BAZI SİNGULAR GENELLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYONLARIN NEUTRİX KOMPOZİSYONLARI NEUTRIX COMPOSITIONS OF SOME SINGULAR GENERALIZED FUNCTIONS İNCİ AKTÜRK Prof. Dr. EMİN ÖZÇAĞ Tez Danışmanı HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ Lisansüstü Eğitim–Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin Matematik Anabilim Dalı için Öngördüğü YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır. 2014 İNCİ AKTÜRK’ün hazırladığı ”Bazı Singular Genelleştirilmiş Fonksiyon- ların Neutrix Kompozisyonları” adlı bu çalışma aşağıdaki jüri tarafından MATE- MATİK ANABİLİM DALI’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Prof. Dr. Kenan TAŞ Başkan ............................................................ Prof. Dr. Emin ÖZÇAĞ Danışman ............................................................ Prof. Dr. Kamal SOLTANOV Üye ............................................................ Prof. Dr. Haşmet GÜRÇAY Üye ............................................................ Doç. Dr. Uğur GÜL Üye ............................................................ Bu tez Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tarafından YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak onaylanmıştır. Prof. Dr.Fatma SEVİN DÜZ Fen Bilimleri Enstitü Müdürü ETİK Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; • tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, • görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, • başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel norm- lara uygun olarak atıfta bulunduğumu, • atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, • kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı, • ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim. 18/06/2014 İNCİ AKTÜRK ÖZET BAZI SİNGULAR GENELLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYONLARIN NEUTRİX KOMPOZİSYONLARI İNCİ AKTÜRK Yüksek Lisans, Matematik Bölümü Tez Danışmanı: Prof. Dr. Emin ÖZÇAĞ Haziran 2014, 61 sayfa Bu tezde neutrix kalkülüs kullanılarak bazı özel genelleştirilmiş fonksiyonların neutrix kompozisyonları tanımlanmıştır. Tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, teze giriş yapılmıştır. İkinci bölümde, genelleştirilmiş fonksiyonların tanımı ve özellikleri ile neutrix, neut- rix limit tanımları ve örnekleri, ayrıca genelleştirilmiş fonksiyonların kompozisyonu ve neutrix kompozisyonun tanımları verilmiştir. Üçüncü bölümde, x−s ile xr+ genelleştirilmiş fonksiyonlarının ( xr+ )−s neutrix kompozis- yonu tanımlanmıştır.. Dördüncü bölümde, Heaviside genelleştirilmiş fonksiyonunun negatif kuvvetlerine an- lam verilmiştir. Ayrıca bu bölümde, [ H(x) ]−s − ve [ H(x) ]−s + neutrix kompozisyonları tanımlanmıştır. Son bölümde, üçüncü bölümde verilen ( xr+ )−s genelleştirilmiş fonksiyonu için, r yerine µεR+ gerçel sayısı alınarak, m = 1, 2, ... , µmεZ+ için ( xµ+ )−m neutrix kompozisyonu tanımlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Neutrix, neutrix limit, genelleştirilmiş fonksiyonlar, genelleştiril- miş fonksiyonların kompozisyonu, test fonksiyonları, delta fonksiyonu. i ABSTRACT NEUTRIX COMPOSITIONS OF SOME SINGULAR GENERALIZED FUNCTIONS İNCİ AKTÜRK Master of Science, Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Emin ÖZÇAĞ June 2014, 61 pages In this thesis by using the neutrix calculus, the neutrix compositions of some special generalized functions are defined. The thesis consists of five chapters. The first chapter is an introduction to the thesis. In the second chapter, the definitions of generalized function with their some pro- perties and the concepts of neutrix, neutrix limit with examples, also the concept of compositions of generalized functions are given. In the third chapter, the neutrix composition ( xr+ )−s of the generalized functions x−s and xr+ is defined. In the fourth chapter, the meaning was given to the negative powers of Heaviside gene- ralized function H(x) . Also, at the end of chapter the neutrix compositions [ H(x) ]−s − and [ H(x) ]−s + are defined. In the last chapter, let µεR+, m = 1, 2, ... such that µmεZ+. Then the neutrix compo- sition ( xµ+ )−m of xµ+ and x−m is defined. Keywords: Neutrix, neutrix limit, generalized functions, composition of generalized functions, test functions, delta function. ii TEŞEKKÜR Yüksek lisans çalışmalarımda ve bu tezin oluşturulmasında beni teşvik eden, destekle- yen, hiçbir yardımı esirgemeyen, her türlü fikir ve eleştirilerini sunan, düzelti okuma- larını yapan, hem bilimsel anlamda hem de hayata dair çok şey öğreten ve en önemlisi sabır ve samimiyetle her daim yanımda olan değerli tez danışmanım Prof. Dr. Emin ÖZÇAĞ’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Araştırmalarımda özellikle tez yazımında bana zaman ayırarak tüm bilgilerini paylaşan ve yardımlarını hiç esirgemeyen Doç. Dr. Selma ÖZÇAĞ’a ve Arş. Gör. Esra KARA- TAŞ’a teşekkürlerimi sunarım. Bugüne kadar iyi kötü her anımda benimle olup beni destekleyen tüm arkadaşlarıma ve hocalarıma yürekten teşekkür ederim. Tüm yaşamım boyunca her anlamda yanımda olan, bana destek olan, her girdiğim yolda benimle birlikte sıkıntı ve strese katlanıp, fedakarlık gösteren, her daim sabır, sevgi ve duasını hiç eksik etmeyen canım AİLEME en içten teşekkürlerimi sunarım. iii İçindekiler ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ iv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ v 1 GİRİŞ 1 2 TEMEL KAVRAMLAR VE ÖZELLİKLER 2 2.1 Genelleştirilmiş Fonksiyonlar Uzayı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Neutrix , Neutrix Limit ve Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Genelleştirilmiş Fonksiyonların Neutrix Kompozisyonu . . . . . . . . . 20 3 x−s ve xr + GENELLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYONLARININ NEUTRİX KOMPOZİSYONU 23 4 HEAVİSİDE GENELLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYONUNUN NEGATİF KUVVETLERİ 34 5 ( xµ+ )−m NEUTRİX KOMPOZİSYONU 39 KAYNAKLAR DİZİNİ 50 ÖZGEÇMİŞ 53 iv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ N Neutrix N ′ N Neutrixinin Tanım Kümesi N ′′ N Neutrixinin Değer Kümesi D Test Fonksiyonlar Uzayı D ′ Genelleştirilmiş Fonksiyonlar Uzayı N Doğal Sayılar Kümesi Z Tam Sayılar Kümesi R Gerçel Sayılar Kümesi δ(x) Dirac-delta Fonksiyonu δn(x) Dirac-delta Dizisi H(x) Heaviside Fonksiyonu supp(f) f Fonksiyonunun Desteği ϕ(x) Test Fonksiyonu ψ(x) Sürekli Fonksiyon 〈f, ϕ〉 f Genelleştirilmiş Fonksiyonunun ϕ’deki Değeri F (x+,−n) x−n+ e Karşılık Gelen Genelleştirilmiş Fonksiyon F (f(x)) F ile f Fonksiyonlarının Kompozisyonu ∗ Konvülüsyon Çarpım v 1 GİRİŞ Yakınsak olmayan integrallerden, uygun olarak tanımlanmış ıraksak parçanın atılarak sonlu parçanın elde edilmesi metodu ilk defa Hadamard tarafından verilmiştir. Elde edilen sonlu değer Hadamard sonlu toplamı olarak adlandırılır [5]. Hadamard metodu Van Der Corput [3] tarafından geliştirilen Neutrix Calculus’un bir uygulaması şeklinde düşünülebilir. Asimptotik açılımlardan (genişlemelerden) istenmeyen sonsuz parçanın atılmasının ge- nel prensibi, Fisher tarafından [6] neutrix ve neutrix limit kavramları kullanılarak ve- rilmiş ve genelleştirilmiş fonksiyonlara uygulanmıştır. Bu tezde, Van Der Corput [3] tarafından verilen neutrix ve neutrix limit kavram- ları kullanılarak genelleştirilmiş fonksiyonların neurtix kopozisyonlarının tanımları ve- rilecek, daha sonra neutrix kompozisyonlara örnek olarak, üçüncü bölümde ( xr+ )−s ve dördüncü bölümde H(x) Heaviside fonksiyonunun negatif kuvvetleri tanımlanacaktır. En son bölümde daha önce yapılmayan, xµ+ ve x−m genelleştirilmiş fonksiyonlarının kompozisyonu tanımlanacaktır. 1 2 TEMEL KAVRAMLAR VE ÖZELLİKLER Bu bölümde genelleştirilmiş fonksiyonlar uzayı ve bazı özellikleri, neutrix ve neutrix li- mit tanımları ve neutrix kavramının genelleştirilmiş fonksiyonların kompozisyonlarının tanımlanmasında nasıl uygulandığını örnekleriyle birlikte vereceğiz. 