile yapılan çözüm- lemelerin KFİE ile yapılanlara göre daha düşük hata seviyelerinde olduğu ve artan üçgen sayısı ile hataların azaldığı gözlemlenmektedir. Örneğin, 2954 üç- gen için MM yönteminde en yüksek hata %3.75 olmakta ve 0.8 GHz’den küçük frekanslarda %1’in altına düşmektedir. Aynı problem için KFİE ile elde edilen sonuçlarda 2954 üçgen için en yüksek hata %6 olmakta ve 0.9 GHz’in altında %2’den küçük olmaktadır. Bu sonuçlar ışığında, çalışma kapsamında karşılaş- tırılacak yöntemlerin doğru sonuçlar ürettiği değerlendirilmiştir. Şekil 4.3’te ise bu problem için çeşitli frekanslarda hesaplanmış RKA değer- leri gösterilmektedir. Şekilden de görülebileceği gibi elde edilen sonuçlar tüm frekanslarda tutarlıdır. Öte yandan, frekansa bağlı hataların en yüksek olduğu w0 = w = 1.0 GHz frekansında RKA değerleri arasındaki farklılığın sadece ileri saçılım bölgesi etrafında olduğu gözlemlenmiştir. 4.2 Parçalı Kare Problemi x y 0.25 λ0 Şekil 4.4. Parçalı kare problemi geometrisi. Bu bölümde kenar uzunluğu en yüksek frekansta 0.25λ0 olan ve içerisi farklı malzeme özellikleri bulunduracak şekilde bölümlendirilmiş bir cisimden çoklu frekansta saçılım incelenmiştir. Saçıcının iç hacmi y yönünde uzanan 3 eşit genişlikte parçaya bölünmüş ve geometrisi Şekil 4.4’te gösterilmiştir. 40 Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 2 4 6 8 10 208 Üçgen 322 Üçgen 728 Üçgen 1136 Üçgen 1494 Üçgen a. Yüzde alan hatası. Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 208 Üçgen 322 Üçgen 728 Üçgen 1136 Üçgen 1494 Üçgen b. Yüzde RKA hatası. Şekil 4.5. Düşük kontrastlı parçalı kare problemi için KFİE’nin MM’ye göre yüzde RKA hataları. 41 Parçaların her biri kendi içerisinde homojen olarak tanımlanmıştır. Ancak, par- çaların arasındaki geçişlerde malzeme özellikleri aniden değişmekte, yani sü- reksizlik göstermektedir. KFİE yönteminin çıkarımı sırasında problem içerisinde malzeme özelliklerinin sürekli ve türevlenebilir olacağı varsayımı yapılmıştır. Bu problemde bahsedilen varsayım sağlanamamaktadır. Ancak, buna rağmen KFİE’nin başarılı sonuçlar ürettiği görülmüştür. Malzeme özellikleri bakımından iki farklı durum incelenmiştir. Düşük kontrast olarak nitelendirilen durumda geometrinin dış parçalarında εr = 2, µr = 1 iç parçasında ise εr = 1, µr = 2 seçilmiştir. Bu durum için çeşitli üçgen sayıları kullanılarak MM ve KFİE yöntemi arasındaki yüzde RKA hatası Şekil 4.5’te gösterilmiştir. Elektriksel boyutu küçük olan bu problem için kullanılan bütün üçgenlemelerde en yüksek hata %3’ün altında kalmıştır. Yüksek kontrast durumu için yüzde hataları Şekil 4.6’da gösterilmiştir. Bu prob- lem için dış parçalar εr = 10, µr = 1, iç parça ise εr = 1, µr = 10 malzeme özelliklerine sahip tanımlanmıştır. Dolayısı ile, belirli bir frekans için malzeme içerisinde dalga boyu λd küçülmektedir. Bu sebeple aynı doğruluğu elde etmek için, yüksek kontrastlı bir problemde, düşük kontrastlı bir probleme göre daha fazla sayıda üçgen kullanılması gerekmektedir. Düşük kontrastlı problemde 208 üçgen kullanımı ile %3 hata elde edilirken, yüksek kontrastlı problemde aynı hatayı elde etmek için 1494 üçgen kullanmak gerekmiştir. Şekil 4.7’de ise iki yöntemin açıya bağlı RKA değerleri sunulmuştur. Açıya bağlı RKA de- ğerlerinin incelenen tüm frekanslarda uyumlu olduğu gözlemlenmiştir. Yüksek kontrast problemi için açıya bağlı RKA değerleri Şekil 4.8’de sunulmuştur. MM ve KFİE ile elde