KESİRLİ FOURİER DÖNÜŞÜMÜNÜN MAXWELL DENKLEMLER İNE UYGULANMASI APPLICATION OF FRACTIONAL FOURIER TRANSFORM TO MAXWELL’S EQUATIONS IŞILTAN SAYIN Prof. Dr. Feza Arıkan Tez Danışmanı Hacettepe Üniversitesi Lisansüstü Eğitim - Öğretim ve Sınav Yönetmeliği’nin Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı İçin Öngördüğü DOKTORA TEZİ olarak hazırlanmıştır. 2016 ÖZET KESİRLİ FOURİER DÖNÜŞÜMÜNÜN MAXWELL DENKLEMLER İNE UYGULANMASI IŞILTAN SAYIN Doktora, Elektrik ve Elektronik Mühendisli ği Bölümü Tez Danışmanı: Prof. Dr. Feza Arıkan Eylül 2016, 133 sayfa Kesirli Fourier Dönüşümü (KFD), klasik Fourier Dönüşümünün (FD) genel bir halidir. KFD, FD’nin kullanıldığı bir çok alanda kullanılabilir. KFD, zaman ve frekans uzamlarını genelleştirerek kesirli Fourier uzamlarını tanımlar. KFD’nin uygulandığı alanlarda sistemlerin başarımı bu kesir değeri üzerinden eniyile- nebilir. Kırınım teorisinde bir açıklıktan yayılan alanlar Fresnel yaklaştırması altında Fresnel İntegrali (FRİ) biçiminde verilir. FRİ, KFD cinsinden ifade edilebilir. Hızlı ve güvenilir KFD hesaplama yöntemleri kullanılarak açıklık antenden yayılan alanlar Fresnel bölgesinde bulunabilir. Bu tez kapsamında, sayısal KFD hesap- lama yöntemleri incelenerek sürekli KFD ile olan ilişkileri verilmiştir. KFD he- saplama yöntemleri Hızlı Kesirli Fourier Dönüşümü (HKFD) ve Ayrık Kesirli Fo- urier Dönüşümü (AKFD) olarak sınıflandırılabilir. HKFD’de, KFD işlecinin içer- diği alt ‘chirp’ evrişim işlecinin hesaplanmasında Hızlı FD (FD) kullanılır. AKFD yönteminde, sinyal vektörü, Ayrık FD (AFD) matrisinin kesirli kuvveti ile çarpılır. HKFD ve AKFD yöntemleri giriş ve çıkışlarındaki örnekleme aralıklarının sabit olduğunu varsayar. Örnekleme aralıkları yöntemlerin varsaydığı şekilde seçildi- ğinde çıkış örnekleri sürekli KFD örneklerini verir. Ancak, örnekleme aralıkları farklı seçildiğinde sürekli KFD örneklerine ulaşmak için açı ve faz düzeltme- i leri uygulanmalıdır. Bu çalışmada, farklı örnek aralıkları için HKFD yöntemine uygulanması gereken düzeltmeler elde edilmiş, HKFD ve AKFD yöntemlerinin başarımları, sürekli KFD örnekleri ile aralarındaki fark hesaplanarak incelen- miştir. Sürekli KFD örnekleri uyarlanır Gauss-Kronrod (GK) sayısal integral he- saplama yöntemi ile elde edimiştir. Yöntemlerin sürekli KFD örneklerini elde etme başarımlarının birbirine yakın olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Bu tez kapsamında, literatürde ilk defa, HKFD yöntemi, açı ve faz düzeltmeleri uygulanarak, Fresnel kırınım deseninin hesaplanmasında kullanılmıştır. KFD yöntemleri ile hesaplanan kırınım desenlerinin başarımları, FRİ’ye göre daha geniş bir bölgede geçerli olan Rayleigh-Sommerfeld İntegralinin (RSİ) değer- leri ile karşılaştırılmıştır. RSİ, GK yöntemi ile hesaplanmıştır. Yöntemlerin hız- ları, kırınım desenlerini hesaplama süreleri üzerinden karşılaştırılmıştır. Yapı- lan benzetimler, sonucunda, HKFD ve AKFD yöntemleri ile elde edilen kırınım desenlerinin birbirine çok benzediği ve Fresnel bölgesinde RSİ’ya çok yakın ol- duğu, Fresnel bölgesinden uzaklaştıkça RSİ’dan farklı değerler vermeye baş- ladığı gözlenmiştir. Yöntemlerin hızları karşılaştırıldığında, HKFD yönteminin AKFD yöntemine göre yaklaşık on kat; GK yöntemine göre yaklaşık bin kat daha hızlı olduğu görülmüştür. Bu tez kapsamında, HKFD yöntemine uygula- nan açı ve faz düzeltmeleri ile, farklı örnekleme aralıklarında, FRİ’nin örnekle- rini hızlı ve güvenilir bir şekilde hesaplayan bir yöntem sunulmuştur. MATLAB ortamında bir kullanıcı arayüzü geliştirilmiş farklı kaynak dağılımı, açıklık boyu, gözlem uzaklığı seçimlerinin kırınım desenine olan etkisinin hızlı bir şekilde incelenmesine olanak sağlanmıştır. Elektromanyetikte bir akım kaynağından yayılan alanların bulunmasında ışıma integralleri çözülmelidir. Bu çalışmada, bir akım yoğunluğundan yayılan elek- trik alan vektör bileşenleri Fresnel yaklaştırması altında KFD ile ifade edilmiştir. Elektromanyetik alanlar, vektör potansiyeli cinsinden ifade edilip, gözlem koor- dinatlarına göre olan türevler alındıktan sonra, elde edilen integraller Fresnel yaklaştırması altında KFD cinsinden yazılmıştır. Sayısal KFD hesaplama yön- temleri kullanılarak akım yoğunluğundan yayılan elektromanyetik alan vektör- ii leri hızlı ve verimli bir şekilde elde edilmiştir. Bu tez kapsamında, literatürde ilk kez KFD kullanılarak bir akım kaynağından yayılan elektromanyetik alanların vektör biçiminde hesaplanması gerçekleştirilmiştir. Bu tez kapsamında geliştirilen özgün yöntem ile dipol, çapraz dipol ve açık- lık antenlerden yayılan elektromanyetik alan vektörleri hesaplanmış ve Fresnel bölgesinde akım kaynağından yayılan elektromanyetik alanların vektör bileşen- lerinin hızlı ve verimli hesaplanabildiği gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler: Kesirli Fourier Dönüşümü, Maxwell Denklemleri, Işıma, Kırınım. iii ABSTRACT APPLICATION OF FRACTIONAL FOURIER TRANSFORM TO MAXWELL’S EQUATIONS IŞILTAN SAYIN Doctor of Philosophy, Department of Electrical and Electronics Engineering Supervisor: Prof. Dr. Feza Arıkan September 2016, 133 pages Fractional Fourier Transform (FrFT) is the generalization of the classical Fo- urier Transform (FT). FrFT can be applied to various fields that have already made use of the FT. FrFT defines the fractional Fourier domains by genera- lizing the time and frequency domains. In the application fields of FrFT, the system performance can be optimized over the fractional order of the FrFT. In the diffraction theory, under Fresnel approximations, fields radiated from an aperture can be given in the form of Fresnel Integral (FRI). FRI can be written in terms of FrFT. Radiated fields from the aperture can be computed by emp- loying the fast and accurate computation methods of the FrFT. In this thesis, numerical computation methods of the FrFT are studied and their relation to continuous FrFT is given. FrFT computation methods can be grouped into two categories as fast FrFT (fFrFT) and discrete FrFT (dFrFT). In fFrFT, compu- tation of the convolution operator in the FrFT is evaluated by the Fast Fourier Transform (FFT). In dFrFT method, signal vector to be transformed is multiplied by the fractional power of the Discrete Fourier Transform (DFT) matrix. fFrFT and dFrFT methods assume constant sampling intervals for the signals in their inputs and outputs. If the sampling intervals of the signals are chosen as the assumed intervals, the output samples match the samples of the continuous iv FrFT. However, if the sampling intervals are not equal to the assumed intervals, angle and phase corrections have to be made in order to get the continuous FrFT samples at the output. In this study, angle and phase corrections needed for the fFrFT method are derived. The performances of the fFrFT and dFrFT methods are compared over their similarities to the continuous FrFT samp- les. The samples of the continuous FrFT are obtained by the adaptive Gauss- Kronrod (GK) numerical integral computation method. It is observed that the performance of these two methods in the computation of the continuous FrFT samples are close to each other. In the scope of this thesis, for the first time in the literature, fFrFT method is applied to the evaluation of FRI, by employing the angle and phase correc- tions. The performance of the FrFT methods in evaluation of the diffraction integrals are compared with their difference to the Rayleigh-Sommerfeld Integ- ral (RSI), which is valid in a broader region than the FRI. RSI, is computed with the GK method. It is observed that the diffraction patterns of fFrFt and dFrFT are similar and they are close to the values of the GK method in the Fresnel region. Through the outside of the Fresnel region, it is observed that the met- hods compute different values than that of the GK method. The computation speeds of the methods are compared by employing the computation times of the diffraction patterns. It is observed that fFrFT method is ten times faster than the dFrFT method; and a thousand times faster than the GK method. In the scope of this thesis, with the derived angle and phase corrections for the fFrFT, a fast and accurate method for evaluation of FRI for different sampling intervals is developed. In electromagnetics, radiation integrals have to be solved in order to obtain the fields radiated from a current source. In this study, electric field vector compo- nents radiated from a current source, under Fresnel approximation, are given in terms of the FrFT. The electromagnetic fields are given in terms of vector potentials, and derivatives with respect to observation coordinates are evalu- ated. The obtained integral forms are written in terms of FrFT. Employing the v numerical FrFT methods, fast and efficient computation of the electromagnetic field vector components are performed. In the scope of this thesis, first time in the literature, the computation of the electromagnetic fields radiated from a current source in the vector form is performed by employing the FrFT. In this thesis, the developed method is applied to the computation of radiated fields for the dipole, cross-dipole and aperture antennas. It is observed that, employing the developed method in the Fresnel region, vector components of the radiated electromagnetic fields from the current source can be obtained rapidly and efficiently. Keywords: Fractional Fourier Transform, Maxwell’s Equations, Radiation, Diff- raction. vi TEŞEKKÜR Akademik hayatım boyunca hiç bitmeyen enerjisiyle her zaman yanımda olan, her türlü destek ve katkıyı sunan değerli danışmanım Prof. Dr. Feza Arıkan’a saygıyla teşekkürlerimi sunarım. Tez konumun fikir sahibi değerli hocam Prof. Dr. Orhan Arıkan’a katkıları ve yardımlarından dolayı teşekkür ederim. Tez ko- mitesine vermiş oldukları değerli katkılardan dolayı teşekkür ediyorum. Bütün araştırma