2.1 Genelleştirilmiş Fonksiyonlar Uzayı Genelleştirilmiş fonksiyonları tanımlamadan önce genelleştirilmiş fonksiyonların üze- rinde tanımlı olduğu test fonksiyonlarını ve bazı temel özelliklerini kısaca verelim. Biz test fonksiyonlarını sadece gerçel eksen üzerinde alacağız. ϕ(x), tanım kümesi gerçel eksen üzerinde olan gerçel değerli bir fonksiyon olsun. { xεR : ϕ(x) 6= 0} kümesine ϕ(x) ’in desteği denir ve supp ϕ ile gösterilir. Her mertebeden türevlenebilir ve desteği kompakt olan fonksiyona test fonksiyonu denir [14]. Test fonksiyonları kümesi, üzerindeki bilinen toplama ve skalerle çarpma işlemi ile bir vektör uzayıdır ve D ile gösterilir. 2.1.1 Örnek : ϕ(x) =  e 1 x−b− 1 x−a , a < x < b 0 , x ≤ a, x ≥ b olarak tanımlansın. ϕ (x) her mertebeden türevlenebilir bir fonksiyondur ve supp ϕ (x) = { xεR : ϕ(x) 6= 0} = (a, b) = [a, b] ’dır [15]. f her mertebeden türevli bir fonksiyon ve ϕ herhangi bir test fonksiyonu ise, bu fonk- siyonların çarpımı fϕ ’de bir test fonksiyonudur. Test fonksiyonlarının D doğrusal uzayı üzerindeki topolojisi, m pozitif bir tamsayı ve K, Ω açık alt kümesinin kompakt bir alt kümesi olmak üzere, |f |m,k = sup |p|≤m { sup xεK ∣∣(∂/∂x)pf(x) ∣∣} yarınormlar ailesi ile verilir [30]. 2 Genelleştirilmiş fonksiyon tanımını vermeden önce D uzayında yakınsama tanımını vereceğiz. {ϕn} ⊂ D test fonksiyonlarının R gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir dizisi olsun. Her n için supp ϕn ⊂ [a, b] olsun. Eğer her rεN için {ϕ(r) n } −→ 0 düzgün yakınsıyorsa, o zaman { ϕn(x) } dizisi sıfıra yakınsıyor denir [14]. 2.1.2 Örnek : Her mertebeden türevlenebilen ϕ(x, a) fonksiyonu ϕ(x, a) =  e −a2 a2−x2 , a < x < b 0 , x ≤ a, x ≥ b olarak tanımlansın. Bu durumda ϕn(x) = { 1 n ϕ(x, a) } dizisi D uzayı içinde sıfıra yakınsaktır, ancak ϕn(x) = { 1 n ϕ ( x n , a )} dizisi D içinde sıfıra yakınsamaz. Çünkü bütün fonksiyonlar için ortak sınırlı bir bölge yoktur. D üzerinde tanımlı doğrusal f fonksiyonunun ϕ ’deki değerini 〈f, ϕ〉 ile göstereceğiz. 2.1.3 Tanım : f , test fonksiyonlar uzayı D üzerinde tanımlı bir fonksiyonel olsun. Eğer f fonksiyoneli, (i) her α1, α2 gerçel sayıları ve her ϕ1, ϕ2εD için 〈f, α1ϕ1 + α2ϕ2〉 = α1〈f, ϕ1〉+ α2〈f, ϕ2〉, (ii) D içinde sıfıra yakınsayan her { ϕn } dizisi için { 〈f, ϕn〉 } dizisi sıfıra yakınsar, koşullarını sağlıyorsa, f ’ye bir genelleştirilmiş fonksiyon denir [14]. D test fonksiyonları üzerinde tanımlı bütün genelleştirilmiş fonksiyonlar uzayını D ′ ile göstereceğiz. f , R ’nin her sınırlı alt kümesi üzerinde tanımlı yerel integrallenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman her ϕεD için 〈f, ϕ〉 = ∫ ∞ −∞ f(x)ϕ(x) dx (1) 3 integrali sonludur ve integralin özelliklerinden 2.1.3 Tanım’daki koşullar sağlanır. Böylece her yerel integrallenebilir fonksiyona bir genelleştirilmiş fonksiyon karşılık gelir. (1) eşitliği D uzayı üzerinde tanımlı olan özel doğrusal ve sürekli bir genelleştirilmiş fonksiyonu gösterir. Her ϕ(x) test fonksiyonu ile eşleştirilen bir genelleştirilmiş f fonk- siyonunun x0 = 0 noktasındaki değeri doğrusal ve süreklidir ama bu genelleştirilmiş fonksiyon (1) eşitliğinde verilen şekilde ifade edilemez. (1) eşitliği ile ifade edilebilen genelleştirilmiş fonksiyonlara düzgün (regüler) ve diğerlerine de düzgün olmayan (singüler) genelleştirilmiş fonksiyon adı verilir. U ⊂ R , x0 ’ın bir komşuluğu olmak üzere, supp ϕ ⊂ U olan her ϕ için 〈f, ϕ〉 = 0 ise, o zaman f genelleştirilmiş fonksiyonuna x0 ’ın U komşuluğunda sıfırdır denir. Bir f(x) fonksiyonu x0 ’ın bir U komşuluğunda sıfırlanıyor ise f(x) ’e karşılık gelen f genelleştirilmiş fonksiyonu da bu komşulukta sıfırlanır. f genelleştirilmiş fonksiyonu x0 ’ın bir komşuluğunda sıfır olmuyorsa, x0 noktasına f genelleştirilmiş fonksiyonunun esas noktası denir. Buna bir örnek olarak, x0 = 0 noktasının f(x) = x2 fonksiyonuna karşılık gelen ge- nelleştirilmiş fonksiyon için bir esas nokta olduğu verilebilir.Bundan dolayı gerçel eksen üzerindeki her bir nokta f genelleştirilmiş fonksiyonu için bir esas nokta olur. f ’nin esas noktalarının kümesine, f genelleştirilmiş fonksiyonunun desteği de- nir ve supp (f) ile gösterilir [14]. Dirac-delta fonksiyonu δ(x) =  0 , x 6= 0 ∞ , x = 0 ile tanımlıdır. Bu fonksiyona karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyon〈 δ(x), ϕ(x) 〉 = ϕ(0) eşitliği ile ifade edilir. Açıktır ki, bu genelleştirilmiş fonksiyon (1) eşitliği ile tanımlana- maz. Dolayısıyla bu genelleştirilmiş fonksiyon singülerdir ve x0 6= 0 olan noktaların 4 keyfi komşuluğunda sıfırlanır. Herhangi bir genelleştirilmiş f fonksiyonu α gerçel sayısı için 〈 f(x− α), ϕ(x) 〉 = 〈 f(x), ϕ(x+ α) 〉 olarak tanımlanır. f genelleştirilmiş fonksiyonu ve her ϕεD için, 〈 f(x), ϕ(x) 〉 = 〈 f(x), ϕ(−x) 〉 oluyorsa, f ’ye çift〈 f(x), ϕ(x) 〉 = − 〈 f(x), ϕ(−x) 〉 oluyorsa, f ’ye tek denir. 2.1.4 Tanım : { fn } genelleştirilmiş fonksiyonların bir dizisi olsun. Her ϕεD için〈 fn, ϕ 〉 −→ 〈 f, ϕ 〉 oluyorsa, { fn } dizisi f genelleştirilmiş fonksiyonuna yakınsıyor denir. Yukarıda tanımlanan yakınsamaya göre D ′ uzayı tam uzay olur, bu da D ′ uzayının en önemli özelliklerinden biridir [17, 18, 29]. Diğer bir ifade ile, eğer { fn } genelleştirilmiş fonksiyonların dizisi, her ϕεD için 〈 fn, ϕ 〉 sayılar dizisinin limiti var olacak şekilde ise bu limit yine D uzayı üzerinde tanımlı sürekli ve doğrusal bir fonksiyoneldir [4]. Diğer bir özellik ise, keyfi bir genelleştirilmiş fonksiyona test fonksiyonlarının dizisi ile yaklaşılabilmesidir [2, 14]. Çünkü D test fonksiyonları uzayı, D ′ genelleştirilmiş fonksiyonları uzayı içinde yoğundur. 2.1.5 Örnek : { fn } fonksiyon dizisi fn(x) =  n , |x| ≤ 1 2n 0 , |x| > 1 2n olarak tanımlansın. O halde { fn } fonksiyon dizisi Dirac-delta δ(x) genelleştirilmiş fonksiyonuna yakınsar [15]. 5 f , g genelleştirilmiş fonksiyonları ve herhangi bir α skaleri için f + g ’nin toplamı 〈f + g, ϕ〉 = 〈f, ϕ〉+ 〈g, ϕ〉 ve αg çarpımı da 〈αg, ϕ〉 = α〈g, ϕ〉 biçimde tanımlıdır. Böylelikle D ′ doğrusal bir uzay olur. Genelleştirilmiş fonksiyon türevinin tanımını verebilmek için, öncelikle tek değişkenli, birinci mertebeden sürekli türevlenebilen bir f fonksiyonunu ele alalım. f ′ bu ge- nelleştirilmiş fonksiyonun türevi olsun. O zaman her ϕεD için 〈f ′ , ϕ〉 = ∫ ∞ −∞ f ′ (x)ϕ(x) dx = [ f(x)ϕ(x) ]∣∣∣∞ −∞ − ∫ ∞ −∞ f(x)ϕ ′ (x) dx = − 〈 f, ϕ ′〉 eşitliği elde edilir. Böylece aşağıdaki tanımı verebiliriz. 2.1.6 Tanım : Keyfi bir f genelleştirilmiş fonksiyonu ve her ϕεD için 〈g, ϕ〉 = −〈f, ϕ′〉 eşitliği ile tanımlı g fonksiyoneline f ’nin türevi denir ve f ′ ile gösterilir. Burada f ′ türevinin de genelleştirilmiş fonksiyon olduğu kolayca görülebilir. Dolayısıyla bir genelleştirilmiş fonksiyonun türevi, yine bir genelleştirilmiş fonksiyon olduğundan ge- nelleştirilmiş fonksiyonlar her mertebeden türeve sahiptir. Bu da genelleştirilmiş fonk- siyonları, fonksiyonlardan ayıran önemli bir özelliktir. Genel olarak f ’nin r ’inci türevi f (r), her ϕεD için〈 f (r)(x), ϕ(x) 〉 = (−1)r 〈 f(x), ϕ(r)(x) 〉 eşitliği ile tanımlanır. Yerel integrallenebilir H Heaviside fonksiyonu H(x) =  1 , x > 0 0 , x < 0 6 eşitliği ile tanımlıdır. Bu fonksiyona karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyonu H ile gösterirsek, o zaman her ϕεD için H genelleştirilmiş fonksiyonunun türevi 〈 H ′ (x), ϕ(x) 〉 = − 〈 H(x), ϕ ′ (x) 〉 = − ∫ ∞ 0 ϕ ′ (x) dx = ϕ(0) = 〈 δ(x), ϕ(x) 〉 Dirac-delta genelleştirilmiş fonksiyonu olur. Özel olarak, Dirac-delta δ(x) genelleştirilmiş fonksiyonunun r. mertebeden türevi δ(r) her ϕεD için 〈 H(r+1)(x), ϕ(x) 〉 = 〈 δ(r)(x), ϕ(x) 〉 = (−1)r 〈 δ(x), ϕ(r)(x) 〉 = (−1)rϕ(r)(0) eşitliği ile tanımlanır. xλ+ yerel integrallenebilir fonksiyonu, xλ+ =  xλ , x > 0 0 , x < 0 eşitliği ile tanımlıdır. λ > −1 değerleri için xλ+ fonksiyonu yerel integrallenebilir olduğundan, bu fonksiyona karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyon her ϕεD için 〈 xλ+, ϕ(x) 〉 = ∫ ∞ 0 xλϕ(x) dx ile tanımlıdır. xλ+ yerel integrallenebilir