edilen RKA değerlerinin çok uyumlu olduğu gözlemlenmiştir. Bu cisim için 1494 üçgen ile yapılan KFİE ile yapılan çözümde matrisin hesap- lanması MM’ye kıyasla %20 daha uzun sürmüştür. Öte yandan, çözüm yapılan diğer frekanslarda bu matrisin çok büyük bir kısmı tekrar kullanıldığı için toplam çözüm süresi kısalmıştır. MM ile 1163 saniyede tamamlanan çözüm KFİE ile 220 saniyede tamamlanmıştır. Buna ek olarak matrisin depolanması için ihtiyaç 42 Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 2 4 6 8 10 208 Üçgen 322 Üçgen 728 Üçgen 1136 Üçgen 1494 Üçgen a. Yüzde alan hatası. Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 2 4 6 8 10 208 Üçgen 322 Üçgen 728 Üçgen 1136 Üçgen 1494 Üçgen b. Yüzde RKA hatası. Şekil 4.6. Düşük kontrastlı parçalı kare problemi için KFİE’nin MM’ye göre yüzde RKA hataları. 43 duyulan bellek ise MM için 321 MB, KFİE için ise 348 MB olmuştur. Dolayısı ile, depolama ihtiyacı çok az artırılarak çözüm büyük miktarda hızlandırılmıştır. 4.3 Değişken Malzemeli Küçük Daire Problemi Bu bölümde yarıçapı en yüksek frekansta 0.5 λ0 olan ve geometrisi Şekil 4.9’da gösterilen bir dairesel silindirden saçılım incelenmiştir. Saçıcının içerisinde mal- zeme özellikleri yarıçap r ’nin bir fonksiyonudur ve sürekli bir biçimde değiş- mektedir. Dolayısı ile bir önceki örnekte sağlanamayan malzeme özelliklerinin sürekliliği bu problemde sağlanmıştır. Düşük kontrastlı problem için malzeme özelliklerinin fonksiyonları Denklem 4.3’te verilmiştir. Dolayısıyla bu problem için malzeme özellikleri dairenin tam ortasında serbest uzay ile denk olmakta, dairenin dış kenarında ise εr = µr = 2 değerini almaktadır. εr (r ) = 1 + ( r 0.5λ0 )2 µr (r ) = 1 + ( r 0.5λ0 )2 (4.3) Bu problemde kullanılan üçgenlemeler ile ilgili bilgiler Çizelge 4.1’de göste- rilmiştir. Bu çizelge geometrinin ayrıklaştırılması için kullanılan üçgen ve ke- nar sayısını ve sonuçta oluşan doğrusal sistemin içerdiği bilinmeyen miktarını göstermektedir. Buna ek olarak, en yüksek frekansta ve en büyük malzeme özellikleri için 1λ2 d ’de kaç üçgen olduğu bilgisi de sıklık tanımı ile çizelgede yer almaktadır. Bu üçgenlemeler ile yapılan hesaplamalar sonucunda MM ve KFİE arasındaki hata ise Şekil 4.10’da gösterilmektedir. Şekilden de görülebi- leceği gibi 1052 üçgen ve daha fazlası kullanıldığında bütün frekans bandında en fazla %3 hata elde edilmektedir. Daha sık üçgenleme kullanıldığında ise beklenildiği gibi hata oranları düşmektedir. 2954 üçgen ile yapılan hesaplamanın sonucunda elde edilen çoklu frekans RKA değerleri ise Şekil 4.11’de gösterilmektedir. Bu sayıda üçgen kullanıldı- ğında bu sonuçların elde edilebilmesi için 11930 bilinmeyenli bir doğrusal sis- 44 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 MM a. 1.0 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 MM b. 0.8 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 MM c. 0.6 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 MM d. 0.4 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 MM e. 0.2 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 MM f. 0.1 GHz Şekil 4.7. Düşük kontrastlı parçalı kare problemi için çeşitli frekanslarda MM ve KFİE’nin açıya bağlı RKA karşılaştırması. 