görevlisi arkadaşlarıma, bu zorlu ve uzun tez sürecini daha keyifli ve eğlenceli hale getirdikleri için teşekkür ederim. Bütün bölüm persone- line göstermiş oldukları her türlü yardım ve sunmuş oldukları güleryüzlü ortam için teşekkür etmek istiyorum. Hiçbir fedakarlıktan kaçınmayarak her zaman desteklerini, sevgi ve sıcaklıkla- rını hissettiren anneme, babama ve ablama sonsuz teşekkürlerimi sunuyorum. vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii İÇİNDEKİLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii ŞEKİLLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ÇİZELGELER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv SİMGELER VE KISALTMALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv SÖZLÜK DİZİNİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi 1. GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. MAXWELL DENKLEMLERİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. KESİRLİ FOURIER DÖNÜŞÜMÜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4. KESİRLİ FOURIER DÖNÜŞÜMÜNÜ AYRIK HESAPLAMA YÖNTEMLERİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1. Hızlı Kesirli Fourier Dönüşümü (HKFD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.1. Sürekli KFD ile HKFD İlişkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2. Ayrık Kesirli Fourier Dönüşümü (AKFD) Yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.1. S yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2.2. Dikgen İzdüşüme Dayalı AKFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.3. AKFD yöntemleri ile bulunan AFD özvektörlerinin karşılaştırılması 47 4.2.4. Sürekli KFD ile AKFD arasındaki ilişki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3. KFD’yi Ayrık Hesaplama Yöntemlerinin Başarım Karşılaştırması . . . . 49 5. FRESNEL İNTEGRALİ-KESİRLİ FOURİER DÖNÜŞÜMÜ İLİŞKİSİ . . . 55 6. ZAMAN UZAMINDA SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE IŞIMA DESENLERİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7. KIRINIM DESENLERİNİN HESAPLANMASI İÇİN KULLANICI ARAYÜZÜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 viii 8. YÜZEY AKIM KAYNAĞINDAN YAYILAN VEKTÖR ALANLARIN KFD İLE HESAPLANMASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 9. SONUÇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 EKLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 EK-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 EK-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 ÖZGEÇMİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 ix ŞEKİLLER Sayfa Şekil 3.1. Kare darbe sinyalinin sürekli KFD örnekleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Şekil 3.2. a kesirli Fourier uzamı ve gürültü süzme [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Şekil 3.3. HG işlevleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Şekil 4.1. Zaman-frekans koordinat dönüşümü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Şekil 4.2. Chirp çarpımı ile frekans uzamının genişlemesi. . . . . . . . . . . . . 33 Şekil 4.3. HG işlevleri ile AFD özvektörleri arasındaki farkın normu. . . . . 48 Şekil 4.4. Kare darbe sinyalinin α = 0.05 için ayrık KFD’leri . . . . . . . . . . . . 50 Şekil 4.5. Kare darbe sinyalinin α = 0.2 için ayrık KFD’leri . . . . . . . . . . . . . 51 Şekil 4.6. Kare darbe sinyalinin α = 0.4 için ayrık KFD’leri . . . . . . . . . . . . . 51 Şekil 4.7. Kare darbe sinyalinin α = π/4 için ayrık KFD’leri . . . . . . . . . . . . 52 Şekil 4.8. Açı ve faz düzeltmesinin KFD örneklerine etkisi . . . . . . . . . . . . . 53 Şekil 5.1. Açıklık anten geometrisi ve Fresnel bölgesi . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Şekil 5.2. KFD açısının, gözlem düzleminin açıklığa uzaklığı ile değişimi. 60 Şekil 5.3. Kaynak dağılımları, U0 (x ′, 0). a) Kare, b) Doğrusal-fazlı kare, c) Gauss, d) Gauss-chirp, e) HG dağılımı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Şekil 5.4. Kare kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin erms hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Şekil 5.5. Doğrusal fazlı kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin erms hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Şekil 5.6. Gauss kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin erms hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Şekil 5.7. Gauss-chirp kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin erms hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 x Şekil 5.8. HG kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin erms hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Şekil 5.9. Kare kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin enorm hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Şekil 5.10. Doğrusal fazlı kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin enorm hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Şekil 5.11. Gauss kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin enorm hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Şekil 5.12. Gauss-chirp kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin enorm hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Şekil 5.13. HG kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin enorm hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Şekil 5.14. Kare kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin eSKL hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Şekil 5.15. Doğrusal fazlı kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin eSKL hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Şekil 5.16. Gauss kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin eSKL hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Şekil 5.17. Gauss-chirp kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin eSKL hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Şekil 5.18. HG kaynak dağılımı için, FRIGK , FNIGK , FRIHKFD, FRIAKFD kırınım desenlerinin eSKL hatalarının gözlem uzaklığı ile değişimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 xi Şekil 5.19. Kare kaynak dağılımı kırınım desenleri, 2L = 2λ. . . . . . . . . . . . . 83 Şekil 5.20. Kare kaynak dağılımı kırınım desenleri, 2L = 20λ. . . . . . . . . . . . 83 Şekil 5.21. Gauss kaynak dağılımı kırınım desenleri, 2L = 2λ. . . . . . . . . . . 84 Şekil 5.22. Gauss kaynak dağılımı kırınım desenleri, 2L = 20λ. . . . . . . . . . 84 Şekil 5.23. HKFD, AKFD, GK hesaplama süreleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Şekil 6.1. İki boyutlu ZUSF uzayı ve alanların yerleşimi. . . . . . . . . . . . . . . . 87 Şekil 6.2. İki boyutlu TUT açık sınır koşulu için geometri. . . . . . . . . . . . . . . 88 Şekil 6.3. d = 0.25rff için ZUSF , RSGK , FRIHKFD kırınım desenleri. . . . 90 Şekil 6.4. d = 0.50rff için ZUSF , RSGK , FRIHKFD kırınım desenleri. . . . 91 Şekil 6.5. d = 0.75rff için ZUSF , RSGK , FRIHKFD kırınım desenleri. . . . 91 Şekil 6.6. d = rff için ZUSF , RSGK , FRIHKFD kırınım desenleri. . . . . . . 92 Şekil 7.1. Kırınım desenleri için kullanıcı arayüzü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Şekil 7.2. Kırınım desenleri için kullanıcı arayüzü, FRIHKFD ve FNIGK kırınım desenleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Şekil 7.3. Kırınım desenleri için kullanıcı arayüzü, FRIHKFD ve RSGK kırınım desenleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Şekil 7.4. Kırınım desenleri için kullanıcı arayüzü, FRIHKFD ve FRIGK kırınım desenleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Şekil 8.1. Boyu 2L = λ olan x-ekseninde dipol, z = 5λ için a) Ex bileşeni. 102 Şekil 8.2. Boyu 2L = λ olan x-ekseninde dipol, z = 5λ için Ez bileşeni. . . 103 Şekil 8.3. Boyu 2L = λ olan x-ekseninde dipol, z = 10λ için Ex bileşeni. . 103 Şekil 8.4. Boyu 2L = λ olan x-ekseninde dipol, z = 10λ için Ez bileşeni. . 104 Şekil 8.5. Boyu 2L = λ olan x-ekseninde dipol, z = 100λ için a) Ex bileşeni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Şekil 8.6. Boyu 2L = λ olan x-ekseninde dipol, z = 100λ için Ez bileşeni. 105 Şekil 8.7. Çapraz dipol antenler: 2L = λ, faz farkı 90◦, z = 5λ, a) Ex, b) Ey, c) Ez bileşenleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Şekil 8.8. Çapraz dipol antenler: 2L = λ, faz farkı 90◦, z = 10λ, a) Ex, b) Ey, c) Ez bileşenleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 xii Şekil 8.9. Çapraz dipol antenler: 2L = λ, faz farkı 90◦, z = 100λ, a) Ex, b) Ey, c) Ez bileşenleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Şekil 8.10.Lx = 9λ, Ly = 6λ açıklık için, Jx = 1, Jy = 0, z = rff uzaklığında Ex alanı a) Ex(x, y), b) Ex(x, 0), c) Ex(0, y). Düz çizgi GK yöntemi, kesikli çizgi FRIHKFD yöntemidir. . . . . . . . . 109 Şekil 8.11.Lx = 9λ, Ly = 6λ açıklık için, Jx = 1, Jy = 0, z = rff uzaklığında Hy alanı a) Hy(x, y), b) Hy(x, 0), c) Hy(0, y). Düz çizgi GK yöntemi, kesikli çizgi FRIHKFD yöntemidir. . . . . . . . . 110 EK1.1. Doğrusal fazlı kare kaynak dağılımı kırınım desenleri, 2L = 2λ. 117 EK1.2. Doğrusal fazlı kare kaynak dağılımı kırınım desenleri, 2L = 20λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 EK1.3. Gauss-chirp kaynak dağılımı kırınım desenleri, 2L = 2λ. . . . . . 119 EK1.4. Gauss-chirp kaynak dağılımı kırınım desenleri, 2L = 20λ. . . . . 120 EK1.5. HG dağılımı kırınım desenleri, 2L = 2λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 EK1.6. HG kaynak dağılımı kırınım desenleri, 2L = 20λ. . . . . . . . . . . . . 122 xiii ÇİZELGELER Sayfa Çizelge 4.1. AFD matrisinin özdeğerlerinin tekrar sayıları. . . . . . . . . . . . . . 39 Çizelge 4.2. Bağıl hata er değerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Çizelge 4.3. Açı ve faz düzeltmesi sonrası bağıl hata er değerleri. . . . . . . 53 Çizelge 6.1. Açıklık boyu 2L = 5λ için Fresnel bölgesinde FRIHKFD ve ZUSF yöntemlerinin, RSGK ’ya göre hata değerleri. . . . . . . . . 