fonksiyonunun türevini bulalım. λ > 0 değerleri için, xλ+ fonksiyonunun türevi λxλ−1+ fonksiyonudur. Böylelikle λ > 0 olduğunda d dx xλ+ ge- nelleştirilmiş fonksiyonu λxλ−1+ ile tanımlanır. Fakat −1 < λ < 0 değerleri için, xλ−1+ 7 fonksiyonu yerel integrallenebilir olmadığından ıraksak∫ ∞ 0 λxλ−1ϕ(x) dx (2) integralinin düzenlenmesi gerekir. Türevin tanımınından 〈 (xλ+) ′ , ϕ(x) 〉 = − 〈 xλ+, ϕ(x) ′〉 = − ∫ ∞ 0 xλϕ ′ (x) dx = − lim ε→ 0 ∫ ∞ ε xλϕ ′ (x) dx yazıp kısmi integral alırsak〈 (xλ+) ′ , ϕ(x) 〉 = − lim ε→ 0 { xλ [ ϕ(x) + C ]∣∣∣∞ ε − ∫ ∞ ε λxλ−1 [ ϕ(x) + C ] dx } eşitliği elde edilir. Eğer C = −ϕ(0) alınırsa lim ε→ 0 ελ [ ϕ(ε) + C ] = 0 olacağından 〈 (xλ+) ′ , ϕ(x) 〉 = lim ε→ 0 ∫ ∞ ε λxλ−1 [ ϕ(x)− ϕ(0) ] dx = ∫ ∞ 0 λxλ−1 [ ϕ(x)− ϕ(0) ] dx (3) bulunur. Burada (3) eşitliği ile verilen genelleştirilmiş fonksiyon λxλ−1+ ile gösterilecektir. Böylece −2 < λ < −1 değerleri için xλ+ fonksiyonuna karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyon 〈 xλ+, ϕ(x) 〉 = ∫ ∞ 0 xλ [ ϕ(x)− ϕ(0) ] dx eşitliği ile tanımlanır. Gel’fand ve Shilov [14], −n − 1 < λ < −n , n = 1, 2, 3, ... için xλ+ fonksiyonuna karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyonu〈 xλ+, ϕ(x) 〉 = ∫ ∞ 0 xλ [ ϕ(x)− ϕ(0)− ...− xn−1 (n− 1)! ϕ(n−1)(0) ] dx (4) 8 eşitliği ile tanımlamışlardır. Burada (4) eşitliği λ > −n− 1 ve λ 6= −1,−2, ...,−n için∫ ∞ 0 xλϕ(x) dx = ∫ 1 0 xλ [ ϕ(x)− ϕ(0)− xϕ′(0)− ...− xn−1 (n− 1)! ϕ(n−1)(0) ] dx + ∫ ∞ 1 xλϕ(x) dx+ n∑ k=1 ϕ(k−1)(0) (k − 1)!(λ+ k) şeklinde yazılabilir. Bu integralde seriyi açarak∫ ∞ 0 xλϕ(x) dx = ∫ 1 0 xλ [ ϕ(x)− ϕ(0)− xϕ′(0)− ...− xn−1 (n− 1)! ϕ(n−1)(0) ] dx + ∫ ∞ 1 xλ [ ϕ(x)− ϕ(0)− xϕ′(0)− ...− xn−2 (n− 2)! ϕ(n−2)(0) ] dx + ϕ(n−1)(0) (n− 1)!((λ+ n) elde ederiz. Burada λ = −n değeri için eşitliğin sağındaki son terim ıraksak olacağından bu integral ıraksak olur. Eşitliğin sağındaki son terim ihmal edildiğinde kalan integral yakınsak olacaktır. Gel’fand ve Shilov λ = −n değeri için x−n+ fonksiyonuna karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyonu F (x+,−n) ile gösterip, bu fonksiyoneli〈 F (x+,−n), ϕ(x) 〉 = 〈 x−n+ , ϕ(x) 〉 = ∫ ∞ 0 x−n [ ϕ(x)− ϕ(0)− ...− xn−1 (n− 1)! ϕ(n−1)(0)H(1− x) ] dx (5) eşitliği ile tanımlamışlardır. Burada F (x+,−n) genelleştirilmiş fonksiyonu xλ+ genelleştirilmiş fonksiyonunun λ = −n noktasındaki değeri değildir. (5) eşitliği x−n+ fonksiyonuna karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyonu gösterir. xλ+ (λ 6= −1,−2, ...) genelleştirilmiş fonksiyonu için d dx xλ+ = λxλ−1+ (6) bilinen eşitliği sağlanır. Ama F (x+,−n) genelleştirilmiş fonksiyonu için (6) eşitliği sağlanmaz. 9 Gerçekten her ϕεD için 〈 F ′ (x+,−n), ϕ(x) 〉 = − 〈 x−n+ , ϕ ′ (x) 〉 = − ∫ ∞ 0 x−n [ ϕ ′ (x)− ϕ′(0)− ...− xn−1 (n− 1)! ϕ(n)(0)H(1− x) ] dx = − ∫ 1 0 x−n [ ϕ ′ (x)− ϕ′(0)− ...− xn−1 (n− 1)! ϕ(n)(0) ] dx − ∫ ∞ 1 x−n [ ϕ ′ (x)− ϕ′(0)− ...− xn−2 (n− 2)! ϕ(n−1)(0) ] dx elde edilir ve burada kısmi integral kullanırsak 〈 F ′ (x+,−n), ϕ(x) 〉 = − ∫ ∞ 0 nx−n−1 [ ϕ(x)−ϕ(0)−...− x n n! ϕ(n)(0)H(1−x) ] dx+ ϕ(n)(0) n! bulunur. Buradan d dx F (x+,−n) = −nF (x+,−n− 1) + (−1)n n! δ(n)(x) eşitliği elde edilir [14]. (6) eşitliğinin F (x+,−n) genelleştirilmiş fonksiyonu için sağlanmadığı görülür. Yerel integrallenebilir lnx+ fonksiyonu lnx+ =  lnx , x > 0 0 , x < 0 eşitliği ile tanımlıdır. Fisher [12], x−1+ fonksiyonuna karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyonu x−1+ = d dx lnx+ eşitliği ile tanımlamıştır. Daha genel olarak x−n+ fonksiyonuna karşılık gelen genelleştiril- miş fonksiyonu ise n = 2, 3, ... için x−n+ = (−n+ 1)−1 d dx x−n+1 + (7) eşitliği ile tanımlamıştır. Bu tanım ile basit türev eşitliğinin xλ+ = (λ+ 1)−1 d dx lnxλ+1 + 10 her λ gerçel sayısı için sağlandığı görülür. x−1+ genelleştirilmiş fonksiyonunun tanımından 〈 x−1+ , ϕ(x) 〉 = − 〈 lnx+, ϕ ′ (x) 〉 = ∫ ∞ 0 x−1+ [ ϕ(x)− ϕ(0)H(1− x) ] dx = 〈 F (x+,−1), ϕ(x) 〉 elde edilir. Buradan x−1+ = F (x+,−1) elde edilir. Bu eşitliğin türevini alırsak x−2+ = F (x+,−2) + δ ′ (x) eşitliği ve tümevarım metodu kullanılırsa x−n+ = F (x+,−n) + (−1)n (n− 1)! φ(n− 1)δ(n−1)(x) eşitliği bulunur. Burada, φ(n) =  0 , n = 0∑n i=1 i −1 , n ≥ 1 ile tanımlıdır. Böylece Fisher’in x−n+ fonksiyonuna karşılık gelen ve (7) eşitliği ile tanımlanan x−n+ ge- nelleştirilmiş fonksiyonu ile Gel’fand ve Shilov’un tanımladığı F (x+,−n) genelleştirilmiş fonksiyonu arasındaki ilişkinin x−n+ = F (x+,−n) + (−1)n (n− 1)! φ(n− 1)δ(n−1)(x) şeklinde olduğu görülür [12]. 11 2.1.7 Tanım : [29] f ile g fonksiyonları için f ve g ’nin konvülüsyon çarpımı , (f ∗ g)(x) = ∫ ∞ −∞ f(t)g(x− t) dt şeklinde tanımlanır. İntegral var iken konvülüsyon çarpımının olduğu açıktır, yani konvülüsyon çarpımının varlığı integralin var olmasına bağlıdır. Eğer f ∗ g konvülüsyon çarpımı var ise, o zaman g ∗ f konvülüsyon çarpımı da vardır ve bu çarpımlar için (f ∗ g)(x) = (g ∗ f)(x) eşitliği sağlanır. 2.1.8 Tanım :Fonksiyonların bir { fn } dizisi için (i) fn fonksiyonlarının her biri sonsuz mertebeden türevlenebilir, (ii) her ϕεD için 〈 fn, ϕ 〉 yakınsaktır ve yakınsadığı limit L(ϕ) ile gösterilirse, (iii) L(ϕ) , ϕ ’ye göre süreklidir, yani D uzayında sıfıra yakınsayan her { ϕn } dizisi için L(ϕn)→ 0 dır, koşulları sağlanıyorsa, { fn } dizisine regülerdir denir. Bu tanım ile verilen regüler dizi oluşturmanın birçok yolu vardır. Bu çalışma boyunca kullanacağımız regüler fonksiyonlar dizisini oluşturalım. Öncelikle Dirac-delta δ(x) fonksiyonuna yakınsayan dizisiyi oluşturalım. ρ(x) fonksiyonu, her mertebeden sürekli türevi olan ve aşağıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyon olsun : (i) |x| ≥ 1, ρ(x) = 0, (ii) ρ(x) ≥ 0, (iii) ρ(x) = ρ(−x), (iv) ∫ 1 −1 ρ(x)dx = 1. 12 Örneğin; ρ(x) =  ke −( 1 1−x2 ) , −1 < x < 1 0 , |x| ≥ 1 fonksiyonu yukarıdaki koşulları sağlar, burada k−1 = ∫ 1 −1 e−(1−x 2)−1 dx biçiminde tanımlıdır. Burada n = 1, 2, ... için δn(x) fonksiyonu δn(x) = nρ(nx) tanımlanırsa, { δn(x) } dizisi her mertebeden türevi olan fonksiyonların bir dizisi olur ve dizi regülerdir. supp δn ⊂ [−1 n , 1 n ] şeklindedir ve bu dizi Dirac-delta δ(x) fonksiyonuna yakınsar. fεD ′ genelleştirilmiş fonksiyonu verilsin. fn fonksiyonları, fn(x) = ( f ∗ δn(x) ) = 〈 f(x− t), δn(t) 〉 = ∫ 1/n −1/n f(x− t)δn(t) dt biçiminde tanımlansın. O zaman { fn } , f genelleştirilmiş fonksiyonuna yakınsayan son- suz mertebeden türevlenebilir fonksiyonların regüler bir dizisi olur. 13 2.2 Neutrix , Neutrix Limit ve Özellikleri Bu kısımda, genelleştirilmiş fonksiyonların kompozisyonunu tanımlamada kullanacağı- mız neutrix ve neutrix limit kavramlarını örnekleri ile birlikte vereceğiz. Hadamard sonlu toplamı olarak bilinen, değeri sonsuz olan bir integralden ıraksak parçaların ihmal edilmesi ile sonlu değerlerin elde edilmesi ilk olarak Hadamard ta- rafından ortaya konulmuştur [16]. Hadamard sonlu parçasının elde edilmesinde kul- lanılan metodun, neutrix calculusun [3] bir uygulaması olduğu B.Fisher tarafından verilmiş ve genelleştirilmiş fonksiyonların çarpımının, konvülüsyon çarpımının ve kom- pozisyonunun tanımlanmasında kullanılmıştır [12]. Burada vereceğimiz tanımlar Van Der Corput [3] tarafından verilmiştir. 2.2.1 Tanım : [3] N ′ boştan farklı bir küme ve N ′′ toplamsal değişmeli bir grup olsun. f : N ′ → N ′′ olan fonksiyonların oluşturduğu toplamsal değişmeli grup N ile gösteril- sin. Eğer N içindeki tek sabit fonbksiyon sıfır ise N ’ ye neutrix denir ve N ’ye ait her bir fonksiyona da ihmal edilebilir fonksiyon adı verilir. O halde fεN ve ∀xεN ′ için f(x) = c ise c = 0 olur. 2.2.2 Örnek : N kümesi, tanım kümesi [0, 1] aralığı olan ve aεR olmak üzere N ′ üze- rinde tanımlı a sin 2πx şeklindeki fonksiyonlardan oluşan toplamsal değişmeli bir grup olsun. O zaman N bir neutrixtir [4]. Gerçekten, ∀xεN ′ için a sin 2πx = c (sabit) ⇒ a = 0 ve buradan c = 0 olur. N ′ = [0, 1) ve M neutrixi a sin 2πx fonksiyonlarının toplamsal grubu olarak alınırsa, M neutrixi, N ’ den farklı olur.Çünkü tanım kümeleri aynı değildir. 