45 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM a. 1.0 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM b. 0.8 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM c. 0.6 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM d. 0.4 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM e. 0.2 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM f. 0.1 GHz Şekil 4.8. Yüksek kontrastlı parçalı kare problemi için çeşitli frekanslarda MM ve KFİE’nin açıya bağlı RKA karşılaştırması. 46 x y ε r(r) µr(r) Şekil 4.9. Değişken malzemeli küçük daire problemi geometrisi. Çizelge 4.1. Değişken malzemeli küçük daire problemi düşük kontrast durumu için üçgenleme bilgileri. Ayrıklaştırma Özellikleri Üçgen Kenar Bilinmeyen Sıklık 580 315 2370 185.1 1052 559 4274 335.4 1988 1039 8042 633.3 2954 1534 11930 940.8 tem çözülmüştür. Şekilden de görülebileceği gibi tüm frekanslarda MM ve KFİE yöntemi ile elde edilen RKA değerleri birbirlerine oldukça yakındır. Sadece geri saçılım bölgesi ve etrafında bazı farklılıklar olduğu gözlemlenmiştir. 4.4 Değişken Malzemeli Büyük Daire Problemi Bu bölümde yarıçapı en yüksek frekansta λ0 olan ve geometrisi Şekil 4.12’de gösterilen problemin çözümleri sunulacaktır. Önceki bölümde örnek olarak su- nulan problemde olduğu gibi, bu problemde de malzeme özellikleri yarıçap r ’nin bir fonksiyonudur. Malzeme özelliklerinin değişimi Denklem 4.4’te veril- 47 Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 2 4 6 8 10 580 Üçgen 1052 Üçgen 1988 Üçgen 2954 Üçgen a. Yüzde alan hatası. Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 1 2 3 4 5 580 Üçgen 1052 Üçgen 1988 Üçgen 2954 Üçgen b. Yüzde RKA hatası. Şekil 4.10. Değişken malzemeli küçük daire problemi için MM ve KFİE yöntem- lerinin yüzde RKA hataları. 48 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 0 MM a. 1.0 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 0 MM b. 0.8 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 0 MM c. 0.6 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 0 MM d. 0.4 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 0 MM e. 0.2 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -50 -40 -30 -20 -10 0 MM f. 0.1 GHz Şekil 4.11. Değişken malzemeli küçük daire problemi için çeşitli frekanslarda MM ve KFİE yöntemi RKA karşılaştırması. 49 x y ε r(r) µr(r) Şekil 4.12. Değişken malzemeli büyük daire problemi geometrisi. miştir. εr (r ) = 1 + ( r λ0 )2 µr (r ) = 1 + ( r λ0 )2 (4.4) Dolayısı ile dairenin merkezinde εr = µr = 1 olmakta, fakat dairenin dış ke- narında εr = µr = 2 olmaktadır. En yüksek frekans ve dış kenar malzeme özellikleri göz önünde bulundurulduğunda problem 4πλd çevre uzunluğunda olmaktadır, dolayısı ile elektriksel olarak büyük bir saçılım problemidir. Bu se- beple, bu problemin doğru çözümü için çok fazla sayıda üçgenin kullanılması gerekli olmuştur. Çözümlemede kullanılan üçgenleme sayıları ve bunlara karşı- lık gelen sıklık değerleri Çizelge 4.2’de gösterilmektedir. 6070 üçgen ile yapılan hesaplarda 24434 bilinmeyenli bir doğrusal sistemin çözümü yapılmıştır. Farklı üçgenleme sayıları için MM ve KFİE yönteminden elde edilen RKA de- ğerleri arasındaki yüzde hata oranları Şekil 4.14’te gösterilmiştir. Önceki ör- neklerde de olduğu gibi, artan üçgenleme sayısı ile frekans bandı içerisindeki hata oranının azaldığı gözlemlenmiştir. Buna ek olarak, 400 ve üzerinde üç- gen sıklığı kullanıldığında 0.9 GHz’den itibaren hatanın %3’ün altında kaldığı 50 Çizelge 4.2. Değişken malzemeli düşük kontrastlı büyük daire problemi üçgen- leme bilgileri. Ayrıklaştırma Özellikleri Üçgen Kenar Bilinmeyen Sıklık 1052 559 4274 