92 Çizelge 8.1. Dipol anten boyu λ için Fresnel bölgesinde FRIHKFD’nin GK’ya göre eSKL hata değerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 xiv SİMGELER VE KISALTMALAR FD Fourier Dönüşümü AFD Ayrık Fourier Dönüşümü HFD Hızlı Fourier Dönüşümü KFD Kesirli Fourier Dönüşümü AKFD Ayrık Kesirli Fourier Dönüşümü HKFD Hızlı Kesirli Fourier Dönüşümü RSİ Rayleigh-Sommerfeld İntegrali FRİ Fresnel İntegrali FNİ Fraunhofer İntegrali GK Uyarlanır Gauss-Kronrod sayısal integral hesaplama yöntemi λ Dalgaboyu β Dalga sayısı F Fourier Dönüşümü işleci Fa Kesirli Fourier Dönüşümü işleci ♯(N, k) N boyutlu AFD matrisinin k indisli özdeğerinin tekrar sayısı ǫ Elektrik geçirgenlik µ Manyetik geçirgenlik ǫ0 Boşuzayın elektrik geçirgenliği µ0 Boşuzayın manyetik geçirgenliği ψn (·) n. dereceden Hermite-Gauss fonksiyonu hn (·) n. dereceden Hermite polinomu xv SÖZLÜK DİZİNİ Birbiçimli Birim Matris Birimcil Birimdik Dalga cephesi Dalga sayısı Dalgaboyu Dikgen Durağan hal Enbüyük Enbüyültme Eniyi Eniyileştirme Enküçük Enküçültme Eşyönlü Evrişim Hüzme Biçimlendirme Intrinsic impedance Kerte Öz-ayrışım Özdeğer Özişlev Özvektör Özyineleme Sıfır Uzayı Tekdüze Tekil Değer Ayrıştırması : Uniform : Unitary Matrix : Unitary : Orthonormal : Wavefront : Wavenumber : Wavelength : Orthogonal : Steady-state : Maximum : Maximization : Optimum : Optimization : Minimum : Minimization : Isotropic : Convolution : Beamforming : Öz empedans : Rank : Eigendecomposition : Eigenvalue : Eigenfunction : Eigenvector : Recursion : Null Space : Monotonic : Singular Value Decomposition xvi Tekil Olmayan Üçlü köşegen matris Üstel Yinelemeli : Nonsingular : Tri-diagonal matrix : Exponential : Iterative xvii 1. GİRİŞ Fourier Dönüşümü (FD) bilimin birçok alanında kendisine yer edinmiş, doğa ve evren yasalarının, fiziksel olayların anlaşılmasında ve teorilerin geliştirilme- sinde büyük katkılar sağlamıştır. Kesirli Fourier Dönüşümü (KFD), klasik Fo- urier Dönüşümünün (FD) genel halidir. KFD, FD’nin kullanıldığı bir çok alanda kullanılmakta ve hesaplama karmaşıklığı, FD’ninkine yakın olduğu için, ba- şarımın artmasına hesaplama yükünü arttırmadan imkan verebilmektedir [1]. KFD’nin bazı uygulama örnekleri olarak sinyal ve görüntü işleme [2], Zaman- Frekans (ZF) analizi [3], optik [4], hüzme şekillendirme [5], iletişim sistemleri [6] ve diferansiyel denklemlerin çözümü [7] verilebilir. Zaman-Frekans (ZF) gösterimi, bir sinyalin enerjisinin zaman ve frekans uzam- larında nasıl değiştiğini gösteren iki boyulu bir gösterimdir [1,8]. Sinyalin ener- jisinin frekanstaki dağılımını zamana göre verir. KFD, sinyali ZF düzleminde saat yönünde döndürür; zaman ve frekans uzamlarını kesirli uzamlara, her uzam için bir kesir değeri tanımlayarak genelleştirir. KFD, ilk olarak Namias tarafından geliştirilmiş ve Schrödinger diferansiyel denk- leminin çözümünde kullanılmıştır [7]. KFD bazı biçimlerdeki diferansiyel denk- lemlere uygulandığı zaman en yüksek dereceden türev içeren terimin önündeki katsayı KFD’nin derecesine bağlı olarak ifade edilebilmekte ve bu KFD dere- cesinin belirli bir değeri için sıfır değerini almaktadır. Elde edilen diferansiyel denklemin derecesi KFD bölgesinde bir derece azaldığı için diferansiyel denk- lemin analitik çözümü bu bölgede daha kolay elde edilebilmektedir [7]. Elde edilen çözümün ters KFD’si alınarak zaman bölgesindeki çözüme ulaşılabil- mektedir. Bir çok uygulamada incelenmek istenen sinyalin sadece bir sistem ve/veya gürültü tarafından bozulmuş hali gözlenebilmektedir. Bozucu sistemin ve gü- rültünün etkisinin giderilebilmesi için gözlem sinyalinden istenen sinyal kestiril- melidir. İstenen sinyal ile kestirim arasındaki Ortalama Karesel Hatayı (OKH) 1 en küçülterek, gözlem sinyalindeki bozulmaları ve gürültüyü en aza indirecek doğrusal bir kestirim işleci düşünülebilir. İstenen sinyalin ve gürültünün dura- ğan olduğu ve sistemin zamanda değişmez olduğu durumlarda en iyi kestirim işleci Wiener süzgece karşılık gelmektedir [2]. Bu işleç zamanda değişmez bir işleçtir ve klasik Fourier bölgesinde çarpma işlemi ile gerçekleştirilebilir. Ancak zamanla değişen bir sistem veya durağan olmayan sinyal ve gürültü süreçleri için OKH’yı en aza indirecek olan kestirim işleci Wiener süzgeçten farklı ola- cak ve klasik Fourier bölgesinde çarpma işlemi ile gerçekleştirilemeyecektir. Bu problemin çözümünde KFD kullanılarak a kesirli Fourier bölgesinde süz- geç uygulanmış ve klasik Fourier uzamında elde edilen kestirim hatalarından daha az kestirim hataları elde edilmiştir [2]. Bu sayede, gürültünün ‘chirp’ ta- banlı olduğu durumlarda, klasik Fourier bölgesinde yapılan süzme işlemi ile elde edilen OKH’den daha az OKH değerlerine ulaşılabilmektedir [2]. KFD ses ve görüntü işlemede gürültü süzmede kullanılmaktadır [1]. Zamanda veya frekans uzamında gürültü süzmenin mümkün olmadığı durumlarda, a ke- sirli Fourier uzamında gürültü süzme mümkün olabilmekte ve ters KFD uygula- narak istenen sinyal geri kazanılabilmektedir. KFD’nin hesaplanmasındaki iş- lem yükü, klasik Fourier dönüşümünün hesaplanmasındaki işlem yüküne yakın olduğundan, elde edilen kestirim hatasındaki azalma, ek bir hesaplama yükü getirilmeden elde edilebilmektedir. KFD hüzme biçimlendirme problemlerinde de kullanılmaktadır. [5]’de hüzme biçimlendiricinin çıkışı ile istenen sinyal arasındaki OKH’yı en küçülten hüzme biçimlendirici ağırlıkları KFD’nin farklı a ∈ [−1, 1] değerleri için hesaplanmış ve en az OKH’yı veren ağırlıklar seçilmiştir. Bu sayede en küçük OKH uzayda hüzme biçimlendirme (a = 0) veya en küçük OKH frekansta hüzme biçimlen- dirme (a = 1) yöntemleri ile elde edilebilen OKH’den daha az OKH değerlerine ulaşılmıştır. Yöntem duran, sabit hızla ve ivmeli hızla hareket eden kaynaklar için uygulanmıştır. Toplanır Gauss gürültü varsayımı altında doğrusal olarak yerleştirilmiş beş alıcıdan alınan anlık ölçümler kullanılmıştır. Kaynaklar alıcı 2 dizisinin uzak alanında bulunmakta ve kendi referans koordinat sistemlerinde sinüs biçiminde elektromanyetik dalga yaymaktadırlar. Bu varsayımlar altında elde edilen en az OKH hem duran hem de hareket eden kaynaklar için a’nın 0 veya 1’den farklı olduğu durumlarda elde edilmiştir. Bu yöntem ile ivmeli hare- ket eden kaynak için, uzay veya frekansta hüzme biçimlendirme yöntemlerine göre %60 daha az OKH elde edilmiştir [5]. KFD’nin optik alanında bir çok uygulaması bulunmaktadır. Işığın genliğinin op- tik bir sistemin girişindeki ve çıkışındaki dağılımları arasındaki ilişki KFD ile gösterilebilmekte ve bu sayede KFD, optik sistemler ile gerçekleştirilebilmekte- dir. KFD’nin sinyal işleme uygulamaları, optik sinyal işleme alanında da kulla- nılabilir [9]. Açıklık antenin uzak alan deseni, Fraunhofer yaklaştırması ile açıklık anten üzerindeki dağılımın FD’si olarak yazılabilir [10]. Fresnel yayılma integrali KFD cinsinden ifade edilebilir [1, 9, 11]. Yakın alanın başlangıcından uzak alanı içe- ren bölge boyunca ve kaynağa dik olan eksene yakın bölgelerde (Fresnel böl- gesi) yayılan alanlar KFD cinsinden yazılabilir. Dereceli indisli ortamların KFD ile doğal bir ilişkileri vardır. Işık böyle bir or- tamda ilerlerken, genliğinin dağılımına, derecesi uzaklıkla sürekli artan KFD işleci uygulanmaktadır. Dereceli indisli ortamlar, KFD işlecini doğal olarak ger- çekleştirmektedirler [1]. Maxwell Denklemleri, uzayın herhangi bir noktasında ve anında elektrik ve manyetik alanlar ile bu alanlara neden olan kaynaklar arasındaki ilişkileri verir. Bir akım kaynağından yayılan elektromanyetik alanlar, Maxwell Denklemlerinin çözümü ile elde edilir [12, 13]. Elektromanyetik yöntemler genel olarak analitik ve sayısal olarak sınıflandırılabilir. Analitik yöntemler, problemin tam çözümünü ifade edebilmekte ancak pratikte sadece belli geometrik yapılarda tam çözüm elde edilebilmektedir. Bilgisayarların hız ve belleklerinin gelişmesi ile birlikte elektromanyetik prob- 3 lemlerin çözümünde sayısal yöntemler sıkça kullanılmaya başlanmıştır [14,15]. Sayısal Elektromanyetik yöntemleri genel olarak Zaman Uzamı (ZU) ve Fre- kans Uzamı (FU) tabanlı yöntemler olarak sınıflandırılabilir. ZU tabanlı yön- temler geçici tepkilerin ve geniş bantlı problemlerin incelenmesinde kullanışlı olurken, FU tabanlı yöntemler durağan hal tepkilerin ve dar bantlı problem- lerin incelenmesinde en iyi çözümü vermektedir [15]. Bu çalışmada sunulan tez kapsamında, uzayda ve/veya zamanda KFD kullanılarak, hem ZB tabanlı hem de FB tabanlı yaklaşımların avantajlarını ön plana çıkarabilecek bir sayısal elektromanyetik yöntemin geliştirilebileceği düşünülmüştür. Işınım, yayılım ve saçılım problemlerinde haberleşme ve radar uygulamala- rında kullanılan pek çok geniş bantlı ve uzun süreli sinyaller için ZU ve FU yak- laşımları yeterli olmamaktadır. Her iki yaklaşımın avantajlarını öne çıkaracak yöntemler geliştirilebileceği; bu durum için Maxwell Denklemlerinin, frekans uzamı veya zaman uzamı yerine, Kesirli Fourier uzamında çözülebileceği ve her iki yaklaşımın da avantajlarının korunabileceği; Örneğin ‘chirp’ darbe sin- yallerinin kullanıldığı radar problemleri için, zaman-frekans gösteriminde, sin- yalin dayanağının belli bölgelerde yoğunlaştığı durumlarda, kesirli Fourier böl- gesinde uygulanacak çözüm tekniklerinin fayda sağlayabileceği öngörülmüş- tür. Sayın et al. [16] çalışmasında, KFD, zaman uzamında Maxwell Denklerine uygulanarak kesirli uzamda Maxwell Denklemlerinin diferansiyel biçimleri elde edilmiştir. Kesirli uzamdaki diferansiyel denklemler, Sonlu Farklar yöntemi ile fark denklemleri biçimine dönüştürülmüştür. Bu çalışma EK-2’de verilmiştir. Ke- sirli uzamda denklemlerin yinelemeli çözülmesi için gereken başlangıç değer- leri, kararlılık koşullarının belirlenmesinde fayda sağlayabileceği düşünülerek KFD’nin optik ve kırınım teorisindeki uygulamaları incelenmiştir. Maxwell Denklemlerinin çözülmesi ile alanlar vektör biçiminde elde edilir. Op- tikte kullanılan frekanslarda ışığın dalgaboyu küçük olduğu için ışığın vektör özelliği ihmal