2.2.3 Örnek : N kümesi; tanım kümesi N ′ = [0, 1] = { x : 0 ≤ x ≤ 1 } kapalı aralığı, 14 değer kümesi gerçel sayılar kümesi olan ve a, b keyfi gerçel sayılar olmak üzere a sinx+ bx2 şeklindeki fonksiyonların oluşturduğu toplamsal değişmeli grup olsun. O zaman N bir neutrixtir. Gerçekten ∀xεN ′ için a sinx+ bx2 = c (sabit) ⇒ a = b = c = 0 olur. 2.2.4 Örnek : N kümesi; tanım kümesi N ′ = [0, 1] kapalı aralığı, değer kümesi gerçel sayılar kümesi olan ve a, b keyfi gerçel sayılar olmak üzere ax−1/2 + b { log [ log(1/x) ]}2 +O(x), ( O(x)→ 0, x→ 0 ) şeklindeki fonksiyonların oluşturduğu toplamsal değişmeli grup olsun. O zaman N bir neutrixtir. Gerçekten ∀xεN ′ için ax−1/2 + b { log [ log(1/x) ]}2 +O(x) = c (sabit) ⇒ a = b = c = 0 olur. 2.2.5 Örnek : X topolojik uzay, N ′ ⊂ X ve y /∈ N ′ noktası bu kümenin bir limit noktası olsun. N ′′ değer kümesi gerçel sayılar kümesi, N kümesi de f : N ′ → N ′′ olan ve ”f(x)εN için limx→ y f(x) = c oluyorsa c = 0” özelliğini sağlayan fonksiyonların oluşturduğu toplamsal değişmeli bir grup olsun. O zaman N bir neutrixtir. Gerçekten fεN ve ∀xεN ′ için f(x) = c⇒ limx→ y f(x) = c olur ve dolayısıyla c = 0 elde edilir. 2.2.6 Tanım : [3] Eğer f(x) fonksiyonu N ′ kümesi üzerinde tanımlı gerçel (komplex) değerli bir fonksiyon ve f(x)− αεN olacak şekilde bir α sabit sayısı bulunabiliyorsa, o zaman α sayısına f(x) fonksiyonunun neutrix limiti denir ve N−lim x→ y f(x) = α 15 şeklinde gösterilir. Bir f(x) fonksiyonunun neutrix limiti varsa tektir. Gerçekten, f(x)− α1εN ve f(x)− α2εN olsun. O zaman N ’nin toplamsal grup olmasından dolayı [ f(x)− α1 ] − [ f(x)− α2 ] = α1 − α2εN olur. N’deki sabit fonksiyon sadece sıfır olduğundan α1−α2 = 0 ve buradan da α1 = α2 elde edilir. 2.2.7 Örnek : [15] N ′ boştan farklı bir küme ve N de bu küme üzerinde tanımlı, limx→ y f(x) = 0 koşulunu sağlayan fonksiyonların bir kümesi olsun. O zaman N bir neutrix olur ve x→ y için neutrix limit, normal limitin aynısıdır. Bir neutrixe göre eğer bir fonksiyonun normal anlamda limiti varsa, bu limit neut- rix limit ile aynıdır. 2.2.8 Örnek :Tanım kümesi N ′ = (0, 1) = { ε : 0 < ε < 1 } açık kümesi, değer kümesi N ′′ gerçel sayılar kümesi, a, b keyfi gerçel sayılar ve O(ε), limε→ 0O(ε) = 0 özelliğini sağlayan fonksiyonlar olmak üzere, N : N ′ → N ′′ kümesi de a ln ε+ bε−1 +O(ε) biçimindeki fonksiyonların kümesi olsun. O zaman f(ε) = ln ε+ 2ε−1 − cos ε− 1 fonksiyonunun neutrix limiti N−lim ε→ 0 f(ε) = −2’ dır. Gerçekten f(ε) = ln ε+ 2ε−1 − (cos ε− 1)− 2 f(ε) + 2 = ln ε+ 2ε−1 − (cos ε− 1) ihmal edilebilirdir. 16 2.2.9 Örnek :Tanım kümesi N ′ = (0, 1) açık kümesi, değer kümesi N ′′ gerçel sayılar kümesi, a, b keyfi gerçel sayılar ve O(ε), limε→ 0O(ε) = 0 özelliğini sağlayan fonksiyon- lar olmak üzere, a ln2 ε−1 + b ln ε−1 +O(ε) ile tanımlanan N neutrixini gözönüne alalım. f(ε) = ε+ ( ln ε−1 + 1 )2 fonksiyonunun neutrix limiti N−lim ε→ 0 f(ε) = 1 ’ dır. Gerçekten f(ε)− 1 = ε+ ln2 ε−1 + 2 ln ε−1 ihmal edilebilirdir. Eğer 2.2.9 örnekteki N neutrixini ( a ln ε−1 + 1 )2 + O(ε) ihmal edilebilir fonksiyon- larından oluştuğunu düşünürsek, o zaman f(ε) = ε+ ( a ln ε−1 + 1 )2 +O(ε) fonksiyonu için neutrix limit N−lim ε→ 0 f(ε) = 0’ dır. 2.2.10 Örnek :Tanım kümesi N ′ = (0, 1) açık kümesi, değer kümesi N ′′ gerçel sayılar kümesi, a, b keyfi gerçel sayılar ve O(ε), limε→ 0O(ε) = 0 özelliğini sağlayan fonksiyon- lar olmak üzere, aε−1/2 + b ( ln ln ε−1 )2 +O(ε) ile tanımlanan N kümesini gözönüne alalım. O zaman N bir neutrixtir. Gerçekten, ∀εεN ′ için aε−1/2 + b ( ln ln ε−1 )2 +O(ε) = c (sabit) ⇒ a = b = c = 0’dır. O zaman f(ε) = 3ε−1/2 + ( ε+ 9 )1/2 + 2 ( ln ln ε−1 )2 fonksiyonu için 17 N−lim ε→ 0 f(ε) = 3’ olur. Aşağıdaki örnekler neutrix limitin genelleştirilmiş fonksiyonlara nasıl uygulanabildiğini gösteren örneklerdir. 2.2.11 Örnek :N neutrixi, tanım kümesi N ′ = (0,∞) = { ε : 0 < ε < ∞ } açık kümesi, değer kümesi N ′′ gerçel sayılar kümesi ve O(ε), limε→ 0O(ε) = 0 özelliğini sağlayan fonksiyonlar olmak üzere, ελ lnr−1 ε , lnr ε , O(ε) (λ < 0, r = 1, 2, ...) fonksiyonlarının sonlu lineer toplamlarından oluşan fonksiyonların kümesi olsun. O zaman λ 6= −1,−2, ... ve her ϕεD için 〈 xλ+, ϕ 〉 = N−lim ε→ 0 ∫ ∞ ε xλϕ(x) dx eşitliği ile tanımlıdır [6]. Gerçekten λ > −n− 1 , λ 6= −1,−2, ...,−n ve her ϕεD için 〈 xλ+, ϕ 〉 = ∫ 1 0 xλ [ ϕ(x)− n−1∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0) ] dx+ ∫ ∞ 1 xλϕ(x)dx+ n∑ i=1 ϕ(i−1)(0) (i− 1)!(i+ λ) ile tanımlıdır. Bu eşitliği kullanarak,∫ ∞ ε xλϕ(x) dx = ∫ 1 ε xλ [ ϕ(x)− n−1∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0) ] dx + ∫ ∞ 1 xλϕ(x) dx+ n−1∑ i=0 ϕ(i)(0) i! ∫ 1 ε xi+λ dx = ∫ 1 ε xλ [ ϕ(x)− n−1∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0) ] dx + ∫ ∞ 1 xλϕ(x) dx+ n∑ i=1 ϕ(i−1)(0) (i− 1)!(i+ λ) (1− εi+λ) yazılır ve eşitliğin her iki tarafının neutrix limiti alınırsa N−lim ε→ 0 ∫ ∞ ε xλϕ(x) dx = ∫ 1 0 xλ [ ϕ(x)− n−1∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0) ] dx + ∫ ∞ 1 xλϕ(x)dx+ n∑ i=1 ϕ(i−1)(0) (i− 1)!(i+ λ) 18 olur. O halde λ > −n− 1 , λ 6= −1,−2, ...,−n için 〈 xλ+, ϕ(x) 〉 = N−lim ε→ 0 ∫ ∞ ε xλϕ(x) dx elde edilir. Bu da istenilendir. Not: Bundan sonraki bölümlerde N neutrixi olarak 2.2.11 örnekteki neutrix alınacaktır. 2.2.12 Örnek : Bir önceki örnekteki N neutrixini alalım. O zaman her ϕεD ve n = 1, 2, ... için 〈 x−n+ , ϕ 〉 = N−lim ε→ 0 ∫ ∞ ε x−nϕ(x) dx olur [6]. İspat : x−n+ fonksiyonuna karşılık gelen genelleştirilmiş fonksiyon 〈 x−n+ , ϕ 〉 = ∫ ∞ 0 x−n [ ϕ(x)− n−2∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0)− xn−1 (n− 1)! ϕ(n−1)(0)H(1− x) ] dx eşitliği ile tanımlandı.Buradan∫ ∞ ε x−nϕ(x) dx = ∫ ∞ ε x−n [ ϕ(x)− n−2∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0)− xn−1 (n− 1)! ϕ(n−1)(0)H(1− x) ] dx + n−2∑ i=0 ϕ(i)(0) i! ∫ ∞ ε xi−n dx+ ϕ(n−1)(0) (n− 1)! ∫ 1 ε x−1 dx = ∫ ∞ ε x−n [ ϕ(x)− n−2∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0)− xn−1 (n− 1)! ϕ(n−1)(0)H(1− x) ] dx − n−2∑ i=0 ϕ(i)(0) i!(i− n+ 1) εi−n+1 − ϕ(n−1)(0) (n− 1)! ln ε yazılır ve eşitliğin her iki tarafının neutrix limiti alınırsa N−lim ε→ 0 ∫ ∞ ε x−nϕ(x) dx = ∫ ∞ 0 x−n [ ϕ(x)− n−2∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0)− xn−1 (n− 1)! ϕ(n−1)(0)H(1−x) ] dx olur. O halde nεN için 〈 x−n+ , ϕ(x) 〉 = N−lim ε→ 0 ∫ ∞ ε x−nϕ(x) dx elde edilir. 19 2.3 Genelleştirilmiş Fonksiyonların Neutrix Kompozisyonu{ δn(x) } dizisi, burada ve diğer bölümlerde, 2.1 bölüm içinde tanımladığımız, sonsuz türevli fonksiyonların regüler bir dizisi olarak alınacaktır. 2.3.1 Tanım : f herhangi bir genelleştirilmiş fonksiyon ve g sonsuz mertebeden türev- lenebilir fonksiyon olsun. O zaman f ile g fonksiyonlarının çarpımı, her ϕεD için〈 fg, ϕ 〉 = 〈 f, gϕ 〉 şeklinde tanımlanır [14, 28]. Burada keyfi ϕεD için gϕεD olduğundan bu eşitlik anlamlıdır. 2.3.2 Tanım : f ve g herhangi iki genelleştirilmiş fonksiyonları verilsin. f , FεLp(a, b) integrallenebilir fonksiyonunun r. türevi, g(r)εLq(a, b) ve 1 p + 1 q = 1 olsun. O zaman (a, b) açık aralığı üzerinde fg çarpımı vardır ve( r i ) = r! i!(r − i)! olmak üzere fg = r∑ i=0 ( r i ) (−1)i [ Fg(i) ](r−i) eşitliği ile verilir [13, 17, 28]. 2.3.3 Tanım : f ve g herhangi iki genelleştirilmiş fonksiyon ve gn = g ∗ δn olsun. O zaman f ile g genelleştirilmiş fonksiyonlarının f.g çarpımının var ve (a, b) aralığında h genelleştirilmiş fonksiyonuna eşit olması için gerek ve yeter koşul , (a, b) aralığındaki her ϕεD için lim n→ ∞ 〈 fgn, ϕ 〉 = lim n→ ∞ 〈 f, gnϕ 〉 = 〈 h, ϕ 〉 limitinin var olmasıdır. Bu çarpımın tanımı simetrik olmadığından, f.g çarpımı genelde değişmeli değildir. An- cak aşağıdaki teoremde olduğu gibi, birçok çarpım değişmelidir [10]. 2.3.4 Teorem : f ve g herhangi iki genelleştirilmiş fonksiyon olsun. Eğer (a, b) açık 20 aralığı üzerinde 2.3.2 tanımdaki fg çarpımı varsa, o zaman f.g ve g.f çarpımları da vardır ve bu açık aralık üzerinde f.g = g.f = f.g dır. Değişmeli çarpım tanımı aşağıdaki gibidir. 