83.8 2080 1085 8410 165.6 3004 1559 12130 239.2 4186 2158 16874 333.2 6070 3112 24434 483.2 değerlendirilmiştir. Bu problemin 6070 üçgen ile elde edilen çoklu frekans RKA sonuçları Şe- kil 4.15’te verilmiştir. Özellikle yüksek frekanslarda, saçıcı elektriksel boyutları büyük olduğu için, çok salınımlı saçılım örüntüleri elde edilmiştir. Önceki örnek- lerde olduğu gibi, bu örnekte de tüm frekanslarda RKA değerlerinin oldukça tutarlı olduğu gözlemlenmiştir. Uzak alan RKA sonuçlarına ek olarak, saçıcı geometrinin içerisinde yer alan Ez , Hx , Hy alanları 1.0 GHz frekansı için çizdirilmiş ve Şekil 4.13’te sunulmuş- tur. Alan değerlerini gösteren bu şekillerde değerler en büyük alan şiddetine göre normalize edilmiştir. Önceki örneğe benzer şekilde bu cisim için de benzer hızlanma ve bellek artışı gözlenmiştir. MM ile 21516 saniyede ve 5305 MB bellek kullanarak yapılan çözüm KFİE ile 3623 saniyede, 5484 MB bellek kullanarak gerçekleştirilmiştir. Son olarak, aynı saçılım probleminin yüksek kontrast durumu için çözümü ya- pılmıştır. Bir önceki örneğe benzer şekilde malzeme özellikleri saçıcının en dış kenarında εr = 5, µr = 10 olacak ve r ’nin bir fonksiyonu olarak saçıcı merke- zine doğru serbest uzay parametrelerine yaklaşacak şekilde seçilmiştir. Bu du- rumda saçıcının çevresi 14.14πλd olmaktadır. Problemin elektriksel büyüklüğü- nün sonucu olarak çok fazla sayıda üçgen kullanımı gerekli olmuştur. Çalışma kapsamında bu problem en fazla 15452 üçgen kullanılarak modellenebilmiş- tir. Bu modelin çözümü için MM yöntemi 46836, KFİE ise 62050 bilinmeyenli 51 X Ekseni (m) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Y E ks en i ( m ) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 |E z | a. X Ekseni (m) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Y E ks en i ( m ) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 |E z | b. X Ekseni (m) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Y E ks en i ( m ) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 |H x | c. X Ekseni (m) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Y E ks en i ( m ) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 |H x | d. X Ekseni (m) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Y E ks en i ( m ) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 |H y | e. X Ekseni (m) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Y E ks en i ( m ) -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 |H y | f. Şekil 4.13. Yüksek kontrastlı değişken malzemeli büyük daire problemi için 1.0 GHz frekansında MM (a), (c), (e) ve KFİE (b), (d), (f) ile he- saplanmış alanlar. 52 Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 2 4 6 8 10 12 14 1052 Üçgen 2080 Üçgen 3004 Üçgen 4186 Üçgen 5148 Üçgen 6070 Üçgen a. Yüzde alan hatası. Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 1 2 3 4 5 1052 Üçgen 2080 Üçgen 3004 Üçgen 4186 Üçgen 5148 Üçgen 6070 Üçgen b. Yüzde RKA hatası. Şekil 4.14. Değişken malzemeli düşük kontrastlı büyük daire problemi için MM ve KFİE yöntemlerinin yüzde RKA hataları. 53 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM a. 1.0 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM b. 0.8 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM c. 0.6 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM d. 0.4 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM e. 0.2 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM f. 0.1 GHz Şekil 4.15. Değişken malzemeli düşük kontrastlı büyük daire problemi için çe- şitli frekanslarda MM ve KFİE’nin RKA karşılaştırması. 