edilebilir [17]. Bu durumda skalar alanın çözülmesi yeterli olur. Kırınım teorisinde karşılaşılan yayılma integralleri analitik olarak zordur ve doğ- 4 rudan sayısal çözümler yoğun hesaplama karmaşıklığı gerektirir [10, 12]. Bu yüzden hızlı sayısal yöntemlerle uyumlu sade integral biçimleri elde etmek için matematiksel yaklaştırmalar kullanılır. Bir açıklıktan yayılan skalar alan Rayleigh-Sommerfeld İntegrali (RSİ) ile ifade edilir. RSİ’nın analitik ve sayı- sal hesaplanması zor olduğu için Fresnel yaklaştırması uygulanabilir. Fresnel yaklaştırması yayılma integralleri için sade bir biçim sağlamaktadır ve optik, yakın alan anten analizi, Bilgisayarla-Hesaplanmış-Holografi (BHH) gibi birçok alanda kullanılır [1, 17, 18]. Fresnel yaklaştırması ile, açıklığa paralel bir düz- lemdeki alan dağılımı, açıklık üzerindeki alan dağılımının Fresnel dönüşümü olur [1,18]. Anten teorisinde bir açıklık antenden yayılan alanlar yakın ve uzak mesafelerde Fresnel yayılma integrali ile ifade edilir [12]. BHH’de bir cisimden saçılan ışık dağılımı, hologram oluşturabilmek için bir referans düzleminde he- saplanır. Yoğun hesaplama karmaşıklığını azaltmak için Fresnel yaklaştırması kullanılır. Böylece hafıza kaynaklarına duyulan ihtiyaç azalır ve hızlı hesaplama yöntemleri elde edilir [19]. Fresnel bölgesinde dalga yayılması birçok araştırma alanı için önemli bir konudur. Bu yüzden Fresnel yayılma integralinin hesaplan- masında hızlı, doğru ve verimli sayısal yöntemler önem kazanmaktadır. Fresnel integrali KFD ile ifade edilebildiği için, KFD’nin hesaplanmasında kul- lanılan hızlı yöntemler kullanılarak Fresnel integrali verimli bir şekilde hesapla- nabilmektedir. Bu tez kapsamında, ilk olarak, literatürde varolan sayısal KFD hesaplama yöntemleri incelenerek sürekli KFD ile olan ilişkileri verilmiştir. KFD hesaplama yöntemleri Hızlı FD (HFD) tabanlı ve Ayrık FD (AFD) tabanlı yön- temler olarak sınıflandırılabilir. HFD tabanlı yöntemlerde KFD işleci chirp çar- pımı, chirp evrişimi alt işleçlerine bölünerek evrişim işleçlerinin hesaplanma- sında HFD yöntemi kullanılır [20]. Bu yöntemler bu çalışmada Hızlı KFD (HKFD) yöntemleri olarak adlandırılmıştır. AFD tabanlı yöntemler ise sinyalin örnek- lerini içeren vektörün, AFD matrisinin kesirli kuvveti ile çarpılmasına daya- nır [21, 22]. AFD matrisinin kesirli kuvvetinin hesaplanmasında AFD matrisi- nin özvektörleri bulunur, AFD matrisinin öz-ayrışımı elde edilir ve özdeğerleri içeren çapraz matrisin kesirli kuvveti alınır. Özvektörler, KFD işlecinin özfonksi- 5 yonları olan Hermite-Gauss işlevlerine benzemelidir. Bu çalışmada AFD ta- banlı KFD hesaplama yöntemleri Ayrık KFD (AKFD) olarak adlandırılmıştır. HKFD ve AKFD yöntemleri giriş ve çıkışlarındaki örnekleme aralıklarının sabit olduğunu varsayar. Örnekleme aralıkları yöntemlerin varsaydığı şekilde seçildi- ğinde çıkış örnekleri sürekli KFD örneklerini verir. Ancak, örnekleme aralıkları farklı seçildiğinde sürekli KFD örneklerine ulaşmak için açı ve faz düzeltmeleri uygulanmalıdır. KFD’nin genel hali olan Doğrusal Kanonik Dönüşüm (DKD) için sabit örnek- leme varsayan DKD hesaplama yöntemlerinin sürekli DKD ile olan ilişkisi [23]’de verilmiştir. Bu çalışmada girişinde ve çıkışında sabit örnekleme varsayan HKFD yönteminin sürekli KFD ile olan ilişkisi ve farklı örnekleme aralıklarında uygu- lanması gereken açı ve faz düzeltmeleri çıkarılmıştır. Elde edilen açı ve faz düzeltmelerinin, [22]’de AKFD yöntemleri için verilen düzeltmelerle benzer ol- duğu, aradaki farkın iki yöntemin KFD tanımlarından kaynaklandığı gözlenmiş- tir. HKFD ve AKFD yöntemlerinin KFD örneklerini hesaplama başarımları, sü- rekli KFD’ye göre bağıl hataları üzerinden karşılaştırılmıştır. Sürekli KFD ör- nekleri uyarlanır Gauss-Kronrod (GK) sayısal integral hesaplama yöntemi ile elde edilmiştir [24]. Yöntemlerin benzer hata değerleri verdikleri gözlenmiştir. HKFD ve AKFD yöntemleri, Fresnel integralinin hesaplanarak bir açıklığın kırı- nım desenlerinin elde edilmesinde kullanılmıştır. Literatürde, Fresnel integralinin KFD ile hesaplanması üzerine yapılan çalış- malarda kısıtlı sayıda durum ve parametre incelenmiştir [4, 11]. Bu tez kapsa- mında ikinci olarak, Fresnel integralinin hesaplanması, kullanılan KFD yöntemi, gözlem düzleminin uzaklığı, açıklık boyu, kaynak dağılımının etkileri üzerinden ayrıntılı olarak incelenmiştir. Yöntemlerin kırınım deseni hesaplamadaki doğ- rulukları ve hızları karşılaştırılmıştır. KFD yöntemleri ile hesaplanan yayılma desenlerinin başarımları, RSİ’nin GK yöntemi ile hesaplanan kırınım desenleri ile karşılaştırılarak incelenmiştir. Yön- temlerin hızları, kırınım desenlerinin hesaplanma süreleri cinsinden elde edilip 6 karşılaştırılmıştır. Yapılan benzetimler, sonucunda, HKFD ve AKFD yöntem- leri ile elde edilen kırınım desenlerinin birbirine çok benzediği ve Fresnel böl- gesinde RSİ’ye çok yakın olduğu, Fresnel bölgesinden uzaklaştıkça RSİ’den farklı değerler vermeye başladığı gözlenmiştir. Yöntemlerin hızları karşılaştırıl- dığında, iki boyutlu uzayda, HKFD yönteminin AKFD yöntemine göre yaklaşık on kat; GK yöntemine göre yaklaşık bin kat daha hızlı olduğu görülmüştür. Bu tez kapsamında, HKFD yöntemine uygulanan açı ve faz düzeltmeleri ile, farklı örnekleme aralıklarında, Fresnel integralinin örneklerini hızlı ve güvenilir bir şekilde hesaplayan bir yöntem sunulmuştur. MATLAB ortamında bir kulla- nıcı arayüzü geliştirilmiş farklı kaynak dağılımı, açıklık boyu, gözlem uzaklığı seçimlerinin kırınım desenine olan etkisinin hızlı bir şekilde incelenmesine ola- nak sağlanmıştır. Bu çalışma kapsamında, KFD’nin kırınım desenini ifade etme başarımı Za- man Uzamında Sonlu Farklar (ZUSF) yöntemi kullanılarak incelenmiştir. ZUSF yöntemi uzayı ızgaralara bölerek elektrik ve manyetik alan vektörlerini uzayda ve zamanda ayrık hale getirir [25–27]. Benzetim uzayının her noktasında alan bileşenlerini hesapladığı için kırınım deseni hesaplama karmaşıklığı KFD’nin hesaplama karmaşıklığına göre fazladır. Bu nedenle KFD ile kırınım deseni elde etme ZUSF ile elde etmeye göre çok daha hızlıdır. Sayin et al. [28]’da, dalgaboyu mertebesindeki açıklıklardan KFD ile elde edilen kırınım desenleri- nin Zaman Uzamında Sonlu Farklar yöntemi ile karşılaştırılmıştır. Yakın alanda KFD’nin kırınım desenini ifade edebildiği gözlenmiştir. Bu çalışma EK-2’te su- nulmuştur. Elektromanyetik teorisinde bir akım yoğunluğundan yayılan alanların bulun- masında, skalar ve vektör potansiyellerinin kullanılması kolaylık sağlamakta- dır [29]. Vektör potansiyeli, akım yoğunluğunun kaynak koordinatlarına göre in- tegrali biçimindedir. Vektör potansiyelinin gözlem koordinatlarına göre türevleri alınarak elektromanyetik alanlar bulunmaktadır. Bu çalışmada, bir akım yoğun- luğundan yayılan elektrik alan vektör bileşenleri Fresnel yaklaştırması altında 7 KFD ile ifade edilmiştir. Elektromanyetik alanlar vektör potansiyeli cinsinden ifade edilip, gözlem koordinatlarına göre olan türevler alındıktan sonra, elde edilen integraller Fresnel yaklaştırması altında KFD ile ifade edilmiştir. Sayısal hesaplama yöntemleri kullanılarak akım yoğunluğundan yayılan elektromanye- tik alan vektörleri hızlı ve verimli bir şekilde elde edilmiştir. Bu tez kapsamında, literatürde ilk kez KFD kullanılarak bir akım kaynağından yayılan elektroman- yetik alanların vektör biçiminde hesaplanması gerçekleştirilmiştir. Bu tez kapsamında geliştirilen yöntem dipol, çapraz dipol ve açıklık antenler- den yayılan elektromanyetik alan vektörlerinin hesaplanmasında uygulanmış- tır. Uzak alanda analitik çözüm, GK ve HKFD hesaplama yöntemleri ile dipol antenden yayılan alanlar hesaplanmış ve birbirine yakın ışıma desenleri elde edilmiştir. Çapraz dipol ve açıklık antenlerden yayılan elektromanyetik alan vektörleri iki boyutlu düzlem üzerinde KFD hesaplama yöntemi ile elde edil- miştir. Geliştirilen yöntem kullanılarak, Fresnel bölgesinde akım kaynağından yayılan elektromanyetik alanların vektör bileşenleri hızlı ve verimli hesaplana- bilmektedir. Maxwell denklemlerinden başlayarak elektromanyetik ışıma, yayılma, saçılma olayları verilmiş, skalar kırınım integralleri Bölüm 2’de anlatılmıştır. Bölüm 3’te KFD’nin farklı iki tanımı ve aralarındaki ilişki verilmiş, Hermite-Gauss işlevleri ve özellikleri özetlenmiştir.Bölüm 4’te KFD’nin sayısal hesaplama yöntemleri anlatılmıştır. Bölüm 5’te iki boyutlu uzayda kırınım integralleri özetlenmiş, Fres- nel integrali ile KFD ilişkisi verilerek sayısal KFD hesaplama yöntemleri ile Fresnel integrallerinin hesaplanması anlatılmıştır. Bölüm 6’da ZUSF yöntemi anlatılmış, ZUSF ve KFD ile elde edilen kırınım desenlerinin karşılaştırılması verilmiştir. Bölüm 7’de, kırınım desenlerinin incelenmesi için tasarlanan kulla- nıcı arayüzü sunulmuştur. Bölüm 8’de vektör elektromanyetik alanların, Fresnel yaklaştırması altında KFD ile hesaplanması verilmiştir. Sonuçlar Bölüm 9’de tartışılmıştır. 