2.3.5 Tanım :f ve g herhangi iki genelleştirilmiş fonksiyonları için, fn = f ∗ δn, gn = g ∗ δn şeklinde tanımlansın. O zaman f ile g çarpımının (a, b) aralığında var ve h genelleştirilmiş fonksiyonuna eşit olması için gerek ve yeter koşul { fngn } regüler dizisinin h ’ye yakınsa- masıdır. 2.3.6 Tanım :f ve g herhangi iki genelleştirilmiş fonksiyon, fn = f ∗ δn ,gn = g ∗ δn fonksiyon dizileri ve N, 2.2.11 örnek içinde tanımlanan neutrix olsun. Eğer desteği (a, b) aralığında olan ∀ϕεD için, N−lim n→ ∞ 〈 fngn, ϕ 〉 = 〈 h, ϕ 〉 oluyorsa, f ve g genelleştirilmiş fonksiyonlarının neutrix limiti vardır ve h ’ye eşittir, denir. 2.3.7 Tanım :f ve g herhangi iki genelleştirilmiş fonksiyon ve gn = g ∗ δn olsun. Eğer desteği (a, b) aralığında olan ∀ϕεD için, N−lim n→ ∞ 〈 fgn, ϕ 〉 = N−lim n→ ∞ 〈 f, gnϕ 〉 = 〈 h, ϕ 〉 oluyorsa, f ve g genelleştirilmiş fonksiyonlarının fog neutrix çarpımı vardır ve (a, b) üzerinde h ’ye eşittir, denir [18, 28]. 21 f(x) sonsuz mertebeden türevlenebilir ve kökleri x1, x2, ..., xn noktaları olan bir fonksi- yon olsun. Ayrıca bu noktalarda f ′ > 0 olsun. O zaman bu f fonksiyonu ile Dirac-delta fonksiyonunun kompozisyonu, δ ( f(x) ) = ∑ n 1∣∣f ′(xn) ∣∣δ(x− xn) eşitliği ile verilir [14]. Bu eşitliğin türevi alınarak δ(k) ( f(x) ) genelleştirilmiş fonksiyonu δ(k) ( f(x) ) = ∑ n 1∣∣f ′(xn) ∣∣( 1 f ′(x) d dx )k δ(x− xn) şeklinde tanımlanabilir . 2.3.8 Tanım :f yerel integrallenebilir fonksiyon olsun. Eğer ∀ϕεD için, N−lim n→ ∞ ∫ ∞ −∞ δ(k)n (f(x))ϕ(x) dx = 〈 h(x), ϕ(x) 〉 limiti (a, b) üzerinde var ve h(x) genelleştirilmiş fonksiyonuna eşit ise, δ(k)(f(x)) ge- nelleştirilmiş fonksiyonu tanımlıdır ve yukarıdaki eşitlik ile verilir [7, 28]. Bu tanımın daha genel formu aşağıda verilmiştir [11, 28]. 2.3.9 Tanım :F herhangi bir genelleştirilmiş fonksiyon, f yerel integrallenebilir fonk- siyon ve Fn(x) = F ∗ δn(x) olsun. O zaman ∀ϕεD için, N−lim n→ ∞ ∫ ∞ −∞ Fn(f(x))ϕ(x) dx = 〈 h(x), ϕ(x) 〉 limiti varsa, F (f(x)) genelleştirilmiş fonksiyonu tanımlıdır ve (a, b) üzerinde h(x) ge- nelleştirilmiş fonksiyonuna eşittir. Burada verilen tanımların kullanılışı ile ilgili örnekler üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerde verilecektir. 22 3 x−s ve xr + GENELLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYONLARININ NEUTRİX KOMPOZİSYONU Bir genelleştirilmiş fonksiyon ile türevi sıfırdan farklı sonsuz mertebeden türevlenebi- lir fonksiyonun kompozisyonu Antosik tarafından verilmiştir [2]. Fisher bu tanımı, ilk olarak bir F genelleştirilmiş fonksiyonu ile (a, b) açık aralığında tek basit köke sahip f yerel integrallenebilir fonksiyon olması durumuna, daha sonra da f ’nin genelleştirilmiş fonksiyon olması durumuna genellemiştir [7, 11, 20]. Bu tanım aynı zamanda Antosik tarafından verilen tanımın bir genelleşmesidir [1]. Schwartz klasik genelleştirilmiş fonksiyonlar teorisinde H ( δ(s)(x) ) , δk, δ−k, ln δ , δk+ ve benzeri formların gösterimlerinin anlamı yoktur. Ancak √ δ = 0 , √ δ2 + 1 = 1 + δ, log(1+δ) = 0, sin δ = 0, cos δ = 1 ve (δ+1)−1 = 1 kompozisyonları Antosik tarafından tanımlanmıştır [1]. Koh ve Li belirli bir δ− dizisi kullanarak δk ve (δ ′ )k (k = 2, 3, ...) kompozisyonlarına anlam vermişlerdir [21]. Dirac- delta fonksiyonunun [ δs(x) ]k genel formunu Kou ve Fisher tanımlamıştır [20]. Dirac-delta fonksiyonunun negatif kuvvet- leri Özçağ tarafından elde edilmiştir [26]. Bu bölümde x−s ve xr+ genelleştirilmiş fonksiyonlarının neutrix kompozisyonu tanımla- nacaktır. Bu bölümde ve diğer bölümlerde, ρ(t) fonksiyonu 2.1 bölüm içinde tanımlanan fonksiyon olarak alınacaktır. Aşağıdaki iki teorem B.Fisher tarafından verilmiştir [8, 9]. 3.1 Teorem : [22] ( xr+ )−s − neutrix kompozisyonu vardır ve c(ρ) = ∫ 1 0 ln tρ(t) dt olmak üzere r, s = 1, 2, ... için( xr+ )−s − = (−1)rs+sc(ρ) r(rs− 1)! δ(rs−1)(x) dır. 23 3.2 Teorem : ( xr+ )−1 neutrix kompozisyonu rεN için vardır ve ( xr+ )−1 = x−r+ + (−1)r 2c(ρ)− rφ(r − 1) r! δ(r−1)(x) eşitliği ile tanımlıdır. Temel sonuç teoremini vermeden önce, kullanacağımız kolayca görülebilecek yardımcı teoremleri verelim. 3.3 Yardımcı Teorem : Her s = 0, 1, 2, ... için ∫ 1 −1 viρ(s)(v) dv =  0 , i = 0, 1, ..., s− 1 (−1)ss! , i = s olur ve ayrıca vsρ(s)(v) çift fonksiyon olduğundan∫ 0 −1 vsρ(s)(v) dv = ∫ 1 0 vsρ(s)(v) dv = 1 2 (−1)ss! eşitliği elde edilir. 3.4 Yardımcı Teorem : Her s = 0, 1, 2, ... için∫ 0 −1 vs ln |v|ρ(s)(v) dv = ∫ 1 0 vs ln |v|ρ(s)(v) dv = 1 2 (−1)ss!φ(s) + (−1)ss!c(ρ) dır. x−s+ = (−1)s−1 ( lnx+ )(s) (s−1)! genelleştirilmiş fonksiyonu için aşağıdaki yardımcı teorem ko- layca görülebilir. 3.5 Yardımcı Teorem : [23] ϕ, D[−1, 1] kapalı aralığı içinde keyfi bir fonksiyon ise, o zaman sεN için 〈 x−s+ , ϕ(x) 〉 = ∫ 1 0 x−s [ ϕ(x)− s−1∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0) ] dx − s−2∑ i=0 ϕ(i)(0) i!(s− i− 1) − φ(s− 1) (s− 1)! ϕ(s−1)(0) 24 dır. 3.2 teoremin daha genel formunu ispatlayalım. 3.6 Teorem : [24] ( xr+ )−s genelleştirilmiş fonksiyonu vardır ve r, s = 1, 2, ... için ( xr+ )−s = x−rs+ − (−1)rs (−1)ss! [ 2c(ρ) + φ(s− 1) ] + rsφ(rs− 1) (rs)! δ(rs−1)(x) (8) dır. İspat : [( xr+ )−s] n = (−1)s−1 (s− 1)! ∫ 1/n −1/n ln ∣∣xr+ − t∣∣δ(s)n (t) dt yazılırsa, o zaman (−1)s−1(s− 1)! [( xr+ )−s] n =  ∫ 1/n −1/n ln ∣∣xr − t∣∣δ(s)n (t) dt , x ≥ 0∫ 1/n −1/n ln ∣∣t∣∣δ(s)n (t) dt , x < 0 (9) biçimindedir. Şimdi v = nt ve y = nxr değişken değiştirmeleri yapılırsa, (−1)s−1(s− 1)! ∫ 1 −1 xk [( xr+ )−s] n dx = ∫ 1 0 xk ∫ 1/n −1/n ln ∣∣xr − t∣∣δ(s)n (t) dt dx + ∫ 0 −1 xk ∫ 1/n −1/n ln ∣∣t∣∣δ(s)n (t) dt dx = ns−(k+1)/r r ∫ 1 −1 ρ(s)(v) ∫ 1 0 y−1+(k+1)/r ln ∣∣y − v∣∣ dy dv + ns−(k+1)/r r ∫ 1 −1 ρ(s)(v) ∫ n 1 y−1+(k+1)/r ln ∣∣y − v∣∣ dy dv −n s−(k+1)/r lnn r ∫ 1 −1 ρ(s)(v) dv ∫ n 0 y−1+(k+1)/r dy −(−1)k+1ns k + 1 ∫ 1 −1 ln ∣∣v/n∣∣ρ(s)(v) dv = I1 + I2 + I3 + I4 (10) elde edilir. 25 k = 0, 1, ..., rs− 2 değerleri için N−lim n→ ∞ I1 = 0 (11) ve k = 0, 1, 2, ... değerleri için N−lim n→ ∞ I3 = N−lim n→ ∞ I4 = 0 (12) olduğu kolayca görülebilir. Ayrıca ∫ n 1 y−1+(k+1)/r ln ∣∣y − v∣∣ dy = ∫ n 1 y−1+(k+1)/r ln ∣∣y∣∣ dy + ∫ n 1 y−1+(k+1)/r ln ∣∣1− v y ∣∣ dy = I ′ 2 + I ′′ 2 (13) elde edilir ve burada k = 0, 1, ..., rs− 2 değerleri için I ′ 2 = rn(k+1)/r lnn k + 1 − r2 ( n(k+1)/r − 1 ) (k + 1)2 (14) ve I ′′ 2 = − ∞∑ i=1 vi i ∫ n 1 y−1−i+(k+1)/r dy = − ∞∑ i=1 vir ( n−i+(k+1)/r − 1 ) i(k + 1− ri) (15) bulunur. 3.3 yardımcı teorem ve (13), (14) ve (15) eşitlikleri kullanılırsa k = 0, 1, ..., rs − 2 değerleri için N−lim n→ ∞ I2 = (−1)s(s− 1)! rs− k − 1 (16) neutrix limiti elde edilir. (10), (11), (12) ve (16) eşitliklerinden k = 0, 1, ..., rs− 2 değerleri için N−lim n→ ∞ ∫ 1 −1 xk [( xr+ )−s] n dx = − 1 rs− k − 1 (17) 26 eşitliği elde edilir. Şimdi k = rs− 1 alınırsa, I1 = 1 r ∫ 1 −1 ρ(s)(v) ∫ 1 0 ys−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy dv = 1 r ∫ 1 0 ρ(s)(v) [∫ v 0 + ∫ 1 v ys−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy] dv + 1 r ∫ 0 −1 ρ(s)(v) [∫ −v 0 + ∫ 1 −v ys−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy] dv = 1 r ∫ 1 0 ρ(s)(v) ∫ v 0 ys−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy dv + 1 r ∫ 1 0 ρ(s)(v) ∫ 1 v ys−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy dv + 1 r ∫ 0 −1 ρ(s)(v) ∫ −v 0 ys−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy dv + 1 r ∫ 0 −1 ρ(s)(v) ∫ 1 −v ys−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy dv = J1 + J2 + J3 + J4 (18) elde edilir. Buradan y = uv değişken değiştirmesi yapılırsa J1 = 1 r ∫ 1 0 vsρ(s)(v) ∫ 1 0 us−1 [ ln v + ln ( 1− u )] du dv (19) ve 3.4 yardımcı teoremi kullanılırsa∫ 1 0 vs ln vρ(s)(v) ∫ 1 0 us−1 du dv = 1 s ∫ 1 0 vs ln vρ(s)(v) dv = (−1)s(s− 1)! [ c(ρ) + 1 2 φ(s) ] (20) bulunur. Ardından 3.3 yardımcı teoremi kullanılırsa,∫ 1 0 vsρ(s)(v) ∫ 1 0 us−1 ln ( 1− u ) du dv = 1 2 (−1)s(s− 1)! ∫ 1 0 ln ( 1− u ) d ( us − 1 ) = 1 2 (−1)s(s− 1)! ∫ 1 0 us − 1 1− u du = 1 2 (−1)s−1(s− 1)!