54 doğrusal sisteme ihtiyaç duymuştur. MM ve KFİE ile elde edilen RKA değerleri arasında hesaplanan yüzde hata değerleri Şekil 4.16’da gösterilmektedir. Bu problemde özellikle 0.5 ve 0.7 GHz frekanslarında yüzde hatanın ciddi bir şekilde arttığı ve düşük sayıda eleman için %45, yüksek sayıda eleman için ise %30 civarına ulaştığı gözlemlenmiştir. Ancak, diğer frekanslar için en yüksek üçgenleme sayısı düşünüldüğünde hata oranı %3.5 altında kalmıştır. Hesaplamanın yapıldığı frekans bandı boyunca elde edilen açıya bağlı RKA değerleri ise Şekil 4.17’de gösterilmektedir. Önceki örneklerde olduğu gibi, bu- rada da MM ve KFİE ile elde edilen açıya bağlı RKA değerlerinin uyumlu ol- duğu değerlendirilmiştir. Şekil 4.18’de ise yüzde RKA hatalarının yüksek olduğu frekanslarda sonuçlar sunulmuştur. Yüzde RKA hataları diğer frekanslara kıyasla çok yüksek olsa dahi, açıya bağlı RKA şekilleri incelendiğinde MM ve KFİE’nin uyumlu sonuçlar ürettiği değerlendirilmiştir. Yüksek kontrastlı bu problem için üçgenleme sıklık bilgisi Çizelge 4.3’te veril- miştir. Tablo incelendiğinde, en yüksek sayıda üçgenleme kullanıldığı durumda dahi üçgenleme sıklığının önceki örneklere göre düşük kaldığı gözlemlenmiştir. Bu durum, çözüm yapılan frekans bandı içerisinde yüksek hatalar elde edilme- sini açıklamaktadır. Öte yandan, ulaşılabilen bilgisayar donanımları ile daha fazla sayıda üçgenleme yapılamamıştır. Bu sebeple çözümler bu sıklıkta kesil- miştir. 4.5 MM ve KFİE Yönteminin Zaman Karşılaştırması Önceki bölümlerde de ifade edildiği gibi, KFİE kullanılarak yapılan çözümle- melerde empedans matrisinin tümü sadece ω0 kaydırılmış frekansında hesap- lanmaktadır. İlgilenen diğer frekanslarda ise bu matrisin büyük kısmı tekrar kullanılmakta, sadece yüzey-yüzey etkileşimleri baştan hesaplanmaktadır. Bu 55 Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 10 20 30 40 50 6070 Üçgen 9600 Üçgen 12562 Üçgen 15452 Üçgen a. Yüzde alan hatası. Frekans (GHz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 H at a (% ) 0 10 20 30 40 50 6070 Üçgen 9600 Üçgen 12562 Üçgen 15452 Üçgen b. Yüzde RKA hatası. Şekil 4.16. Yüksek kontrastlı değişken malzemeli büyük daire problemi için KFİE’nin MM’ye göre yüzde RKA hataları. 56 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM a. 1.0 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM b. 0.8 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM c. 0.6 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM d. 0.4 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM e. 0.2 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM f. 0.1 GHz Şekil 4.17. Yüksek kontrastlı değişken malzemeli büyük daire problemi için çe- şitli frekanslarda MM ve KFİE’nin RKA karşılaştırması. 57 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM a. 0.7 GHz 0 90 180 270 360 R K A ( dB m 2 ) -30 -20 -10 0 10 MM b. 0.5 GHz Şekil 4.18. Yüzde RKA hatasının yüksek olduğu frekanslarda açıya bağlı RKA değerleri. 