8 2. MAXWELL DENKLEMLER İ Maxwell Denklemleri uzayın her noktasında ve her anda, elektrik ve manyetik alanlar ile kaynaklar arasındaki ilişkiyi verir. Bu bölümde, ilerideki bölümlere altyapı oluşturacak elektromanyetik teorisindeki bazı temel kavramlar sunul- muştur. Bu bölümdeki bilgilerin derlenmesinde [12,13,30] kaynaklarından fay- dalanılmıştır. Maxwell Denklemlerinin zaman uzamındaki diferansiyel biçimleri Eş. 2.1-2.4 ile verilir. ∇× ~E (~r, t) = −∂ ~B (~r, t) ∂t (2.1) ∇× ~H (~r, t) = ~J (~r, t) + ∂ ~D (~r, t) ∂t (2.2) ∇ · ~D (~r, t) = qev (~r, t) (2.3) ∇ · ~B (~r, t) = 0 (2.4) Yukarıdaki eşitliklerde, ~r = âxx + âyy + âzz konum vektörü, t zaman, ~E (~r, t) elektrik alan vektörü, ~H (~r, t) manyetik alan vektörü, ~D (~r, t) elektrik akı yoğun- luk vektörü, ~B (~r, t) manyetik akı yoğunluk vektörüdür. ~J (~r, t) akım yoğunluk vektörü, qev (~r, t) elektrik yük yoğunluğudur. Skalar çarpım işleci, ·, vektör çar- pım işleci, (×) ile gösterilir. (∇·), ıraksama; (∇×), dönel işlecini gösterir. Maxwell Denklemlerinin zaman uzamındaki integral biçimleri aşağıda verilmiş- tir. ∮ C ~E (~r, t) · ~dl = − ∂ ∂t ∫ S ~B (~r, t) · ~ds (2.5) ∮ C ~H (~r, t) · ~dl = ∫ S ~J (~r, t) · ~ds+ ∂ ∂t ∫ S ~D (~r, t) · ~ds (2.6) ∮ S ~D (~r, t) · ~ds = ∫ V qev (~r, t) dv = Qe (2.7) ∮ S ~B (~r, t) · ~ds = 0 (2.8) 9 Eş. 2.5-2.6’da S açık yüzey; C, S yüzeyini çevreleyen kapalı döngüdür. Eş. 2.5, kapalı C döngüsündeki elektrik alan çizgi integralinin, döngünün çevre- lediği S yüzeyinden geçen manyetik akının zamanla artış hızının negatifi ol- duğunu ifade eder ve Faraday elektromanyetik indüklenme yasası ile ilişkilidir. Eş. 2.6, manyetik alanın, kapalı C döngüsündeki çizgi integralinin, döngünün çevrelediği S yüzeyinden geçen toplam akıma eşit olduğunu ifade eder ve Am- per devre yasası olarak bilinir. Eş. 2.7-2.8’te S, V hacmini kapsayan kapalı bir yüzeydir. Eş. 2.7’te Qe toplam elektrik yükdür. Eş. 2.7’te, bir V hacmi içindeki toplam elektrik yük, elektrik akı yoğunluğunun hacmi kapsayan kapalı S yüze- yindeki integraline eşittir ve bu eşitlik Gauss yasası olarak bilinir. Eş. 2.8’te, bir V hacminin yüzeyindeki dik manyetik akı yoğunluğunun S kapalı yüzeyindeki integrali sıfırdır. Bu durum manyetik yüklerin fiziksel olarak bulunmamasından kaynaklanır. Fiziksel olarak gerçekte varolmayan eşdeğer akım yoğunluğu ve yüklerin ta- nımlanması açıklık antenler gibi bazı problemlerin incelenmesinde matema- tiksel kolaylık sağlamaktadır. Eşdeğer akım yoğunlukları açıklık anten yüzeyi üzerinde tanımlanabilir. Eşdeğer akım yoğunluklarının sonsuz bir uzayda ışıma yaptığı varsayılarak açıklık antenden yayılan elektromanyetik alanlar elde edi- lir. Maxwell Denklemlerinin eşdeğer yük ve akım yoğunluklarının tanımlandığı durumdaki biçimleri aşağıda verilmiştir. ∇× ~E (~r, t) = − ~M (~r, t)− ∂ ~B (~r, t) ∂t (2.9) ∇× ~H (~r, t) = ~J (~r, t) + ∂ ~D (~r, t) ∂t (2.10) ∇ · ~D (~r, t) = qev (~r, t) (2.11) ∇ · ~B (~r, t) = qmv (~r, t) (2.12) Eş. 2.9-2.12’da ~M (~r, t) manyetik akım yoğunluk vektörü, qmv manyetik yük yo- ğunluğu, Qm toplam manyetik yüküdür. Eşdeğer akım yoğunluk vektörü ve manyetik yük yoğunluğunu içeren Maxwell Denklemlerinin integral biçimleri 10 aşağıdaki gibi verilmiştir. ∮ C ~E (~r, t) · ~dl = − ∫ S ~M (~r, t) · ~ds− ∂ ∂t ∫ S ~B (~r, t) · ~ds (2.13) ∮ C ~H (~r, t) · ~dl = ∫ S ~J (~r, t) · ~ds+ ∂ ∂t ∫ S ~D (~r, t) · ~ds (2.14) ∫ S ~D (~r, t) · ~ds = ∫ V qev (~r, t) dv = Qe (2.15) ∫ S ~B (~r, t) · ~ds = ∫ V qmv (~r, t) dv = Qm (2.16) Bu tez çalışmasında fazör tanımı için zaman bağımlılığı ejωt biçiminde varsa- yılmıştır. Bu durumda Maxwell denklemlerinde zamana göre birinci dereceden türev jω ile çarpıma dönüşür ve diferansiyel denklemler daha kolay çözülebilir. Fazör gösteriminde zaman uzamı frekans uzamına dönüşmüştür ve alanların tek bir frekansta oldukları varsayılır. Fazör gösterimi sabit frekanstaki alanların genlik ve faz bilgisini içerir. Fazör gösteriminden zaman gösterimine dönüşüm elektrik alan vektörü için ~E (~r, t) = Re [ ~E (~r) ejωt ] biçimindedir. Maxwell denk- lemlerinin fazör biçimleri aşağıda verilmiştir. ∇× ~E (~r) = −jω ~B (~r) (2.17) ∇× ~H (~r) = ~J (~r) + jω ~D (~r) (2.18) ∇ · ~D (~r) = qev (~r) (2.19) ∇ · ~B (~r) = 0 (2.20) Maxwell denklemlerinin integral biçimlerinin fazör gösterimi aşağıda verilmiştir. ∮ C ~E (~r) · ~dl = −jω ∫ S ~B (~r, t) · ~ds (2.21) ∮ C ~H (~r) · ~dl = ∫ S ~J (~r) · ~ds+ jω ∫ S ~D (~r, t) · ~ds (2.22) 11 ∫ S ~D (~r) · ~ds = ∫ V qev (~r) dv = Qe (2.23) ∫ S ~B (~r) · ~ds = 0 (2.24) Maxwell denklemlerinin eşdeğer kaynakların tanımlandığı durumdaki fazör gös- terimleri aşağıda verilmiştir. ∇× ~E (~r) = − ~M (~r)− jω ~B (~r) (2.25) ∇× ~H (~r) = ~J (~r) + jω ~D (~r) (2.26) ∇ · ~D (~r) = qev (~r) (2.27) ∇ · ~B (~r) = 0 (2.28) Maxwell denklemlerinin eşdeğer kaynakların tanımlandığı durumda integral bi- çimlerinin fazör gösterimi aşağıda verilmiştir. ∮ C ~E (~r) · ~dl = − ∫ S ~M (~r) · ~ds− jω ∫ S ~B (~r) · ~ds (2.29) ∮ C ~H (~r) · ~dl = ∫ S ~J (~r) · ~ds+ jω ∫ S ~D (~r) · ~ds (2.30) ∫ S ~D (~r) · ~ds = ∫ V qev (~r) dv = Qe (2.31) ∫ S ~B (~r) · ~ds = ∫ V qmv (~r) dv = Qm (2.32) Malzeme ortamında bulunan yükler uygulanan elektromanyetik alan ile etkile- şime girerek ortam içindeki alanın boş uzaydakine göre farklılaşmasını sağlar. Bu durumda uygulanan alanlar ile ortam içindeki alanlar arasındaki ilişkiler be- lirlenmelidir. Kayıpsız, doğrusal, eşyönlü, birbiçimli bir ortam için bu ilişkiler aşağıda verilmiştir. ~D = ǫ ~E (2.33) 12 ~B = µ ~H (2.34) Yukarıdaki eşitliklerde ǫ elektrik geçirgenlik, µ manyetik geçirgenliktir. Boş uzay için ǫ = ǫ0 ≈ 1 36π × 10−9 F/m, µ = µ0 ≈ 4π10−7 H/m değerlerini alır. Maxwell denklemlerinde ~J (~r, t) ile gösterilen akım yoğunluğu, kaynak akım yoğunluğunun yanında iletim ve yerdeğiştirme akım yoğunluklarından oluşur. İletim akım yoğunluğu ~Jc = σ ~E biçiminde, yerdeğiştirme akımı ise fazör göste- riminde ~Jd = jωǫ ~E biçimindedir. Burada σ maddenin iletkenliğidir. İyi iletkenler için σ >> jωǫ, iyi dielektrikler için ise σ << jωǫ ilişkisi geçerlidir. İki farklı ortam arasındaki arayüzde elektromanyetik alanlar sınır koşullarını sağlamalıdır. Sınır koşullarının eşdeğer kaynakların tanımlandığı durumdaki genel biçimleri aşağıda verilmiştir. n̂× ( ~E1 − ~E2 ) = − ~Ms (2.35) n̂× ( ~H2 − ~H1 ) = ~Js (2.36) n̂ · ( ~D2 − ~D1 ) = qes (2.37) n̂× ( ~B2 − ~B1 ) = qms (2.38) Yukarıdaki eşitliklerde, n̂, yönü birinci ortamdan ikinci ortama doğru olan birim vektör; ~E1, ~H1, ~D1, ~B1 birinci ortamdaki vektör alanları; ~E2, ~H2, ~D2, ~B2 ikinci ortamdaki vektör alanları; ~Ms, yüzey manyetik akım yoğunluğu; ~Js, yüzey elek- trik akım yoğunluğu; qes, yüzey elektrik yük yoğunluğu; qms, yüzey manyetik yük yoğunluğudur. Elektromanyetikte karşılaşılan problemler genel olarak ışıma, yayılma ve sa- çılma olarak sınıflandırılabilir. Işıma, akım ve yük kaynaklarından elektroman- yetik dalganın açığa çıkmasıdır. Yayılma, elektromanyetik dalganın uzayda be- lirli bir yönde ilerlemesidir. Saçılma, bir cisimle karşılaşan elektromanyetik dal- ganın cisim üzerinde indüklediği akım yoğunluğunun saçılan elektromanyetik 13 dalgayı ışıması olayıdır. Işıma problemlerinde bilinen akım ve yük kaynaklarından yayılan elektroman- yetik alanlar bulunur. Alanlar, yük ve akım kaynaklarından doğrudan bulunabi- leceği gibi, diğer bir yöntem de önce skalar ve vektör potansiyellerinin bulunup daha sonra elektromanyetik alanların çözülmesidir. Bu durumda önce kaynak koordinatlarına göre integral hesaplanır, daha sonra da gözlem koordinatlarına göre türevler hesaplanarak alanlar bulunur. Eşdeğer manyetik yük yoğunluğu- nun varsayılmadığı durumda manyetik akı yoğunluk vektörü ~B (~r, t) = ∇× ~A (~r, t) (2.39) biçiminde ifade edilebilir. ~A (~r, t) manyetik vektör potansiyelidir. Zaman uza- mında manyetik vektör potansiyel ve skalar elektrik potansiyel cinsinden dalga denklemi ∇2 ~A (~r, t)− 1 c2 ∂ ∂t ~A (~r, t) = −µ ~J (~r′, t) +∇ ( ∇ · ~A (~r, t) + µǫ ∂ ∂t φe (~r, t) ) (2.40) biçimindedir. Burada c = 1/ √ µǫ dalganın ortamdaki faz hızı, φe (~r, t), skalar elektrik potansiyeldir. Lorentz koşulu ile ∇ · ~A (~r, t) = −µǫ ∂ ∂t φe (~r, t) (2.41) seçilirse Eş. 2.40’ın sağ tarafındaki son terim sıfır olur ve dalga denklemi ∇2 ~A (~r, t)− 1 c2 ∂ ∂t ~A (~r, t) = −µ ~J (~r′, t) (2.42) biçimine sadeleşir. Zaman uzamında vektör potansiyelinin çözümü ~A (~r, t) = µ 4π ∫ V ~J ( ~r′, t− R c ) R dv′ (2.43) 14 olur. R = ‖~r − ~r′‖, kaynak noktası ~r′ ile gözlem noktası ~r arasındaki uzaklıktır. Dalga denkleminin fazör biçimindeki gösterimi ∇2 ~A (~r) + β2 ~A (~r) = −µ ~J (~r′) (2.44) biçimindedir. Yukarıdaki eşitlikte β = ω √ ǫµ = ω/c dalga sayısıdır. Vektör po- tansiyelinin fazör gösterimindeki çözümü ~A (~r) = µ 4π ∫ V ~J (~r′) e−jβR R dv′ (2.45) = µ ∫ V ~J (~r′)G (~r, ~r′) dv′ (2.46) olur. Eş. 2.46’de, G (~r, ~r′), üç boyutlu boş uzay Green fonksiyonu, G (~r, ~r′) = e−jβR 4πR (2.47) olarak tanımlıdır. Elektrik ve manyetik alanlar fazör uzamında manyetik vektör potansiyeli cinsinden, ~EA (~r) = −jω ~A (~r) + ∇ ( ∇ · ~A (~r) ) jωµǫ (2.48) ~HA (~r) = 1 µ ∇× ~A (r) (2.49) biçiminde ifade edilir. Elektromanyetik alanlar, Eş. 2.46 ve 2.47 ifadelerinin Eş. 2.48 ve 2.49’da yerine konulması ile, ~EA (~r) = −jωµ ∫ V ¯̄G (~r, ~r′) · ~J (~r′) dv′ (2.50) ~HA (~r) = ∫ V ∇G (~r, ~r′)× ~J (~r′) dv′ (2.51) 15 verilir. Eş. 2.50 ifadesinde, ¯̄G (~r, ~r′) = [ ¯̄I + ∇∇ β2 ] G (~r, ~r′) (2.52) dyadik Green fonksiyonudur. ¯̄I birim dyad işlecidir ve uygulandığı vektörün ken- disini verir. Eş. 2.50-2.51 ifadelerindeki gözlem koordinatlarına göre türevler alınırsa, elek- tromanyetik alanlar elektrik akım yoğunluğu cinsinden, ~EA (~r) = −jη 4πβ ∫ V {−1 − jβR + β2R2 R5 ~J (~r) + 3 + j3βR− β2R2 R5 ~R ( ~R · ~J (~r) ) } e−jβRdv′ (2.53) ~HA (~r) = 1 4π ∫ V ( ~J (~r)× ~R ) (1 + jβR) R3 e−jβRdv′ (2.54) biçiminde elde edilir. Eş. 2.53 ifadesinde, η = √ µ/ǫ ortamın öz empedansıdır. Eşdeğer manyetik akım yoğunluğu ~M (~r, t)’den yayılan elektrik vektör potan- siyelinin zaman ve fazör gösterimleri, sırasıyla, Eş. 2.55 ve 2.56 ile verilen denklemleri sağlar. ∇2 ~F (~r, t)− 1 c2 ∂ ∂t ~F (~r, t) = −ǫ ~M (~r′, t) (2.55) ∇2 ~F (~r) + β2 ~F (~r) = −ǫ ~M (~r′) (2.56) Elektrik vektör potansiyelinin zaman ve fazör gösterimlerinin çözümleri, sıra- sıyla, ~F (~r, t) = ǫ 4π ∫ V ~M ( ~r′, t− R c ) dv′ (2.57) 16 ~F (~r) = ǫ ∫ V ~M (~r′)G (~r, ~r′) dv′ (2.58) biçiminde olur. Elektrik vektör potansiyelinden kaynaklanan elektrik ve manye- tik alanların fazör biçimleri, ~EF (~r) = −1 ǫ ∇× ~F (r) (2.59) ~HF (~r) = −jω ~F (~r) + ∇ ( ∇ · ~F (~r) ) jωµǫ (2.60) olarak verilir. Elektrik vektör potansiyelinden kaynaklanan elektromanyetik alanlar, Eş. 2.59 ve 2.60 ifadelerinde, Eş. 2.58’in yerine konulup türevlerin alınması ile, eşdeğer manyetik akım yoğunluğu cinsinden ~EF (~r) = −1 4π ∫ V ( ~M (~r)× ~R ) (1 + jβR) R3 e−jβRdv′ (2.61) ~HF (~r) = −j 4πηβ ∫ V {−1 − jβR + β2R2 R5 ~M (~r) + 3 + j3βR− β2R2 R5 ~R ( ~R · ~M (~r) ) } e−jβRdv′ (2.62) biçiminde verilir. Kaynaklardan yayılan elektrik ve manyetik alanlar, elektrik akım yoğunluğu ve manyetik akım yoğunluğundan yayılan alanların toplamıdır. ~E (~r) = ~EA (~r) + ~EF (~r) (2.63) ~H (~r) = ~HA (~r) + ~HF (~r) (2.64) Elektromanyetik yayılma problemlerinde, elektromanyetik dalganın uzayda iler- 17 lemesi incelenir. Bir kaynaktan ışıyan elektromanyetik dalga birbiçimli bir or- tamda kaynaktan dışa doğru yayılır. Kaynağın dışında kalan bölgelerde yük ve akım yoğunlukları sıfır olur. Eş. 2.17-2.20 ile verilen fazör biçimindeki Maxwell Denklemleri, ∇× ~E (~r) = −jω ~B (~r) (2.65) ∇× ~H (~r) = jω ~D (~r) (2.66) ∇ · ~D (~r) = 0 (2.67) ∇ · ~B (~r) = 0 (2.68) halini alır. Eş. 2.44 ile verilen dalga denklemi kaynağın bulunmadığı bölgelerde, ∇2 ~A (~r) + β2 ~A (~r) = 0 (2.69) şeklinde yazılabilir. Eş. 2.69 ile verilen dalga denkleminin çözümlerinden biri düzlem dalga, ~A (~r) = ~A0e −j~β·~r (2.70) biçimindedir. Eş. 2.70’da, ~β = âxβx + âyβy + âzβz, yayılma vektörü; ~r, konum vektörüdür. Düzlem dalga yayılma vektörü yönünde ilerler. Sonsuz uzaklıkta bulunan bir kaynaktan ışıyan elektromanyetik dalga düzlem dalga biçiminde yayılır. Elektromanyetik dalga kaynaktan uzaklaştıkça yayılma yönüne dik olan düzlem üzerinde faz (~β · ~r) sabit olur. Saçılma problemlerinde gelen elektromanyetik dalganın bir cismin hacmi veya yüzeyinde indüklediği eşdeğer akım yoğunluğu bulunur. İndüklenen akım yo- ğunluğu bulunduktan sonra saçılan alanlar ışıma integralleri hesaplanarak elde edilebilir. Mükemmel elektrik iletken bir cismin yüzeyinde, Eş. 2.35 ile verilen sınır koşulu uygulandığında, gelen elektrik alan, ~Ei, ile saçılan elektrik alan, 18 ~Es, toplamı sıfır olur. ~Ei + ~Es = 0 (2.71) Gelen elektromanyetik alan, iletken cismin yüzeyinde bir elektrik akım yoğun- luğu, ~Js, indükler. İndüklenen elektrik akım saçılan alanların kaynağını oluştu- rur. Saçılan elektrik alan bu akım yoğunluğu cinsinden ifade edilip cismin yü- zeyinde gelen elektrik alanın negatifi ile eşitlenerek elektrik alan integral denk- lemi, 1 ωǫ  β2 ∫ S ~Js (~r ′)G (~rs, ~r ′) ds′ +∇ ∫ S ∇′ · ~Js (~r′)G (~rs, ~r ′) ds′   t = ~Ei t (~r = ~rs) (2.72) elde edilir. Eş. 2.72 ile verilen integral denkleminde, ∇ gözlem koordinatlarına göre türevleri, ∇′ kaynak koordinatlarına göre türevleri içerir, ~rs cismin yüzeyin- deki herhangi bir noktayı işaret eden vektördür. Manyetik alan integral denklemi ise mükemmel iletken cismin yüzeyinde, Eş. 2.36 ile verilen sınır koşulunun uygulanması ile elde edilir. Gelen ve saçılan manyetik alanın cismin yüzeyinde toplamları yüzey akım yoğunluğuna eşit olur. ~Js (~r ′) = n̂× [ ~H i (~r′) + ~Hs (~r′) ] (2.73) Saçılan manyetik alan, ~Hs (~r), cismin S yüzeyi üzerinde, Eş. 2.49 ve Eş. 2.46 kullanılarak, Eş. 2.73 ifadesinde yerine konulursa, manyetik alan integral denk- lemi, ~Js (~r′)− n̂× ∫ S ~Js (~r′)×∇′G (~r, ~r′) ds′ = n̂× ~H i (~r′) (2.74) şeklinde elde edilir. Bölüm 5’te KFD’nin kırınım olayı ile ilişkisi verilmiş, KFD ile kırınım desenleri- 19 nin hesaplanması incelenmiştir. Bu yüzden kırınım teorisinin temel formülleri burada özetlenecektir. Elektromanyetik dalganın, bir açıklıktan veya bir engelin kenarından geçerken yayılma doğrultsunda farklı yönlere doğru sapmalar mey- dana gelmesi kırınım olarak adlandırılır. Açıklık boyu, dalgaboyuna göre büyük olduğu zaman kırınım etkisi azalırken, açıklığın boyu dalgaboyuna göre küçük olduğu zaman kırınımın etkisi artar. Bu durum dalga cephesi üzerindeki her noktada küresel bir kaynağın olduğu varsayımı ile açıklanır ve Huygen ilkesi olarak bilinir. Optik alanında dalgaboyu çok küçük olduğu için elektromanyetik dalganın vektör özelliği ihmal edilerek skalar alan yaklaştırması yapılabilir. Skalar kırınım teorisinde, bir yüzeyden saçılan alan, yüzey üzerindeki alan ve alanın yüzey normaline göre türevinden bulunabilir. Eş. 2.75 ile verilen Helmholtz- Kirchhoff formülü, U (~r) = ∫ S [ U0 (~r ′) ∂G (~r, ~r′) ∂n′ −G (~r, ~r′) ∂U0 (~r ′) ∂n′ ] dS ′ (2.75) ~r gözlem noktasındaki U (~r) alanının, S yüzeyi üzerinde bulunan ~r′ noktasın- daki U0 (~r ′) alanının ve alanın n̂ yüzey normali yönündeki ∂U0 (~r ′) /∂n türe- vinden bulunabileceğini ifade eder. Eş. 2.75 ifadesinde, G (~r, ~r′), Eş. 2.47 ile verilen boş uzay Green fonksiyonudur. Eş. 2.75’de, S yüzeyi üzerinde değeri sıfır olan bir Green fonksiyonu seçilirse, saçılan alanın bulunması için, sadece yüzey üzerindeki alan yeterli olur. xy düzleminde bir açıklık için, Eş. 2.75’deki Green fonksiyonu, G1 (~r, ~r ′) = e−jβr1 4πr1 − e−jβr2 4πr2 (2.76) olarak seçilebilir. Eş. 2.76’de r1 = ‖~r − ~r′‖, r2 = ‖~r − ~r′′‖ olarak tanımlıdır. ~r′′ noktası, ~r′ noktasının açıklığa göre görüntüsüdür ve her iki nokta xy düzlemine göre bakışımlı olur. Bu durumda r1 ve r2 uzaklıkları S açıklık yüzeyi üzerinde eşit olacağı için Eş. 2.76 ile verilen Green fonksiyonu açıklık üzerinde sıfır olur. Eş. 2.75’de, Eş. 2.76 yerine konulup, n̂ = âz için türevler alındığında saçılan 20 alan yüzey üzerindeki alan cinsinden, U (~r) = ∫ S U0 (~r ′) e−jβR 2πR ( jβ + 1 R ) z R ds′ (2.77) biçiminde ifade edilir. Eş. 2.77, Rayleigh-Sommerfeld (RS) integrali olarak ad- landırılır. RS integrali çözülerek açıklığın z > 0 bölgesindeki alanlar elde edile- bilir. Burada z doğrultusu açıklığa dik olan yayılma yönündedir. RS integralinin analitik olarak çözülmesi zordur, bu yüzden genlik ve fazda yaklaştırmalar kullanılarak integral daha sade bir biçimde yazılabilir. xy düzle- minde bir açıklık için, açıklıktan uzak mesafelerde genlikte βR >> 1, z/R ≈ 1 ve 1/R ≈ 1/r, fazda R = [ z2 + (x− x′)2 + (y − y′)2 ]1/2 ≈ z + (x− x′)2 + (y − y′)2 2z (2.78) yaklaştırmaları Eş. 2.77’de uygulanırsa, U (x, y, z) = jβe−jβz 2πz ∫ S U0 (x ′, y′) exp [ −jβ (x − x′)2 + (y − y′)2 2z ] dx′dy′ (2.79) integrali elde edilir. Eş. 2.79 Fresnel İntegrali (FRİ) olarak adlandırılır. Açıklıktan uzaklaştıkça Eş. 2.78 ifadesi, R =≈ z + x2 + y2 2z − xx′ + yy′ z + x′2 + y′2 2z ≈ z + x2 + y2 2z − xx′ + yy′ z (2.80) biçiminde sadeleştirilebilir. Eş. 2.77 ile verilen RSİ’nin fazında Eş. 2.80 ile veri- len yaklaştırma uygulandığında, U (x, y, z) = jβe−jβr0 2πz ∫ S U0 (x ′, y′) exp [ jβ ( xx′ z + yy′ z )] dx′dy′ (2.81) 21 Fraunhofer İntegrali (FNİ) elde edilir. Eş. 2.81’de r0 = z + (x2 + y2)/2z olarak tanımlıdır. Bu bölümde Maxwell denklemlerinin zaman ve frekans uzamlarındaki göste- rimleri ile bu gösterimlerin diferansiyel ve integral biçimleri verilmiştir. Elek- tromanyetik teorisinde ışıma, yayılma ve saçılım olayları özetlenmiştir. Üç bo- yutlu uzayda RSİ, FRİ ve FNİ tanımları yapılmıştır. RSİ, FRİ ve FNİ’nin iki bo- yutlu uzaydaki biçimlerinin çıkarımı Bölüm 5’te verilecektir. Sonraki bölümde KFD’nin tanımı ve özellikleri verilmiştir. 22 3. KESİRLİ FOURIER DÖNÜŞÜMÜ Fourier Dönüşümü (FD) birçok doğa ve fiziksel olayın açıklanmasında ve te- orilerin geliştirilmesinde kullanılmıştır. FD, sinyal işleme, iletişim sistemleri, to- mografi, spektrometre gibi geniş uygulama alanları bulmuştur. FD, süreksiz bir sinyali, farklı frekanslardaki sürekli karmaşık üstel işlevlerle açılımı olarak ifade eder ve sinyalin frekans içeriğini verir. Bir sinyalin FD’si, g1(u) = ∞ ∫ −∞ g(u′)e−j2πuu′ du′ (3.1) olarak tanımlıdır. Ters FD, g(u′) = ∞ ∫ −∞ g1(u)e −j2πuu′ du (3.2) biçimindedir. Bu bölümde, FD’nin genel bir hali olan Kesirli Fourier Dönüşümü (KFD) anlatılacaktır. KFD, sinyal işleme, iletişim sistemleri, hüzme biçimlendirme, diferansiyel denk- lemlerin çözümü gibi alanlarda kullanılmaktadır. KFD, FD’nin genel; Doğrusal Kanonik Dönüşümün (DKD) özel bir halidir. KFD, a kesir değeri bir olduğu za- man sinyalin FD’sine; sıfır olduğu zaman sinyalin kendisine eşit olmaktadır. KFD, FD’nin kullanıldığı birçok alanda uygulanarak başarımın iyileştirilmesine olanak verebilmektedir. Bu yüzden FD gibi KFD’nin hesaplanmasında kullanı- labilecek yöntemler araştırılmaktadır. Bu bölümde KFD’nin tanımı verilecek ve KFD’nin özişlevleri olan Hermite-Gauss işlevleri anlatılacaktır. Bu bölümdeki bilgilerin derlenmesinde [1] kaynağından yararlanılmıştır. Sürekli g(u′) işlevinin a kesir değerli sürekli KFD’si, ga(u) = Fa{g(u′)}(u) = ∞ ∫ −∞ Ka(u, u ′)g(u′)du′ (3.3) 23 olarak verilir [1, 31]. Eş. 3.3’de, Fa, a kesir değerli KFD işleci; Ka(u, u ′), a ke- sir değerli KFD işlecinin çekirdek işlevidir. Fa KFD işleci için, Ters KFD işleci, F−a olur. Literatürde iki farklı çekirdek işlevi tanımı kullanılmaktadır. Bunlardan birincisi Eş. 3.4’de verilmiştir [1]. Ka(u, u ′) ≡              √ 1− j cotα exp{jπ(u2 cotα− 2uu′ cscα+ u′ 2 cotα)}, a 6= 2m δ(u− u′), a = 4m δ(u+ u′), a = 4m± 2 (3.4) Yukarıdaki eşitlikte α ≡ aπ 2 sinyalin zaman-frekans gösterimindeki dönme açı- sına karşılık gelmektedir; m tamsayıdır. Literatürde sıkça kullanılan ikinci bir KFD çekirdek işlevi de Eş. 3.5’te verilmiştir [22]. K2,a(u, u ′) ≡              √ 1− j cotα 2π exp{j ( u2 + u′2 2 ) cotα− juu′ cscα}, a 6= 2m δ(u− u′), a = 4m δ(u+ u′), a = 4m± 2 (3.5) Kesir değeri a = 1 için, birinci KFD tanımı, zaman uzamını frekans uzamına eşlerken, ikinci KFD tanımı, zaman uzamını açısal frekans uzamına eşlemek- tedir. Ka(u, u ′) ve K2,a(u, u ′), Eş. 3.3’deki Ka(u, u ′) yerine konulduğunda elde edilen iki farklı a kesir değerli KFD işleçleri, sırasıyla, Fa ve Fa 2 ile gösterilecek- tir. Şekil 3.1’de kare darbe sinyalinin, g(u′) = 1, −2 ≤ u′ ≤ 2, Fa 2 ile elde edilen sürekli KFD’leri verilmektedir. Şekil 3.1’de KFD’nin gerçel kısmı düz çizgi ile, sanal ksımı ise kesikli çizgi ile gösterilmektedir. Şekil 3.1 incelendiğinde, a ke- sir değerinin 0’a yakın değerlerinde dönüşümün kare darbe sinyaline, 1’e yakın olduğu durumda ise kare darbe sinyalinin FD’sine benzediği görülür. Şekil 3.1a ve b’de dönüşüm kare darbe sinyaline; Şekil 3.1d’de dönüşüm sin (·) işlevine; Şekil 3.1c’de ise dönüşüm kare darbe sinyali ile sin (·) işlevi arasında bir şekle 24 sahiptir. −4 −2 0 2 4 −0.5 0 0.5 1 1.5 u g a (u ) −4 −2 0 2 4 −0.5 0 0.5 1 1.5 u g a (u ) −4 −2 0 2 4 −0.5 