φ(s) (21) eşitliği ve (19), (20) ve (21) eşitliklerinden N−lim n→ ∞ J1 = (−1)s(s− 1)! r c(ρ) (22) 27 sonucunu elde ederiz. J3 ’ü bulmak için y = uv değişken değiştirmesi yapılırsa J3 = −1 r ∫ 0 −1 vsρ(s)(v) ∫ 0 −1 us−1 [ ln |v|+ ln ( 1− u )] du dv = −1 r ∫ 0 −1 vsρ(s)(v) ∫ 0 −1 us−1 ln |v| du dv −1 r ∫ 0 −1 vsρ(s)(v) ∫ 0 −1 us−1 ln ( 1− u ) du dv (23) bulunur. Burada 3.4 yardımcı teoremi kullanılırsa∫ 0 −1 vs ln |v|ρ(s)(v) ∫ 0 −1 us−1 du dv = (−1)s−1 s ∫ 0 −1 vs ln |v|ρ(s)(v) dv = −(s− 1)! [ c(ρ) + 1 2 φ(s) ] (24) ve 3.3 yardımcı teoremi kullanılırsa∫ 0 −1 vsρ(s)(v) ∫ 0 −1 us−1 ln ( 1− u ) du dv = 1 2 (−1)s(s− 1)! ∫ 0 −1 ln ( 1− u ) d(us − 1) = 1 2 [ (−1)s − 1 ] (s− 1)! ln 2− 1 2 (−1)s(s− 1)! ∫ 0 −1 us − 1 u− 1 du = 1 2 [ (−1)s − 1 ] (s− 1)! ln 2 + 1 2 (−1)s(s− 1)! s∑ i=1 (−1)i i (25) eşitliği elde edilir. (23) , (24) ve (25) eşitlikleri kullanılır ve neutrix limit alınırsa N−lim n→ ∞ J3 = [ 1− (−1)s ] (s− 1)! 2r ln 2 + (s− 1)! 2r φ(s) −(s− 1)! 2r s∑ i=1 (−1)s−i i + (s− 1)! r c(ρ) (26) olduğu görülür. 28 J2 için 3.3 yardımcı teorem kullanılırsa J2 = 1 r ∫ 1 0 ρ(s)(v) ∫ 1 v ys−1 [ ln y + ln ( 1− v y )] dy dv = 1 r ∫ 1 0 ρ(s)(v) ∫ 1 v ys−1 ln y dy dv −1 r ∞∑ i=1 1 i ∫ 1 0 viρ(s)(v) ∫ 1 v ys−i−1 dy dv = (−1)s(s− 1)! 2rs − 1 rs2 ∫ 1 0 ρ(s)(v) dv −1 r ∞∑ i=1,i 6=s 1 i(s− i) ∫ 1 0 ( vi − vs ) ρ(s)(v) dv = (−1)s(s− 1)! 2rs + ρ(s−1)(0) rs2 + (−1)s(s− 1)! [ 2φ(s− 1)− φ(s) ] 2r −1 r ∞∑ i=1,i 6=s 1 i(s− i) ∫ 1 0 viρ(s)(v) dv = ρ(s−1)(0) rs2 + (−1)s(s− 1)!2φ(s− 1) 2r −1 r ∞∑ i=1,i 6=s 1 i(s− i) ∫ 1 0 viρ(s)(v) dv (27) bulunur çünkü, ∞∑ i=1,i 6=s 1 i(s− i) = 2φ(s− 1)− φ(s) s = φ(s− 1) s − 1 s2 dir. Son olarak J4 için 3.3 ve 3.4 yardımcı teoremleri kullanılırsa , J4 = 1 r ∫ 0 −1 ρ(s)(v) ∫ 1 −v ys−1 [ ln y + ln ( 1− v y )] dy dv = 1 r ∫ 0 −1 ρ(s)(v) ∫ 1 −v ys−1 ln y dy dv −1 r ∞∑ i=1 1 i ∫ 0 −1 viρ(s)(v) ∫ 1 −v ys−i−1 dy dv = 1 r ∫ 0 −1 [ (−v)s − 1 s2 − (−v)s ln |v| s ] ρ(s)(v) dv + 1 rs ∫ 0 −1 vs ln |v|ρ(s)(v) dv −1 r ∞∑ i=1,i 6=s 1 i(s− i) ∫ 0 −1 [ vi − (−1)s−ivs ] ρ(s)(v) dv 29 = (s− 1)! 2rs − ρ(s−1)(0) rs2 − [ 1− (−1)s ] (s− 1)! 2r [ φ(s) + 2c(ρ) ] −1 r ∞∑ i=1,i 6=s 1 i(s− i) ∫ 0 −1 viρ(s)(v) dv − (−1)s(s− 1)! 2rs + (s− 1)! 2r s−1∑ i=1 (−1)s+i i − [ 1− (−1)s ] (s− 1)! 2r ln 2 (28) elde edilir çünkü ∞∑ i=1,i 6=s (−1)i i(s− i) = −(−1)s s2 + 1 s s−1∑ i=1 (−1)s+i i − 1− (−1)s s ln 2 dır. I2 için 3.3 yardımcı teoremi kullanılırsa, I2 = 1 r ∫ 1 −1 ρ(s)(v) ∫ n 1 ys−1 [ ln y + ln ( 1− v y )] dy dv = 1 r ∫ 1 −1 ρ(s)(v) ∫ n 1 ys−1 ln ( 1− v y ) dy dv = −1 r ∞∑ i=1 1 i ∫ 1 −1 viρ(s)(v) ∫ n 1 ys−i−1 dy dv = −(−1)s(s− 1)! lnn r + 1 r ∞∑ i=s+1 1 i(i− s) ∫ 1 −1 ( ns−i − 1 ) viρ(s)(v) dv elde edilir. Buradan N−lim n→ ∞ I2 = −1 r ∞∑ i=s+1 1 i(i− s) ∫ 1 −1 viρ(s)(v) dv (29) olur. O halde (10), (12), (18), (22) ve (26) - (29) eşitliklerinden, N−lim n→ ∞ ∫ 1 −1 xrs−1 [ (xr+)−s ] n dx = (−1)s(s− 1)! r [ 2c(ρ) + φ(s− 1) ] (30) olduğu görülür. Son olarak, k = rs olması durumunu inceleyelim. Eğer x < 0 ve ψ keyfi sürekli fonksiyon 30 ise, o zaman v = nt değişken değiştirmesinden (−1)s(s− 1)! ∫ 0 −1 xrs [ (xr+)−s ] n ψ(x) dx = ∫ 0 −1 xrsψ(x) ∫ 1/n −1/n ln |t|δ(s)n (t) dt dx = ns ∫ 1 0 ψ(x) dx ∫ 1 −1 ln ∣∣v n ∣∣ρ(s)(v) dv bulunur ve böylece N−lim n→ ∞ ∫ 0 −1 xrs [ (xr+)−s ] n ψ(x) dx = 0 (31) elde edilir. I1 içinde k = rs olması durumunda ,∫ n−1/r 0 xrs [ (xr+)−s ] n dx = n−1/r r ∫ 1 −1 ρ(s)(v) ∫ 1 0 ys−1+1/r ln ∣∣y − v∣∣ dy dv olur, buradan keyfi ψ fonksiyonu için lim n→ ∞ ∫ n−1/r 0 xrs [ (xr+)−s ] n ψ(x) dx = 0 (32) bulunur. xr ≥ 1 n ise, o zaman v = nt değişken değiştirmesi yapılır ve 3.3 yardımcı teoremi kullanılırsa (−1)s(s− 1)! [ (xr+)−s ] n = ∫ 1/n −1/n ln ∣∣xr − t∣∣δ(s)n (t) dt = ns ∫ 1 −1 ln ∣∣xr − v n ∣∣ρ(s)(v) dv = ns ∫ 1 −1 [ lnxr − ∞∑ i=1 vi inixri ] ρ(s)(v) dv = − ∞∑ i=s ∫ 1 −1 vi ini−sxri ρ(s)(v) dv olduğu görülür. s = 1, 2, ... için Ks = ∫ 1 −1 ∣∣ρ(s)(v) ∣∣ dv olmak üzere,∣∣∣(s− 1)! [ (xr+)−s ] n ∣∣∣ ≤ ∞∑ i=s ∫ 1 −1 ∣∣v∣∣i ini−sxri ∣∣ρ(s)(v) ∣∣ dv ≤ ∞∑ i=s Ks ini−sxri 31 eşitsizliği elde edilir. n−1/r < η < 1 olması durumunda ise, (s− 1)! ∫ η n−1/r ∣∣∣xrs[(xr+)−s ] n ∣∣∣ dx ≤ Ks ∞∑ i=s ns−i i ∫ η n−1/r xr(s−i) dx = Ks ∞∑ i=s n−1/r ri ∫ nηr 1 us−i+1/r−1 du =  Ks ∑∞ i=s n−1/r ri(s−i+1/r) [ (nηr)s−i+1/r − 1 ] , r 6= 1 Ks ∑∞ i=s,i 6=s+1 n−1 i(s−i+1) [ (nη)s−i+1 − 1 ] +Ks n−1 ln(nη) s+1 , r = 1 olur. Buradan her r, s = 1, 2, ... için lim n→ ∞ ∣∣∣[(xr+)−s ] n ∣∣∣ = O(η) olur. O halde ψ sürekli bir fonksiyon ise, r, s = 1, 2, ... için lim n→ ∞ ∣∣∣∣∫ η n−1/r xrs [ (xr+)−s ] n ψ(x) dx ∣∣∣∣ = O(η) (33) elde edilir. Şimdi [−1, 1] kapalı aralığı üzerinde tanımlı ve desteği kompakt olan bir ϕ(x) fonk- siyonu, Taylor teoreminden 0 < ξ < 1 için, ϕ(x) = rs−1∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0) + xrs (rs)! ϕ(rs)(ξx) biçiminde yazılabilir. 〈[ (xr+)−s ] n , ϕ(x) 〉 = rs−1∑ i=0 ϕ(i)(0) i! ∫ 1 −1 xi [ (xr+)−s ] n dx + 1 (rs)! ∫ 0 −1 xrs [ (xr+)−s ] n ϕ(rs)(ξx) dx + 1 (rs)! ∫ n−1/r 0 xrs [ (xr+)−s ] n ϕ(rs)(ξx) dx + 1 (rs)! ∫ η n−1/r xrs [ (xr+)−s ] n ϕ(rs)(ξx) dx + 1 (rs)! ∫ 1 η xrs [ (xr+)−s ] n ϕ(rs)(ξx) dx 32 olur. {[ (xr+)−s ] n } regüler dizisinin [η, 1] aralığında düzgün yakınsamasından ve (17), (30) - (33) eşitliklerinden, N−lim n→ ∞ 〈[ (xr+)−s ] n , ϕ(x) 〉 = (−1)ss! (rs)! [ 2c(ρ) + φ(s− 1) ] ϕ(rs−1)(0) − rs−2∑ i=0 ϕ(i)(0) i!(rs− i− 1) +O(η) + ∫ 1 η ϕ(rs)(ξx) (rs)! dx elde edilir. η yeterince küçük alındığında ve 3.5 yardımcı teoremi kullanıldığında nεN için N−lim n→ ∞ 〈[ (xr+)−s ] n , ϕ(x) 〉 = (−1)ss! (rs)! [ 2c(ρ) + φ(s− 1) ] ϕ(rs−1)(0) − rs−2∑ i=0 ϕ(i)(0) i!(rs− i− 1) + ∫ 1 0 ϕ(rs)(ξx) (rs)! dx = ∫ 1 0 x−rs [ ϕ(x)− rs−1∑ i=0 xi i! ϕ(i)(0) ] dx − rs−2∑ i=0 ϕ(i)(0) i!(rs− i− 1) + (−1)ss! (rs)! [ 2c(ρ) + φ(s− 1) ] ϕ(rs−1)(0) = 〈 x−rs+ , ϕ(x) 〉 −(−1)rs (−1)ss! [ 2c(ρ) + φ(s− 1) ] + rsφ(rs− 1) (rs)! × 〈 δ(rs−1)(x), ϕ(x) 〉 sonucu elde edilir. Bu ise (8) eşitliğinin [−1, 1] aralığı üzerinde kanıtıdır. Ancak (8) eşitliği orijini içermeyen her aralık için doğrudur. Bu da teoremin kanıtını tamamlar. 33 4 HEAVİSİDE GENELLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYONUNUN NEGATİF KUVVETLERİ Bu bölümde, 2.3.9 tanımı kullanarak Heaviside genelleştirilmiş H(x) fonksiyonunun k. negatif kuvvetlerini tanımlayacağız. 4.1 Teorem : [27] Gerçel eksen üzerinde [ H(x) ]−s neutrix kompozisyonu her sεN için vardır ve [ H(x) ]−s = H(x) eşitliği ile tanımlıdır. İspat : (x−s)n = x−s ∗ δn(x) yazılırsa (x−s)n = x−s ∗ δn(x) = (−1)s−1 (s− 1)! ∫ 1/n −1/n ln ∣∣x− t∣∣δ(s)n (t) dt (34) dır. (34) eşitliğinde x yerine H(x) yazılırsa,[( H(x) )−s] n = [ H(x) ]−s ∗ δn(x) = (−1)s−1 (s− 1)! ∫ 1/n −1/n ln ∣∣H(x)− t ∣∣δ(s)n (t) dt bulunur. Keyfi bir ϕεD için,〈[( H(x) )−s] n , ϕ(x) 〉 = (−1)s−1 (s− 1)! ∫ ∞ −∞ ϕ(x) ∫ 1/n −1/n ln ∣∣H(x)− t ∣∣δ(s)n (t) dt dx = (−1)s−1 (s− 1)! ∫ 0 −∞ ϕ(x) ∫ 1/n −1/n ln ∣∣H(x)− t ∣∣δ(s)n (t) dt dx + (−1)s−1 (s− 1)! ∫ ∞ 0 ϕ(x) ∫ 1/n −1/n ln ∣∣H(x)− t ∣∣δ(s)n (t) dt dx = (−1)s−1 (s− 1)! ∫ 0 −∞ ϕ(x) ∫ 1/n −1/n ln ∣∣− t∣∣δ(s)n (t) dt dx + (−1)s−1 (s− 1)! ∫ ∞ 0 ϕ(x) ∫ 1/n −1/n ln ∣∣1− t∣∣δ(s)n (t) dt dx (35) 34 elde edilir. (35) eşitliğindeki ilk integral için u = nt değişken değiştirmesi yapılırsa,∫ 1/n −1/n ln ∣∣− t∣∣δ(s)n (t) dt = ns ∫ 1 −1 [ ln |u| − lnn ] ρ(s)(u)du elde edilir ve buradan neutrix limite geçilirse, N−lim n→ ∞ ∫ 0 −∞ ϕ(x) ∫ 1/n −1/n ln ∣∣− t∣∣δ(s)n (t) dt dx = ∫ 0 −∞ ϕ(x) dx [ N−lim n→ ∞ ns ∫ 1 −1 [ ln |u| − lnn ] ρ(s)(u)du ] = 0 (36) bulunur. (35) eşitliğinin ikinci integrali içinde u = nt değişken değiştirmesi yapılırsa,∫ 1/n −1/n ln ∣∣1− t∣∣δ(s)n (t) dt = − ∞∑ i=1 1 i ∫ 1/n −1/n tiδ(s)n (t) dt = s∑ i=1 ns−i i ∫ 1 −1 uiρ(s)(u) du − ∞∑ i=s+1 ns−i i ∫ 1 −1 uiρ(s)(u) du elde edilir. Şimdi 3.3 yardımcı teoremi kullanıldığında, s∑ i=1 ns−i i ∫ 1 −1 uiρ(s)(u) du = (−1)s(s− 1)! bulunur ve ayrıca her i > s için lim n→ ∞ ns−i i ∫ 1 −1 uiρ(s)(u) du = 0 elde edilir. Böylece N−lim n→ ∞ ∫ 1/n −1/n ln ∣∣1− t∣∣δ(s)n (t) dt = (−1)s(s− 1)! (37) 35 bulunur. (36) ve (37) eşitlikleri kullanılırsa, ∀ϕεD için N−lim n→ ∞ 〈[( H(x) )−s] n , ϕ(x) 〉 = N−lim n→ ∞ (−1)s−1 (s− 1)! ∫ ∞ −∞ ln ∣∣H(x)− t ∣∣δ(s)n (t) dt = ∫ ∞ 0 ϕ(x) dx = 〈 H(x), ϕ(x) 〉 ve dolayısıyla [ H(x) ]−s = H(x) eşitliği bulunur. Böylece istenen elde edilir. 