58 Çizelge 4.3. Değişken malzemeli, yüksek kontrastlı büyük daire problemi üç- genleme bilgileri. Ayrıklaştırma Özellikleri Üçgen Kenar Bilinmeyen Sıklık 6070 3112 24434 53.7 9600 4897 38594 84.9 12562 6394 50474 111.1 15452 7847 62050 136.6 100 101 102 101 102 103 104 MM KFIE Şekil 4.19. MM ve KFİE yöntemleri toplam hesaplama zamanları. özelliğin bir sonucu olarak diğer ω frekanslarında yapılan çözümlemelerin mat- ris doldurma kısmı etkin olarak bir yüzey integral denklem formülasyonu kar- maşıklığına indirilmiş olmaktadır. Dolayısı ile, KFİE ile yapılan çözümlemelerde elde edilen hız avantajı aslında problemin kaç frekansta çözüldüğü ile ilgili ol- maktadır. Yaklaşık 300 üçgen içeren görece küçük bir problem 2 ile 200 arasında deği- şen sayıda frekansta çözülmüştür. Yapılan çözümlemelerin toplam süresi Şe- kil 4.19’da gösterilmiştir. Görülebileceği gibi, MM ile yapılan çözümlerde gerekli zaman çözüm yapılacak frekans sayısı ile birlikte hızlıca artmaktadır. Örneğin 59 100 101 102 0 10 20 30 40 50 60 Şekil 4.20. KFİE yöntemi ile elde edilen hızlanma. 200 farklı frekansta yapılan çözümlemede MM yöntemi 4500 saniyeye ihtiyaç duyarken, KFİE ile aynı çözüm sadece 90 saniyede elde edilmektedir. İki yöntem için gerekli zamanın oranlanması ile bir hızlanma tanımı yapılabilir. Bu cisim için frekans sayısına bağlı hızlanma ise Şekil 4.20’de gösterilmiştir. Görülebileceği gibi, 200 farklı frekansta yapılan çözümleme için yaklaşık 54 kat hızlanma elde edilmiştir. Daha büyük problemler, özellikle MM çözümleri çok uzun sürdüğü için bu karşı- laştırmada kullanılmamıştır, ancak sonuçların ve kazancın benzer olacağı açık olarak görülebilir. 60 5. SONUÇ VE TARTIŞMA Bu çalışma kapsamında iki boyutlu homojen olmayan saçılım problemleri KFİE yöntemi kullanılarak çok geniş bir frekans bandı içerisinde çözülmüştür. Bu çözümler doğrulukları açısından analitik ve nümerik referans sonuçlar ile kar- şılaştırılmış ve yorumlanmıştır. Literatürde karşılaşılan diğer çoklu frekans yön- temlerinde özellikle bilgisayar zamanı açısından ciddi bir artış gerekmektedir. KFİE ile yapılan çözümlerde bu şekilde bir artış gerekli olmamaktadır. Buna ek olarak, yapılan çözümlemelerde çok ciddi işlemci gücü tasarrufları da sağlan- mıştır. Gerekli üçgenleme sayılarına ulaşıldığında KFİE yönteminin MM yön- temine benzer doğrulukta sonuçlar ürettiği gösterilmiştir. Öte yandan, bu ça- lışma kapsamında geliştirilen program görece basit açılım ve test fonksiyonları kullanmaktadır. Daha karmaşık fakat daha yüksek doğruluk sağlayacak fonksi- yonların kullanımı ile KFİE’den elde edilecek doğruluk miktarının artacağı veya belirli bir doğruluk seviyesinde çözümlemenin daha düşük miktarda üçgenleme kullanılarak elde edilebileceği öngörülmektedir. KFİE kullanılarak homojen olmayan saçıcıların elektromanyetik çözümlemeleri geniş bir frekans bandı içerisinde doğru ve hızlı bir şekilde yapılabilmektedir. Sıklıkla karşılaşılan elektromanyetik problemlerde saçıcının iç hacminde kul- lanılan üçgen miktarı, kenarlarında kullanılan bölümleme miktarına göre çok daha fazla olmaktadır. Dolayısı ile elde edilen doğrusal denklemlerin çok bü- yük bir kısmı saçıcının içerisindeki üçgenlerin etkileşimi ile ilgilidir. KFİE saye- sinde, tüm doğrusal denklemler sadece ω0 kaydırılmış frekansında hesaplanır ve diğer frekanslarda bu verinin büyük bir kısmı tekrar kullanılır. Bu sebeple, özellikle geniş bir bant içerisinde yüksek sayıda frekans için çözüm yapıldı- ğında KFİE ile çok ciddi zaman kazanımları sağlamak mümkün olmuştur. Nümerik yöntemlerin hata seviyelerinin kontrol edilebilir olması önem taşımak- tadır. Bu çalışma kapsamında da KFİE’nin hata seviyesinin kullanılan üçgen- leme miktarı ile kolaylıkla ayarlanabildiği