0 0.5 1 1.5 u g a (u ) −4 −2 0 2 4 −0.5 0 0.5 1 1.5 u g a (u ) b)a) c) d) Şekil 3.1. Kare darbe sinyalinin sürekli KFD örnekleri; a) α = 0.05 rad, a = 0.03 , b) α = 0.2 rad, a = 0.13, c) α = 0.4 rad, a = 0.26, d) α = π/4 rad, a = 0.5. Düz çizgi gerçel kısım, kesikli çizgi sanal kısımdır. KFD işleci doğrusal ve birimcil bir dönüşümdür. Birimcil olduğu için, KFD bir sinyalin farklı gösterimleri arasındaki dönüşüm işleci olarak düşünülebilir ve sinyallerin iç çarpım ve norm değerleri KFD ile değişmemektedir. Art arda uy- gulanan Fa ve F b KFD işleçlerinin dereceleri toplanabilir ve tek bir FaF b = Fa+b KFD işleci olarak yazılabilir. Klasik Fourier Dönüşümünde (FD) sinyalin içerdiği bilgi zaman uzamından fre- kans uzamına dönüştürülür. Bu durum zamanda gözlenebilecek bir çok deği- şikliğin izlenmesini engeller. Kısa süreli Fourier dönüşümü (KSFD) veya Wig- ner Dağılımı (WD) gibi zaman-frekans gösterimleri sinyalin farklı frekanslar- daki bileşenlerinin zamanla değişimlerinin incelenmesine olanak verir. KFD’nin önemli özelliklerinden bir tanesi Wigner Dağılımı ile olan ilişkisidir. x(t) sinyali- 25 nin WD’si aşağıda verilmiştir. Wx(t, f) = ∞ ∫ −∞ x ( t+ τ 2 ) x∗ ( t− τ 2 ) exp (−j2πfτ) dτ (3.6) WD, sinyalin enerjisinin zaman-frekans düzleminde dağılımı olarak yorumlana- bilir. KFD bir sinyale uygulandığında sinyalin zaman-frekans düzleminin saat yönünde aπ/2 açısı kadar dönmesine neden olur. x(t) sinyalinin KFD’sinin WD’si, x(t) sinyalinin KFD’si cinsinden, Wxa (t, f) =Wx(t cosα− f sinα, t sinα + f cosα) (3.7) biçiminde yazılabilir. Wxa (t, f), Wx(t, f)’nin saat yönünde a açısı kadar dönmüş hali olur. KFD’nin bu özelliği, frekans uzamında süzülmesi mümkün olmayan gürültünün kesirli Fourier uzamında süzülmesine imkan tanır. ZF gösterimi- nin bir örneği Şekil 3.2’de verilmiştir [1]. Sinyalin zaman uzamındaki göste- rimi yatay eksene, frekans uzamındaki gösterimi dikey eksene, a kesirli Fourier uzamındaki gösterimi ua eksenine karşılık gelir. ua ekseni KFD derecesi ile değiştiği için, KFD, ZF gösterimindeki zaman ve frekans eksenlerini genelleş- tirmiş olur. Şekil 3.2’de, zaman veya frekans uzamlarında süzülmesi mümkün olmayan gürültü sinyali, tepkisi kesikli çizgi ile gösterilen bir süzgeç ile kesirli uzamda süzülebilir. KFD, zaman ve frekans uzamlarını genelleştirir. KFD, α = aπ/2 açısı ile alındı- ğındığı zaman sinyalin a kesir değerli Fourier uzamındaki gösterimi elde edilir. Bu gösterim, a = 0 için sinyalin zaman uzamındaki gösterimine, a = 1 için frekans uzamındaki gösterime karşılık gelir. KFD’nin özişlevleri Hermite-Gauss (HG) işlevleridir. Değişintisi σ olan, n. dere- ceden HG işlevi Eş. 3.8 ile verilmiştir. ψσ, n(t) = 1 (2nn! √ πσ)1/2 hn ( t σ ) exp (−t2 2σ2 ) . (3.8) 26 Şekil 3.2. a kesirli Fourier uzamı ve gürültü süzme [1]. HG işlevi birim enerjili olacak şekilde normalize edilmiştir; hn(.), n. dereceden Hermite polinomudur. Hermite polinomları, hn (u) = (−1)n eu 2 dn dun e−u2 (3.9) kullanılarak üretilebilir. İlk dört Hermite polinomu, h0 (u) = 1 (3.10) h1 (u) = 2u (3.11) h2 (u) = 4u2 − 2 (3.12) h3 (u) = 8u3 − 12u (3.13) olarak yazılabilir. HG işlevi Hermite polinomu ile Gauss işlevinin çarpımı biçi- mindedir. Şekil 3.3’de birim değişintili HG işlevleri n = 0’dan n = 5’e kadar verilmiştir. Grafikler incelendiğinde n derecesi arttıkça HG işlevinin yatay ek- seni kestiği nokta sayısının ve salınımın artmakta olduğu görülür. HG işlevleri 27 −5 0 5 −0.5 0 0.5 t ψ 0 (t ) −5 0 5 −0.5 0 0.5 t ψ 1 (t ) −5 0 5 −0.5 0 0.5 t ψ 2 (t ) −5 0 5 −0.5 0 0.5 t ψ 3 (t ) −5 0 5 −0.5 0 0.5 t ψ 4 (t ) −5 0 5 −0.5 0 0.5 t ψ 5 (t ) a) b) c) d) e) f) Şekil 3.3. Birim değişintili n. dereceden HG işlevleri; a) n = 0, b) n = 1, c) n = 2, d) n = 3, e) n = 4, f) n = 5. sonlu enerjili sinyaller için taban kümesi oluşturur ve birbirlerine birimdik işlev- lerdir: ∞ ∫ −∞ ψσ, n(t)ψσ,m(t)dt = δ(n−m). (3.14) Enerjisi sonlu bir sinyal HG işlevleri ile açılabilir. Zaman-frekans gösteriminde merkezi orijinde bulunan ve enerjisinin büyük bir bölümü sonlu bir yarıçap içeri- sinde kalan sinyallerin HG açılımı, az sayıda terim ile, açılım hatasının enküçük olduğu gösterimler verebilmektedir [3]. HG işlevleri, Eş. 3.15 ile verilen özyineleme denklemi ve Eş. 3.16 ve 3.17 ile 28 verilen başlangıç değerleri kullanılarak hesaplanabilir. ψσ, n(u) = √ 2 n u σ ψσ, n−1(u)− √ n− 1 n ψσ, n−2(u) (3.15) ψσ, 0(u) = 1 ( √ πσ)1/2 exp (−u2 2σ2 ) (3.16) ψσ, 1(u) = √ 2 ( √ πσ)1/2 u σ exp (−u2 2σ2 ) (3.17) HG işlevleri, Eş. 3.15-3.17 yerine, Hermite çokterimlisinin ve Gauss işlevinin ayrı ayrı hesaplanıp çarpılması ile de bulunabilir, ancak bu yöntemle n işlev derecesinin büyük olduğu durumlar için sayısal hata artmaktadır. Eş. 3.4 ile verilen Fa KFD işlecinin özişlevi, değişintisi σ2 = 1/2π olan, ψn(u) HG işlevidir. Eş. 3.5 ile verilen Fa 2 KFD işlecinin özişlevi birim değişintili, ψ1,n(u), HG işlevidir. Her iki KFD tanımı için, e−janπ/2, n. dereceden HG özişlevin özde- ğeridir. Fa {ψn(u ′)} (u) = exp ( −j π 2 an ) ψn(u) (3.18) Fa 2 {ψ1,n(u ′)} (u) = exp ( −j π 2 an ) ψ1,n(u) (3.19) KFD çekirdek işlevi, HG işlevleri cinsinden, Ka (u, u ′) = ∞ ∑ n=0 e−jnαψn(u)ψn(u ′) (3.20) biçiminde açılabilir. KFD’nin Eş. 3.4 ile verilen tanımındaki giriş-çıkış ilişkisi, Eş. 3.5 ile verilen KFD tanımı cinsinden tanımlanabilir. Fa işlecinin özişlevlerinin değişintisi (1/2π), Fa 2 işlecinin değişintisinden daha azdır. Bu nedenle, Fa işleci, Fa 2 işleci cinsinden yazılmak istendiğinde, giriş sinyaline yatay eksende genişletme işleci uygulan- malı, elde edilen sinyale Fa 2 KFD işleci uygulandıktan sonra, çıkış sinyaline yatay eksende daraltma işleci uygulanmalıdır. Böylelikle iki tanım arasındaki 29 ilişki ga(u) = Fa 2 { g ( u′√ 2π )} ( u √ 2π ) (3.21) ga(u) = Fa { g ( u′ √ 2π )} ( u√ 2π ) (3.22) şeklinde verilebilir. Bir sonraki bölümde literatürde incelenen sayısal KFD hesaplama yöntemleri anlatılacaktır. Farklı KFD tanımlarına dayanan yöntemlerin karşılaştırılmasında bu bölümde verilen KFD tanımları arasındaki ilişkilerden yararlanılacaktır. 30 4. KESİRLİ FOURIER DÖNÜŞÜMÜNÜ AYRIK HESAPLAMA YÖNTEMLERİ Sürekli bir sinyalin Ayrık Fourier Dönüşümü (AFD) sinyalin sürekli Fourier Dö- nüşümü’nün (FD) örneklerini vermektedir. Sinyalin eşit aralıklarla elde edilmiş örneklerini içeren bir vektör, AFD matrisi ile çarpıldığında, elde edilen vek- tör sinyalin FD’sinin örneklerini içerir. Hızlı Fourier Dönüşümü (HFD) sinyalin FD’sinin örneklerinin verimli ve hızlı bir şekilde elde edilmesini sağlar. Bu bölümde KFD’nin ayrık hesaplanmasında kullanılan yöntemler anlatılacak- tır. KFD’yi ayrık hesaplama yöntemleri iki sınıfa ayrılabilir. Birinci sınıftaki yön- temler sürekli KFD işlecini ‘chirp’ çarpımı, chirp evrişimi gibi alt işleçlere ay- rıştırmakta ve evrişim işlecinin uygulanmasında HFD’yi kullanmaktadır. Bu sa- yede KFD örnekleri hızlı bir şekilde elde edilebilmektedir. Birinci sınıftaki yön- temler bu çalışmada Hızlı Kesirli Fourier Dönüşümü (HKFD) olarak adlandırıla- cak ve Bölüm 4.1’de anlatılacaktır. İkinci sınıftaki yöntemlerde ise vektör AFD matrisinin kesirli kuvveti ile çarpılmaktadır. AFD matrisinin kesirli kuvvetlerinin hesaplanabilmesi için öncelikle AFD matrisinin özvektör ve özdeğerlerinin he- saplanması gerekmektedir. İkinci sınıftaki yöntemler bu özvektörlerin belirlen- mesinde farklılık göstermektedirler. İkinci sınıftaki yöntemler Ayrık KFD olarak adlandırılacak ve Bölüm 4.2’de anlatılacaktır. AKFD ve HKFD, sırasıyla, AFD ve HFD işleçlerinin genel hali olarak düşünülebilir. 4.1 Hızlı Kesirli Fourier Dönüşümü (HKFD) Bu bölümde [20]’de önerilen sayısal KFD hesaplama yöntemi anlatılacaktır. Hızlı Kesirli Fourier Dönüşü (HKFD), KFD işlecinin, chirp ile çarpım veya ev- rişim gibi alt işleçlere ayrışımına dayanmaktadır. Chirp ile evrişim HFD kul- lanılarak yapılmakta ve toplam hesaplama karmaşıklığı HFD’nin hesaplama karmaşıklığı mertebesinde ( O(N logN) ) olmaktadır. HKFD yönteminde, sinyalin zaman-frekans (ZF) gösteriminde destek bölgesi- nin belirli bir yarıçap içerisinde olduğu varsayılmaktadır. Eğer sinyal bu özelliği 31 sağlamıyor ise önce koordinat dönüşümü yapılmalıdır. Sinyalin zaman uzamın- daki genişliği ∆t, frekans uzamındaki genişliği ∆f ile gösterilecek olursa, s = √ ∆t/∆f için u′ = t/s ve u = sf değişken değişiklikleri yapıldığında yeni koor- dinat sisteminde ∆t ve ∆f ’ye karşı gelen yeni genişlikler ∆u = ∆u′ = √ ∆t∆f birbirine eşit olmaktadır. Şekil 4.1’de bir sinyalin koordinat dönüşümünden ön- ceki ve sonraki ZF gösterimleri verilmiştir. Şekil 4.1a’da verilen ZF gösterimi koordinat dönüşümünden sonra Şekil 4.1b’deki hali almıştır. HKFD yönteminde önceden sinyalin ZF gösterimine bu koordinat dönüşümünün uygulandığı, ve koordinat dönüşümünün uygulandığı sinyalin enerjisinin büyük bir kısmının ZF gösteriminde belirli bir yarıçap içerisinde bulunduğu varsayılmaktadır. Nyquist örnekleme frekansında N = ∆u 1/∆u = (∆u)2 örnek gerekmektedir. f t ∆ f ∆ t u=sf u'=t/s a) u u' ∆ u ∆ u b) Şekil 4.1. Zaman-frekans koordinat dönüşümü. Eş. 3.3 ve 3.4 ile tanımlanan Fa 1 KFD işleci Eş. 4.1’deki biçimde yazılabilir. ga(u) = Aαe jπ cotαu2 ∞ ∫ −∞ e−j2π cscαuu′ h(u′)du′ (4.1) Eş. 4.1’de Aα = √ 1− j cotα, h(u′) = exp(jπ cotαu′ 2 )g(u′), g(u′) sinyalinin 32 chirp işlevi ile çarpımıdır. Bir sinyalin chirp işlevi ile çarpılması sinyalin fre- kans genişliğini arttırmaktadır. Şekil 4.2 chirp çarpımının sinyalin ZF uzamına etkisini göstermektedir. Şekil 4.2a ve b, sırasıyla, g(u′) ve h(u′) sinyalerinin ZF gösterimleridir. Kesir değeri 0.5 ≤ a ≤ 1.5 için chirp çarpımı uygulandığında frekans genişliğindeki artış (1+| cotα|)∆u ≤ 2∆u ile sınırlıdır. Grafikler incelen- diğinde sinyalin zaman genişliği aynı kalırken, frekanstaki genişliği artmaktadır. Kesir değeri 0.5 ≤ a ≤ 1.5 için frekans genişliği en fazla 2∆u olmaktadır. Chirp u u’ ∆ u ∆u a) u u’ (1 + |c o tα |) ∆ u ∆u b) Şekil 4.2. Chirp çarpımı ile frekans uzamının genişlemesi. çarpımı sinyalin