4.2 Teorem : [27] [ H(x) ]−s − ve [ H(x) ]−s + neutrix kompozisyonları her sεN için vardır ve [ H(x) ]−s − = 0 (38)[ H(x) ]−s + = H(x) (39) dır. İspat : (x−s− )n = x−s− ∗ δn(x) = − 1 (s−1)! lnx− ∗ δ(s)n (x) yazılırsa, her sεN için −(s− 1)!(x−s− )n =  ∫ 1/n −1/n ln(t− x)δ (s) n (t) dt , x < − 1 n∫ 1/n x ln(t− x)δ (s) n (t) dt , |x| ≤ 1 n 0 , x > 1 n (40) dır. (40) eşitliğinde x yerine H(x) yazılırsa her sεN için −(s− 1)! [ H(x)−s− ] n =  ∫ 1/n 0 ln tδ (s) n (t) dt , x < 0 0 , x > 0 36 elde edilir. Burada u = nt değişken değiştirmesi yapılarak, integralin neutrix limiti alınırsa N−lim n→ ∞ ∫ 1/n 0 ln tδ(s)n (t) dt = N−lim n→ ∞ ns ∫ 1 0 [ lnu− lnn ] ρ(s)(u) du = 0 bulunur ve böylece ϕεD için N−lim n→ ∞ 〈[( H(x) )−s − ] n , ϕ(x) 〉 = 0 elde edilir. Dolayısıyla eşitlik (38) görülür. Şimdi (x−s+ )n = x−s+ ∗ δn(x) = (−1)s−1 (s−1)! lnx+ ∗ δ(s)n (x) yazılırsa, her sεN için (−1)s−1(s− 1)!(x−s+ )n =  ∫ x −1/n ln(x− t)δ(s)n (t) dt , |x| ≤ 1 n∫ 1/n −1/n ln(x− t)δ(s)n (t) dt , x > 1 n 0 , x < − 1 n (41) olur. (41) eşitliğinde yine x yerine H(x) yazılırsa, her sεN için (−1)s−1(s− 1)! [( H(x) )−s + ] n =  ∫ 0 −1/n ln(−t)δ(s)n (t) dt , x < 0∫ 1/n −1/n ln(1− t)δ(s)n (t) dt , x > 0 (42) dır. u = nt değişken değiştirmesi yapılırsa,∫ 0 −1/n ln(−t)δ(s)n (t) dt = (−1)sns ∫ 1 0 [ lnu− lnn ] ρ(s)(u) du = O(n) (43) eşitliği ve 3.3 yardımcı teoremi kullanılırsa∫ 1/n −1/n ln(1− t)δ(s)n (t) dt = − ∞∑ i=1 1 i ∫ 1/n −1/n tiδ(s)n (t) dt = O(1/n) + (−1)s−1(s− 1)! (44) elde edilir. 37 Böylece ϕεD için〈[( H(x) )−s + ] n , ϕ(x) 〉 = (−1)s−1 (s− 1)! ∫ 0 −∞ ϕ(x) ∫ 1/n −1/n ln(−t)δ(s)n (t) dt + (−1)s−1 (s− 1)! ∫ ∞ 0 ϕ(x) ∫ 1/n −1/n ln(1− t)δ(s)n (t) dt bulunur. (42) - (44) eşitliklerini kullanıp neutrix limite geçilirse N−lim n→ ∞ 〈[( H(x) )−s + ] n , ϕ(x) 〉 = ∫ ∞ 0 ϕ(x) dx = 〈 H(x), ϕ(x) 〉 (39) eşitliği elde edilir. 38 5 ( xµ+ )−m NEUTRİX KOMPOZİSYONU Nicholas ve Fisher, üçüncü bölümde verilen, r, s = 1, 2, ... için (xr+)−s kompozisyonunu{[ (xr+)−s ] n } regüler dizisinin limiti olarak tanımlamışlardır [24]. Özçağ ve diğerleri r = 0 olması durumu için, dördüncü bölümde verilen, [ H(x) ]−s kompozisyonunu tanımlamışlardır [27]. Ayrıca ( |x|r−1/2 )−4s ve ( |x|µ )−s gibi bazı kompozisyonlara anlam verilmiştir. Bu bölümde x−m ve xµ+ genelleştirilmiş fonksiyonlarının neutrix kompozisyonu tanımla- nacaktır. 5.1 Teorem : [25] ( xµ+ )−m genelleştirilmiş fonksiyonu, µ > 0, m = 1, 2, ... ve µm = s (sεZ+) için vardır ve ( xµ+ )−m = x−s+ − (−1)s (−1)mm! [ 2c(ρ) + φ(m− 1) ] + sφ(s− 1) s! δ(s−1)(x) (45) dır. Özel olarak, her rεN için (x 1 r +)−r = x−1+ − (−1)rr! [ 2c(ρ) + φ(r − 1) ] δ(x) (46) olur. İspat : [( xµ+ )−m] n = (−1)m−1 (m− 1)! ∫ 1/n −1/n ln ∣∣xµ+ − t∣∣δ(m) n (t) dt yazılırsa, o zaman (−1)m−1(m− 1)![(xµ+)−m]n =  ∫ 1/n −1/n ln |xµ − t|δ(m) n (t)dt , x ≥ 0∫ 1/n −1/n ln |t|δ(m) n (t)dt , x < 0 (47) biçimindedir. 39 Şimdi v = nt ve y = nxr değişken değiştirmeleri yapılırsa, (−1)m−1(m− 1)! ∫ 1 −1 xk[(xµ+)−m]n dx = ∫ 1 0 xk ∫ 1/n −1/n ln ∣∣xµ − t∣∣δ(m) n (t) dt dx + ∫ 0 −1 xk ∫ 1/n −1/n ln ∣∣t∣∣δ(m) n (t) dt dx = ∫ 1/n −1/n δ(m) n (t) ∫ n−1/µ 0 xk ln |xµ − t| dx dt + ∫ 1/n −1/n δ(m) n (t) ∫ 1 n−1/µ xk ln |xµ − t| dx dt + ∫ 0 −1 xk ∫ 1/n −1/n ln |t|δ(m) n (t) dx dt = nm−(k+1)/µ µ ∫ 1 −1 ρ(m)(v) ∫ 1 0 y−1+(k+1)/µ ln |y − v| dy dv + nm−(k+1)/µ µ ∫ 1 −1 ρ(m)(v) ∫ n 1 y−1+(k+1)/µ ln |y − v| dy dv + nm−(k+1)/µ µ lnn ∫ 1 −1 ρ(m)(v) dv ∫ n 0 y−1+(k+1)/µ dy + (−1)k+1nm k + 1 ∫ 1 −1 ln |v/n|ρ(m)(v) dv = I1 + I2 + I3 + I4 (48) elde edilir. k = 0, 1, ... değerleri için N−lim n→∞ I3 = 0 ve N−lim n→∞ I4 = 0 (49) k = 0, 1, ..., s− 2 değerleri için N−lim n→∞ I1 = 0 (50) olduğu kolayca görülebilir. Ayrıca ∫ n 1 y−1+(k+1)/µ ln |y − v| dy = ∫ n 1 y−1+(k+1)/µ ln y dy + ∫ n 1 y−1+(k+1)/µ ln |1− v/y| dy = I ′2 + I ′′2 (51) 40 elde edilir ve burada k = 0, 1, ..., s− 2 değerleri için I ′2 = µn(k+1)/µ lnn (k + 1) + µ2[1− n(k+1)/µ] (k + 1)2 (52) ve I ′′2 = − ∞∑ i=1 vi i ∫ n 1 y−1−i+(k+1)µ dy = − ∞∑ i=1 viµ[n−i+(k+1)/µ − 1] i(k + 1− µi) (53) bulunur. 3.3 yardımcı teorem ve (51), (52) ve (53) eşitlikleri kullanılırsa k = 0, 1, ..., s−2 değerleri için N−lim n→∞ I2 = (−1)m(m− 1)! s− k − 1 (54) neutrix limiti elde edilir. (48), (49), (50) ve (54) eşitliklerinden k = 0, 1, ..., s− 2 değerleri için N−lim n→∞ ∫ 1 −1 xk [ (xµ+)−m ] n dx = − 1 s− k − 1 (55) eşitliği elde edilir. Şimdi k = s− 1 alınırsa, I1 = 1 µ ∫ 1 −1 ρ(m)(v) ∫ 1 0 ym−1 ln |y − v| dy dv = 1 µ ∫ 1 0 ρ(m)(v) [∫ v 0 + ∫ 1 v ym−1 ln |y − v| dy ] dv + 1 µ ∫ 0 −1 ρ(m)(v) [∫ −v 0 + ∫ 1 −v ym−1 ln |y − v| dy ] dv = 1 µ ∫ 1 0 ρ(m)(v) ∫ v 0 ym−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy dv + 1 µ ∫ 1 0 ρ(m)(v) ∫ 1 v ym−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy dv + 1 µ ∫ 0 −1 ρ(m)(v) ∫ −v 0 ym−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy dv + 1 µ ∫ 0 −1 ρ(m)(v) ∫ 1 −v ym−1 ln ∣∣y − v∣∣ dy dv = J1 + J2 + J3 + J4 (56) 41 elde edilir. Buradan y = uv değişken değiştirmesi yapılırsa J1 = 1 µ ∫ 1 0 vmρ(m)(v) ∫ 1 0 um−1 [ ln v + ln(1− u) ] du dv (57) ve 3.4 yardımcı teoremi kullanılırsa∫ 1 0 vmρ(m)(v) ln v ∫ 1 0 um−1 du dv = 1 m ∫ 1 0 vm ln vρ(m)(v) dv = (−1)m(m− 1)! [ c(ρ) + 1 2 φ(m) ] (58) bulunur. Ardından 3.3 yardımcı teoremi kullanılırsa,∫ 1 0 vmρ(m)(v) ∫ 1 0 um−1 ln(1− u) du dv = 1 2 (−1)m(m− 1)! ∫ 1 0 ln(1− u)d(um − 1) = 1 2 (−1)m(m− 1)! ∫ 1 0 um − 1 1− u du = 1 2 (−1)m−1(m− 1)!φ(m) (59) eşitliği ve (57), (58) ve (59) eşitliklerinden N−lim n→∞ J1 = (−1)m(m− 1)!c(ρ) µ (60) sonucunu elde ederiz. J3 ’ü bulmak için y = uv değişken değiştirmesi yapılırsa J3 = − 1 µ ∫ 0 −1 vmρ(m)(v) ∫ 0 −1 um−1 [ ln |v|+ ln(1− u) ] du dv = − 1 µ ∫ 0 −1 vmρ(m)(v) ∫ 0 −1 um−1 ln |v| du dv − 1 µ ∫ 0 −1 vmρ(m)(v) ∫ 0 −1 um−1 ln ( 1− u ) du dv (61) bulunur. Burada 3.4 yardımcı teoremi kullanılırsa∫ 0 −1 vmρ(m)(v) ln |v| ∫ 0 −1 um−1 du dv = (−1)m−1 m ∫ 0 −1 vmρ(m)(v) ln |v| dv = −(m− 1)! [ c(ρ) + 1 2 φ(m) ] (62) 42 ve 3.3 yardımcı teoremi kullanılırsa∫ 0 −1 vmρ(m)(v) ∫ 0 −1 um−1 ln(1− u) du dv = 1 2 (−1)m(m− 1)! ∫ 0 −1 ln(1− u)d(um − 1) = 1 2 [(−1)m − 1](m− 1)! ln 2− 1 2 (−1)m(m− 1)! ∫ 0 −1 um − 1 u− 1 du = 1 2 [(−1)m − 1](m− 1)! ln 2 + 1 2 (−1)m(m− 1)! m∑ i=1 (−1)i i (63) eşitliği elde edilir. (61) , (62) ve (63) eşitlikleri kullanılır ve neutrix limit alınırsa N−lim n→∞ J3 = [1− (−1)m](m− 1)! 2µ ln 2 + (m− 1)! 2µ φ(m) −(m− 1)! 2µ m∑ i=1 (−1)i i + (m− 1)! µ c(ρ) (64) olduğu görülür. J2 için 3.3 yardımcı teorem kullanılırsa J2 = 1 µ ∫ 1 0 ρ(m)(v) ∫ 1 v ym−1 [ ln y + ln(1− v/y) ] dy dv = 1 µ ∫ 1 0 ρ(m)(v) ∫ 1 v ym−1 ln y dy dv − 1 µ ∞∑ i=1 1 i ∫ 1 0 viρ(m)(v) ∫ 1 v ym−i−1 dy dv = (−1)m(m− 1)! 2µm − 1 µm2 ∫ 1 0 ρ(m)(v) dv − 1 µ ∞∑ i=1, i 6=m 1 i(m− i) ∫ 1 0 (vi − vm)ρ(m)(v) dv = (−1)m(m− 1)! 2µm + ρ(m−1)(0) µm2 + (−1)m(m− 1)! 2µ [ 2φ(m− 1)− φ(m) ] − 1 µ ∞∑ i=1, i 6=m 1 i(m− i) ∫ 1 0 viρ(m)(v) dv = ρ(m−1)(0) µm2 + (−1)m(m− 1)! 2µ φ(m− 1) − 1 µ ∞∑ i=1, i 6=m 1 i(m− i) ∫ 1 0 viρ(m)(v) dv (65) 43 bulunur çünkü, ∞∑ i=1, i 6=m 1 i(m− i) = 2φ(m− 1)− φ(m) m = φ(m− 1) m − 1 m2 dir. Son olarak J4 için 3.3 ve 3.4 yardımcı teoremleri kullanılırsa , J4 = 1 µ ∫ 0 −1 ρ(m)(v) ∫ 1 −v ym−1 [ ln y + ln(1− v/y) ] dy dv = 1 µ ∫ 0 −1 ρ(m)(v) ∫ 1 −v ym−1 ln y dy dv − 1 µ ∞∑ i=1 1 i ∫ 0 −1 viρ(m)(v) ∫ 1 −v ym−i−1 dy dv = 1 µ ∫ 0 −1 [(−v)m − 1 m2 − (−v)m ln |v| m ] ρm)(v) dv + 1 µm ∫ 0 −1 vm ln |v|ρ(m)(v) dv − 1 µ ∞∑ i=1, i 6=m 1 i(m− i) ∫ 0 −1 [ vi − (−1)m−ivm) ] ρ(m)(v) dv = (m− 1)! 2µm − ρ(r−1)(0) µm2 − [1− (−1)m]m! 2µ [ φ(m) + 2c(ρ) ] − 1 µ ∞∑ i=1, i 6=m 1 i(m− i) ∫ 0 −1 viρ(m)(v) dv − (−1)m(m− 1)! 2µm + (m− 1)! 