gösterilmiştir. Öte yandan, KFİE özünde MM niteliği taşıdığı için açılım ve test fonksiyonları arasındaki etkileşimlerin he- 61 saplanıp matris olarak depolanması gerekmektedir. Bu özellik hesaplamaların yapıldığı bilgisayarın bellek gereksinimini zorlayıcı olabilmektedir. Tüm etkile- şimler bilgisayar belleğinde saklandığı için, bellek gereksinimi O(N2) olmak- tadır. Dolayısı ile, bir problem için kullanılacak ayrıklaştırma sayısı iki katına çıktığında bilgisayarın dört kat daha fazla belleği kullanılacaktır. Yukarıdaki paragrafta bahsedilen depolama miktarı ile ilgili durum özünde MM yöntemi kullanan elektromanyetik çözücülerin en önemli problemleri arasında- dır. Bu sorunun aşılabilmesi, FMM yada MLFMA gibi gelişmiş algoritmaların kullanımı ile mümkün olmaktadır. KFİE yöntemi ile formüle edilen bir saçılma problemi MLFMA yöntemi ile hızlandırılabilir. Gelecekte KFİE yönteminin üç boyutlu elektromanyetik saçılma problemlerine uygulanması ve MLFMA ile hızlandırılması konularının çalışılmasının önemli olduğu düşünülmektedir. 62 KAYNAKLAR [1] Jin, Jian-Ming, The finite element method in electromagnetics, John Wiley & Sons, 2014. [2] Taflove, Allen, Hagness, Susan C, Computational electrodynamics, Artech house publishers, 2000. [3] Harrington, Roger F, Harrington, Jan L, Field computation by moment methods, Oxford University Press, 1996. [4] Song, Jiming, Lu, Cai-Cheng, Chew, Weng Cho, Multilevel fast multi- pole algorithm for electromagnetic scattering by large complex objects, Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 45, 10, 1488–1493, 1997. [5] Ergul, Ozgur, Gurel, Levent, The Multilevel Fast Multipole Algorithm (MLFMA) for Solving Large-Scale Computational Electromagnetics Problems, Wiley, 2014. [6] Michiels, Bart, Fostier, Jan, Bogaert, Ignace, De Zutter, Daniel, Full- wave simulations of electromagnetic scattering problems with billions of unknowns, Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 63, 2, 796–799, 2015. [7] Werner, Douglas H, A method of moments approach for the efficient and accurate modeling of moderately thick cylindrical wire antennas, Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 46, 3, 373–382, 1998. [8] Haykir, Yigit, Koksal, Adnan, A new approach for the analysis of thick wire antennas, in Antennas and Propagation & USNC/URSI Nati- onal Radio Science Meeting, 2015 IEEE International Symposium on. IEEE, 963–964, 2015. [9] Bruns, Christian, Leuchtmann, Pascal, Vahldieck, Ruediger, Analy- sis and simulation of a 1-18-ghz broadband double-ridged horn an- tenna, Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on, 45, 1, 55–60, 2003. [10] Yla-Oijala, Pasi, Taskinen, Matti, Sarvas, Jukka, Surface integral equ- ation method for general composite metallic and dielectric structures with junctions, Progress In Electromagnetics Research, 52, 81–108, 2005. [11] Ergül, Özgür, Gürel, Levent, Stabilization of integral-equation formu- lations for the accurate solution of scattering problems involving low- contrast dielectric objects, Antennas and Propagation, IEEE Transac- tions on, 56, 3, 799–805, 2008. 63 [12] Chew, Weng Cho, Waves and fields in inhomogeneous media, 522, IEEE press New York, 1995. [13] Newman, E. H., Generation of wide-band data from the method of moments by interpolating the impedance matrix [em problems], IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 36, 12, 1820–1824, Dec, 1988. [14] Gong, Jian, Volakis, J. L., Awe implementation for electromagnetic fem analysis, Electronics Letters, 32, 24, 2216–2217, Nov, 1996. [15] Reddy, C. J., Deshpande, M. D., Cockrell, C. R., Beck, F. B., Fast rcs computation over a frequency band using method of moments in con- junction with asymptotic waveform evaluation technique, IEEE Tran- sactions on Antennas and Propagation, 46, 8, 1229–1233, Aug, 1998. [16] Koksal, A., Shifted-frequency internal equivalence, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 46, 1, 76–81, Jan, 1998. [17] Koksal, A., Multifrequency formulation for electromagnetic scattering using shifted-frequency internal equivalence, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 47, 2, 150–155, Feb, 1999. [18] Weisstein, Eric W., Euler-mascheroni constant. from mathworld–a wolfram web resource., . [19] Dunavant, D. A., High degree efficient symmetrical gaussian quadra- ture rules for the triangle, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 21, 6, 1129–1148, 1985. [20] Koksal, A., Ozdemir, S., Unal, A., Koc, S. N., Identities yielding singularity-free potential integrals, IEEE Antennas and Wireless Pro- pagation Letters, 12, 1, 949–950, 2013. [21] Wilton, D., Rao, S., Glisson, A., Schaubert, D., Al-Bundak, O., Butler, C., Potential integrals for uniform and linear source distributions on polygonal and polyhedral domains, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 32, 3, 276–281, Mar, 1984. [22] Karapinar, E. Koksal A., Kaydirilmis frekansta ic esdegerlik kullanarak coklu frekansta elektromanyetik sacilma analizi, URSI Sempozyumu, Ankara, Turkiye, 46, 1, 76–81, Jan, 1998. 64 ÖZGEÇMİŞ Kimlik Bilgileri Adı Soyadı : ALPER ÜNAL Doğum Yeri : Bursa Medeni Hali : Evli E-posta : runal.ug@gmail.com Adresi : Karme Sitesi No:60 Tulumtaş Mahallesi Gölbaşı / ANKARA Eğitim Lisans : Bilkent Üniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Böl., ANKARA Yabancı Dil ve Düzeyi İngilizce : Çok İyi İş Deneyimi Eylül 2008-Ağustos 2008 : Mühendis, Bilkent Üniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Böl., ANKARA Ağustos 2008-... : Elektromanyetik Tasarım Baş Mühendisi Meteksan Savunma A.Ş., ANKARA Deneyim Alanları Mikrodalga ve milimetre dalga anten ve radom teknolojileri. 65 Tezden Üretilmiş Projeler ve Bütçesi Tezden Üretilmiş Yayınlar Köksal, A., Özdemir, S., Ünal, A., Koç, S., H., Identities Yielding Singularity-Free Potential Integrals, Antennas and Wireless Propagation Letters, IEEE, vol.12, 2013 Ünal, A., Köksal., A., On the Accuracy and Bandwidth of SFIE for 2-D EM Scattering, IEEE Transactions on Antennas and Propagation dergisine Kasım 2016’da gönderilmiştir. Tezden Üretilmiş Tebliğ ve/veya Poster Sunumu ile Katıldığı Toplantılar Ünal, A., Köksal, A., Solution of 2D Scattering from Large Inhmogeneous Dielectric Cylinders with Shifted Frequency Internal Equivalence Principle IEEE International Symposium on Antennas and Propagation and USNC-URSI Radio Science Meeting, Vancouver, Canada, July 2015 Ünal, A., Karapınar, E., Köksal, A., Accuracy and Bandwidth Investigation of Shifted Frequency Internal Equivalence in 2D IEEE International Symposium on Antennas and Propagation and USNC-URSI Radio Science Meeting, Memphis, TN, USA, July 2014 Özdemir, S., Ünal, A., Koç, S. N., Köksal, A., Tekil Potansiyel İntegralleri için Özdeşlikler URSI 2014, Elazığ, Türkiye, 2014. 66 Alper Ünal Pencil