2µ m−1∑ i=1 (−1)m+i i − [1− (−1)m](m− 1)! ln 2 2µ (66) elde edilir çünkü ∞∑ i=1, i 6=m 1 i(m− i) = −(−1)m m2 + 1 m m−1∑ i=1 (−1)m+i i − [1− (−1)m] m ln 2 dır. I2 için 3.3 yardımcı teoremi kullanılırsa, I2 = 1 µ ∫ 1 −1 ρ(m)(v) ∫ n 1 ym−1 [ ln y + ln(1− v/y) ] dy dv = 1 µ ∫ 1 −1 ρ(m)(v) ∫ n 1 ym−1 ln(1− v/y) dy dv 44 = − 1 µ ∞∑ i=1 1 i ∫ 1 −1 viρ(m)(v) ∫ n 1 ym−i−1 dy dv = −(−1)m(m− 1)! lnn µ + 1 µ ∞∑ i=m+1 1 i(i−m) ∫ 1 −1 (nm−i − 1)viρ(m)(v) dv elde edilir. Buradan N−lim n→∞ I2 = − 1 µ ∞∑ i=m+1 1 i(i−m) ∫ 1 −1 viρ(m)(v) dv (67) olur. O halde (48), (49), (56), (60) ve (64) - (67) eşitliklerinden, N−lim n→∞ ∫ 1 −1 xs−1 [ (xµ+)−m ] n dx = (−1)m(m− 1)! µ [ 2c(ρ) + φ(m− 1) ] = (−1)mm! s [ 2c(ρ) + φ(m− 1) ] (68) olduğu görülür. Son olarak, k = s olması durumunu inceleyelim. Eğer x < 0 ve ψ keyfi sürekli fonksiyon ise, o zaman v = nt değişken değiştirmesinden (−1)m−1(m− 1)! ∫ 0 −1 xs [ (xµ+)−m ] n ψ(x) dx = ∫ 0 −1 xsψ(x) ∫ 1/n −1/n ln |t|δ(m) n (t) dt dx = nm ∫ 0 −1 xsψ(x) dx ∫ 1 −1 ln |v/n|ρ(m)(v) dv bulunur ve böylece N−lim n→∞ ∫ 0 −1 xs [ (xµ+)−m ] n ψ(x) dx = 0 (69) elde edilir. I1 içinde k = s olması durumunda ,∫ n−1/µ 0 xs [ (xµ+)−m ] n dx = n−1/µ µ ∫ 1 −1 ρ(m)(v) ∫ 1 0 ym−1+1/µ ln |(y − v)/n| dy dv 45 olur, buradan keyfi ψ fonksiyonu için lim n→∞ ∫ n−1/µ 0 xs [ (xµ+)−m ] n ψ(x) dx = 0 (70) bulunur. xµ ≥ 1 n ise, o zaman v = nt değişken değiştirmesi yapılır ve 3.3 yardımcı teoremi kullanılırsa (−1)m−1(m− 1)! [ (xµ+)−m ] n = ∫ 1/n −1/n ln |xµ − t|δn(m)(t) dt = nm ∫ 1 −1 ln |xµ − v/n|ρ(m)(v) dv = nm ∫ 1 −1 [ ln |xµ − ∞∑ i=1 vi inixµi ] ρ(m)(v) dv = − ∞∑ i=m ∫ 1 −1 vi ini−mxµi ρ(m)(v) dv olduğu görülür. m = 1, 2, ... için Km = ∫ 1 −1 ∣∣ρ(m)(v) ∣∣ dv olmak üzere, ∣∣∣(m− 1)! [ (xµ+)−m ] n ∣∣∣ ≤ ∞∑ i=m ∫ 1 −1 |v|i ini−mxµi |ρ(m)(v)| dv ≤ ∞∑ i=m Km ini−mxµi eşitsizliği elde edilir. n−1/µ < η < 1 olması durumunda ise, (m− 1)! ∫ η n−1/µ ∣∣∣[(xµ+)−m ] n ∣∣∣ dx ≤ Km ∞∑ i=m nm−i i ∫ η n−1/µ xs−µi dx = Km ∞∑ i=m n−1/µ µi ∫ nηµ 1 ym−i+1/µ−1 dy =  Km ∑∞ i=m n−1/µ µi(m−i+1/µ) [ (nηµ)m−i+1/µ − 1 ] , µ 6= 1 Km ∑∞ i=m,i 6=m+1 n−1 i(m−i+1) [ (nη)m−i+1 − 1 ] + Kmn−1 ln(nη) m+1 , µ = 1 46 olur. Buradan her m = 1, 2, ... için lim n→∞ ∣∣∣[(xµ+)−m ] n ∣∣∣ = O(η) olur. O halde ψ sürekli bir fonksiyon ise, m = 1, 2, ... için lim n→∞ ∣∣∣ ∫ η n−1/µ xs [ (xµ+)−m ] n ψ(x) dx ∣∣∣ = O(η) (71) elde edilir. Şimdi [−1, 1] kapalı aralığı üzerinde tanımlı ve desteği kompakt olan bir ϕ(x) fonk- siyonu, Taylor teoreminden 0 < ξ < 1 için, ϕ(x) = s−1∑ k=0 ϕ(k)(0) k! xk + xs s! ϕ(s)(ξx) (0 < ξ < 1) biçiminde yazılabilir. O halde [ (xµ+)−m ] n , ϕ(x)〉 = s−1∑ k=0 ϕ(k)(0) k! ∫ 1 −1 xk [ (xµ+)−m ] n dx + 1 s! ∫ 0 −1 xs [ (xµ+)−m ] n ϕ(s)(ξx) dx + 1 s! ∫ n−1/µ 0 xs [ (xµ+)−m ] n ϕ(s)(ξx) dx + 1 s! ∫ η n−1/µ xs [ (xµ+)−m ] n ϕ(s)(ξx) dx + 1 s! ∫ 1 η xs [ (xµ+)−m ] n ϕ(s)(ξx) dx olur. {[ (xµ+)−m ] n } regüler dizisinin [η, 1] aralığında düzgün yakınsamasından ve (55), 47 (68) - (71) eşitliklerinden, N−lim n→∞ 〈 [ (xµ+)−m ] n , ϕ(x)〉 = (−1)mm! s! [ 2c(ρ) + φ(m− 1) ] ϕ(s−1)(0) − s−2∑ k=0 ϕ(k)(0) k!(s− k − 1) + ∫ 1 η ϕ(s)(ξx) dx+O(η) elde edilir. η yeterince küçük alındığında ve 3.5 yardımcı teoremi kullanıldığında nεN için N−lim n→∞ 〈 [ (xµ+)−m ] n , ϕ(x)〉 = (−1)mm! s! [ 2c(ρ) + φ(m− 1) ] ϕ(s−1)(0) − s−2∑ k=0 ϕ(k)(0) k!(s− k − 1) + ∫ 1 η ϕ(s)(ξx) dx+O(η) = ∫ 1 0 x−s [ ϕ(x)− s−1∑ k=0 ϕ(k)(0) k! xk ] dx − s−2∑ k=0 ϕ(k)(0) k!(s− k − 1) + (−1)mm! s! [ 2c(ρ) + φ(m− 1) ] ϕ(s−1)(0) = 〈x−s+ , ϕ(x)〉 −(−1)s (−1)mm! [ 2c(ρ) + φ(m− 1) ] + sφ(s− 1) s! ×〈δ(s−1)(x), ϕ(x)〉 sonucu elde edilir. Bu ise (45) eşitliğinin [−1, 1] aralığı üzerindeki kanıtıdır. Ancak (45) eşitliği orijini içermeyen her aralık için doğrudur. Bu da teoremin kanıtını tamamlar. 5.2 Sonuç : [25] (xµ−)−m genelleştirilmiş fonksiyonu µ > 0, m = 1, 2, ... ve µm = s (sεZ+) için vardır ve( xµ− )−m = x−s− + (−1)mm! [ 2c(ρ) + φ(m− 1) ] + sφ(s− 1) s! δ(s−1)(x) (72) 48 dır. İspat : (72) eşitliği, (45) eşitliği içinde x yerine −x yazılarak takip edilir. 49 Kaynaklar [1] Antosik, P., Composition of Distributions ,Technical Reports, No.9, University of Wisconsin, 1988 - 1989. [2] Antosik, P., Mikusinski, J., Sikorski, R., Theory of Distributions, The Sequental Approach, PWN-Elsewier, Warsawa - Amsterdam, 1973. [3] Van Der Corput, J.G., Introduction to the neutrix calculus, Journal d’Analyse Mathematique 7, 291-398, 1959. [4] Ege, İ., Neutrix Calculus’un Tam Olmayan Beta ve Gama Özel Fonksiyonlarına ve Kısmi Türevlerine Olan Uygulamaları, Doktora Tezi, Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 2009. [5] Estrada, R., Kanwal, R.P., Regularization, pseudofunction and Hadamard finite part, Journal of Mathematical Analysis and Applications 141, 195-207, 1989. [6] Fisher, B., Neutrices and Distributions, Conferances On Complex Analysis and Applications, Sofia, 169-175, 1989. [7] Fisher, B., On defining the distribution δ(r) ( f(x) ) , Rostocker Mathematisches Kol- loquium 23 , 73-80, 1983. [8] Fisher, B., On defining the distribution ( xr+ )−s − , Novi Sad Journal of Mathematics 15, 119-129, 1985. [9] Fisher, B., On defining the distribution δ(s) ( f(x) ) for summable f , Publicationes Mathematicae Debrecen 32, 233-241, 1985. [10] Fisher, B., On defining the product of distributions, Mathematische Nanchrichten 99, 239-249, 1980. [11] Fisher, B., On the product of distributions and the change of variable, Publicati- ones Mathematicae Debrecen 35, 37-42, 1988. [12] Fisher, B., Some notes on distributions, Mathematics Student 48, 269-281, 1980. [13] Fisher, B., The product of distributions, Quartely Journal of Mathematics Oxford 22(2), 291-298, 1971. 50 [14] Gel’fand, I.M., Shilov, G.E., Generalized Functions , Vol. I, Academic Press, 1964. [15] Gülen, Ü., Genelleştirilmiş Fonksiyonların Kompozisyonu, Yüksek Lisans Tezi, Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 1998. [16] Hadamard, J.S., Le Probleme de Cauchy at Les Equations Aux Derivatives Parti- elles Linearies Hyperboliques , Hermann, 1932. [17] Halperin, I., Introduction to the Theory of Distributions , Canadian Mathematical Congress, Lecture Series, No.1, 1952. [18] Hoskins, R., Pinto, J.S., Distributions, Ultradistributions and Other Generalized Functions , Ellis Harwood, 1994. [19] Kanwal, R.P., Generalized Functions, Academic Press, London, 1983. [20] Kau, H., Fisher, B., On composition of distributions, Publicationes Mathematicae Debrecen 40/3-4, 279-290, 1992. [21] Koh, E.L., Kuan, L.C., On the distributions δk and ( δ ′)k , Mathematische Nach- richten 157, 243- 248, 1992. [22] Nicholas, J.D., Fisher, B., A result on the composition of distributions, Proceeding of Indian Academy of Sciences 109 (3), 317-323, 1999. [23] Nicholas, J.D., Fisher, B., Some results on the composition of distributions, Novi Sad Journal of Mathematics 32 (2), 87-94, 2002. [24] Nicholas, J.D., Fisher, B., The distribution composition ( xr+ )−s , Journal of Mat- hematical Analysis and Applications 258, 131-145, 2001. [25] Özçağ, E., Aktürk, İ., Tuneska, B.J., Lazarova, L., Note on the distribution com- position ( xµ+ )λ , Journal of Inequalities and Applications (yayına gönderildi), 2014. [26] Özçağ, E., Defining the kth powers of the Dirac-delta distribution for negative integers, Applied Mathematics Letters 14, 419-423, 2001. [27] Özçağ, E., Ege, İ., Gürçay, H., On powers of the heaviside function for negative integers, Journal of Mathematical Analysis and Applications 326, 101-107, 2007. 51 [28] Özçağ, E., Operations On Generalized Functions, Doktora Tezi, University of Le- icester, Leicester, 1993. [29] Schwartz, L., Theorie Des Distributions, Hermann, Paris, 1966. [30] Treves, F., Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels , Academic Press, 1967. 52 ÖZGEÇMİŞ Kimlik Bilgileri Adı Soyadı : İnci AKTÜRK Doğum Yeri : Ankara Medeni Hali : Bekar E-posta : inciakturk06@gmail.com Eğitim Lise : 2003-2006 Ayaş Naime Ali Karataş Ç.P.L. Lisans : 2006-2012 Başkent Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Matematik Öğretmenliği Yabancı Dil ve Düzeyi İngilizce, İyi İş Deneyimi – Deneyim Alanları – Tezden Üretilmiş Projeler ve Bütçesi – Tezden Üretilmiş Yayınlar Limonska Lazarova, B.J. Tuneska, E. Özçağ and İnci Aktürk, ”Note on the distribution composition ( xµ+ )λ ”, Journal of Inequalities and Applications (yayına gönderildi), 2014. Tezden Üretilmiş Tebliğ ve/veya Poster Sunumu ile Katıldığı Toplantılar – 53