frekans genişliğini en fazla iki kat arttırdığı için HKFD uygu- lanmadan önce aradeğerleme yöntemleri kullanılarak sinyalin örnek sayısı iki katına arttırılmalı; HKFD uygulandıktan sonra da elde edilen KFD örneklerinin sayısı seyreltme işlemi ile iki kat azaltılmalıdır. Böylece u′ uzamındaki N örnek, u uzamındaki N örneğe eşlenmiş olur. Örnek sayısı iki kat arttırıldıktan sonra Shannon geriçatım formülü kullanılarak h(u′) Eş. 4.2’deki biçimde yazılabilir: h(u′) = N ∑ n=−N ejπ cotα( n 2∆u) 2 g ( n 2∆u ) sinc [ 2∆u ( u′ − n 2∆u )] . (4.2) Eş. 4.2, Eş. 4.1’de yerine konulup, integral ve toplam işleçlerinin sırası değişti- 33 rilirse Eş. 4.3 elde edilir. ga(u) = Aαe jπ cotαu2 N ∑ n=−N ejπ cotα( n 2∆u) 2 g ( n 2∆u ) ∞ ∫ −∞ e−j2π cscαuu′ sinc [ 2∆u ( u′ − n 2∆u )] du′ (4.3) Eş. 4.3’deki integral FD biçimindedir ve 1 2∆u exp ( −j2π cscαu n 2∆u ) rect (cscαu 2∆u ) ifadesine eşittir. rect(u) işlevi, −0.5 < u < 0.5 aralığında 1’e, bu aralığın dışında 0’a eşittir. Kesir değeri 0.5 ≤ a ≤ 1.5 arasında iken cscαu/2∆u < 0.5 olmakta ve rect (cscαu 2∆u ) = 1 olmaktadır. Eş. 4.3, ga(u) = Aα 2∆u N ∑ n=−N e jπ ( cotαu2−2 cscαu n 2∆u +cotα( n 2∆u) 2 ) g ( n 2∆u ) . (4.4) biçiminde yazılabilir. Eş. 4.4 ile verilen ga(u), u = m/(2∆u) noktalarında he- saplanırsa g(u′) işlevinin a kesirli KFD’sinin ayrık değerleri elde edilmiş olur: ga ( m 2∆u ) = Aα 2∆u N ∑ n=−N e jπ ( cotα( m 2∆u) 2 −2 cscα mn (2∆u)2 +cotα( n 2∆u) 2 ) g ( n 2∆u ) (4.5) Eş. 4.5, Eş. 4.6’deki gibi ayrık evrişim kullanılarak ifade edilebilir. ga ( m 2∆u ) = Aα 2∆u ejπ(cotα−cscα)( m 2∆u) 2 N ∑ n=−N e−jπ cscα(m−n 2∆u ) 2 ejπ cscα( n 2∆u) 2 g ( n 2∆u ) (4.6) Eş. 4.6’deki toplam ifadesi ayrık evrişim biçimindedir. Ayrık evrişim HFD kulla- nılarak O(N logN) mertebesinde hesaplama karmaşıklığı ile bulunabilir. Ayrık evrişim sonucunda elde edilen sinyale tekrar chirp çarpım işleci ve örnek sey- reltme uygulanarak KFD örnekleri elde edilir. Toplam hesaplama karmaşıklığı 34 O(N logN) mertebesindedir [1,20]. HKFD yöntemi bütün kesirli Fourier uzamlarında sinyalin genişliğinin aynı ol- duğunu varsayar. Sinyalin, 1/ √ N periyotlu N tane örneğinden, sinyalin sü- rekli KFD’sinin yaklaştırmalarını kesirli uzamda da 1/ √ N periyodu ile verir. An- cak örnekleme periyodu 1/ √ N ’den farklı seçildiğinde HKFD’nin çıkışı sürekli KFD’nin örneklerine benzememektedir. Bu durumda sürekli KFD örneklerine ulaşmak için uygulanması gereken açı ve faz düzeltmeleri 4.1.1 da anlatıla- caktır. 4.1.1 Sürekli KFD ile HKFD İlişkisi Bu alt bölümde HKFD yönteminde örnekleme periyodu 1/ √ N ’den farklı seçil- diğinde HKFD ile sürekli KFD arasındaki ilişki verilecektir. KFD’nin genel hali olan Doğrusal Kanonik Dönüşüm (DKD) için [23]’da sabit örnekleme aralığı varsayan hesaplama yöntemleri ile sürekli DKD arasındaki ilişki verilmiştir. Bu- rada bu ilişkinin özel bir hali HKFD ve sürekli KFD için verilecektir. HKFD yönteminde, sinyalin zaman ve frekans eksenlerinde eşit genişlikte ol- duğu (∆u′ = ∆u) varsayılır. Nyquist örnekleme frekansında örnekleme peri- yodu 1/∆u, örnek sayısı N = ∆u (1/∆u) = ∆u2, frekans genişliği ∆u = √ N olur. Sinyalin zaman ve frekanstaki genişlikleri eşit olduğunda HKFD yöntemi giriş sinyalinin g ( n/ √ N ) , −N/2 ≤ n ≤ N/2 − 1, örneklerini çıkış sinyalinin ga ( m/ √ N ) , −N/2 ≤ n ≤ N/2 − 1, örneklerine eşler. HKFD yönteminin çıkış örnekleri, ĝa,1/ √ N (m) = ga ( m 1√ N ) (4.7) olarak yazılabilir. Örnekleme periyodu Ts 6= 1/ √ N olarak seçilirse, HKFD yön- temi, g (nTs) = g ( Ts √ N 1√ N ) giriş örneklerini, g ( Ts √ Nu′ ) ölçeklenmiş sin- 35 yalin 1/ √ N aralıklı, ĝa,Ts (m) = Fa { g ( Ts √ Nu′ )} ( m√ N ) (4.8) örnekleri olarak görür. Bu yüzden, HKFD yönteminin çıkışında elde edilen ör- nekler, sürekli KFD’nin örneklerinden farklı olur. Ölçeklenmiş sinyalin sürekli KFD’si, KFD’nin özellikleri kullanılarak [1,32], Fa { g ( Ts √ Nu′ )} (u) = P−1 D (ζ ′, α, u) gb′ ( u sin ζ ′ Ts √ N sinα ) (4.9) biçiminde yazılabilir. Yukarıdaki eşitlikte, ζ ′ = b′π 2 = tan−1 ( T 2 sN tanα ) ve PD, PD (α, ζ, u) = √ T 2 sN − j cot ζ 1− j cot ζ exp { jπu2 cot ζ ( 1− cos2 α cos2 ζ )} (4.10) olarak tanımlıdır. Eş. 4.9 ile verilen çıkış sinyali, istenilen Fa {g (u′)} (u) sinya- linden farklı olur. Çünkü bir sinyalin ölçeklenmiş halinin KFD’si, sinyalin kendi- sinin başka bir kesir değerli KFD’si ile orantılıdır. HKFD yönteminde örnekleme periyodu 1/ √ N ’den farklı seçildiğinde, çıkışta a kesir değerli KFD’nin örnekleri elde edilmek istenirse, HKFD yöntemi, ζ = tan−1 ( 1 T 2 sN tanα ) (4.11) açısı ile uygulanmalıdır. Böylece çıkış sinyali, Fb { g ( Ts √ Nu′ )} (u) = P−1 D (α, ζ, u) ga ( u sinα Ts √ N sin ζ ) (4.12) olarak bulunur. HKFD yönteminin çıkış örnekleri arasındaki aralık 1/ √ N ol- duğu için Eş. 4.12 ifadesinin, u = m/ √ N noktalarındaki örnekleri elde edilmiş 36 olur. Eş. 4.12 ifadesinde, ga (.) sağ tarafa alınıp Eş. 4.8 kullanılırsa, ga ( m sinα TsN sin ζ ) = PD ( α, ζ, m√ N ) ĝb,Ts (m). (4.13) elde edilir. a kesirli Fourier uzamında çıkış örnekleri arasındaki aralık, ∆α = sinα TsN sin ζ = √ T 2 s cos 2 α + 1 (NTs) 2 sin 2 α. (4.14) olur. Eş. 4.10 ifadesi, u = m∆α yerine konularak ∆α cinsinden P̂D (α, ζ,m) = √ T 2 sN − jT 2 sN cotα 1− jT 2 sN cotα exp { jπ (m∆α) 2 cotα ( 1− cos2 ζ cos2 α )} (4.15) biçiminde yazılabilir. HKFD yöntemi ile g (u′)’nün Ts periyoduyla örneklenmiş değerlerinden, g(u′) sinyalinin a kesir değerli sürekli KFD’sinin örneklerini elde etmek için açı ve faz düzeltmeleri uygulanmalıdır. Önce HKFD yöntemi Eş. 4.11 ile verilen ζ ′ açısı ile uygulanarak ĝb(m) değerleri bulunur. ĝb(m) örneklerine, Eş. 4.15’te verilen faz düzeltme çarpanı, ga (m∆α) = P̂D (α, ζ,m) ĝb(m) (4.16) biçiminde uygulanarak ga(u) sinyalinin örnekleri elde edilir. a kesirli uzamda örnekler arasındaki mesafe Eş. 4.14 ile verilir. Bir sonraki alt bölümde FD matrisinin kesirli kuvvetlerine dayanan KFD’nin ay- rık hesaplama yöntemleri verilmiştir. 37 4.2 Ayrık Kesirli Fourier Dönüşümü (AKFD) Yöntemleri AKFD yöntemi, AFD matrisinin öz-ayrışımına dayanmaktadır. Bu yüzden ilk önce AFD matrisinin özellikleri incelenecektir. g = [g(0) g(1) . . . g(N − 1)] vektörünün AFD’si, g1 = [g1(0) g1(1) . . . g1(N − 1)], Eş. 4.17 ile tanımlanmıştır. g1(m) = 1√ N N−1 ∑ n=0 g(n) exp (−j(2π/N)mn) , m = 0, . . . , N − 1 (4.17) Eş. 4.17 matris biçiminde yazılabilir: g1 = Fg (4.18) Eş. 4.18’teki N × N boyutlu F matrisi AFD matrisidir. AFD matrisi F aşağıda verilmiştir: F = 1√ N           1 1 1 1 1 exp ( −j 2π N ) · · · exp ( −j 2π N (N − 1) ) ... ... . . . ... 1 exp ( −j 2π N (N − 1) ) · · · exp ( −j 2π N (N − 1)(N − 1) )           (4.19) Eş. 4.19 ile tanımlanan F matrisi simetrik (F = FT ) ve birimcildir (FHF = I). F simetrik olduğu için köşegenleştirilebilir. Bir vektörün F ile çarpımı vektörün AFD’sini; F2 ile çarpımı vektörün zamana göre tersini; F3 ile çarpımı vektörün AFD’sinin frekansa göre tersini; F4 ile çar- pımı ise vektörün kendisini vermektedir. Buradan yola çıkılarak bir vektörün AKFD’sinin, F’nin kesirli kuvveti ile çarpılarak elde edilebileceği önerilmiştir. Fa, F matrisinin öz-ayrışımı kullanılarak hesaplanabilir: ga = Fag (4.20) = UΛaUTg. (4.21) 38 Çizelge 4.1. AFD matrisinin özdeğerlerinin tekrar sayıları. ♯(N, 0): ♯(N, 1): ♯(N, 2): ♯(N, 3): N 1 özdeğerinin −j özdeğerinin −1 özdeğerinin j özdeğerinin tekrar sayısı tekrar sayısı tekrar sayısı tekrar sayısı 4m m+ 1 m m m− 1 4m+ 1 m+ 1 m m m 4m+ 2 m+ 1 m m+ 1 m 4m+ 3 m+ 1 m+ 1 m+ 1 m Eş. 4.21’de, U birimcil, Λ köşegen matrislerdir. U matrisinin sütunları, AFD matrisinin özvektörleridir. N tek sayı için U = [u0 u1 . . .uN−2 uN−1], N çift sayı için U = [u0 u1 . . .uN−2 uN ]; un, F matrisinin özvektörüdür. Λ matrisinin köşegeni üzerindeki elemanları AFD matrisinin özdeğerleridir. Köşegen üzerin- deki özdeğerler, n = 0, 1, . . . , N − 2, N − 1 + (N)2 için, exp(−janπ/2)’ye eşit- tir. (.)2, ikiye göre mod işlevidir. AKFD’nin sürekli KFD’ye benzeyebilmesi için, AKFD özvektörleri sürekli KFD’nin özişlevleri olan HG işlevlerinin örneklerine benzemeli; HG işlevleri gibi gerçel ve birimdik taban kümesi oluşturmalıdır. McClellan ve Parks, [33]’te AFD matrisinin özdeğerlerini ve özvektörlerini ince- lemiştir. AFD özvektörlerinin çift (g(−n) = g(n)) veya tek (g(−n) = −g(n)) ol- dukları gösterilmiş, dikgen olmayan AFD özvektör taban kümesi oluşturulmuş, ve AFD matrisinin özdeğerlerinin tekrar sayıları bulunmuştur. AFD matrisinin dört farklı özdeğeri {1, j,−1,−j} vardır. Çizelge 4.1, N ×N boyutlu AFD mat- risi F’nin özdeğerlerinin tekrar sayılarını göstermektedir. ♯(N, k) işlevi k indisli exp(−j(π/2)k) özdeğerinin tekrar sayısını ifade etmektedir. AFD matrisi simetrik bir matris olduğu için en az bir tane birbirine birimdik olan N elemanlı özvektör kümesine sahiptir. Ancak özdeğerleri tekrarettiği için ger- çel ve birimdik özvektör kümesi sayısı birden fazla olabilir. Dickinson ve Steiglitz, [34]’te AFD matrisi ile sırabağımsız olan bir matris kul- lanarak AFD matrisinin gerçel ve birimdik özvektör kümesinin oluşturulabilece- 39 ğini göstermişlerdir. S ile gösterilen bu matris Eş. 4.22 ile verilmektedir. S =                    2 1 0 · · · 0 0 1 1 2 cos 2π N 1 · · · 0 0 0 0 1 2 cos 4π N · · · 0 0 0 ... ... ... . . . ... ... ... 0 0 0 · · · 2 cos (N − 3)2π N 1 0 0 0 0 · · · 1 2 cos (N − 2)2π N 1 1 0 0 · · · 0 1 2 cos (N − 1)2π N                    (4.22) S matrisi gerçel ve simetrik bir matris olduğu için gerçel ve birimdik özvektör kümesine sahiptir. F ve S matrisleri sırabağımsızdır (FS = SF). Sırabağım- sız matrislerin ortak özvektör kümesi bulunmaktadır. S matrisinin özvektörleri hesaplanarak AFD matrisinin gerçel ve birimdik özvektör taban kümesi bulu- nabilir. S matrisinin özdeğerleri N 6= 4m için birbirlerinden farklıdır. Bu durumda S matrisinin tek birimdik özvektör kümesi bulunmaktadır. N = 4m için ise S’nin sıfıra eşit olan özdeğeri iki defa tekrarlanmaktadır. Bu özdeğere karşılık gelen birden fazla iki elemanlı özvektör kümesi bulunabilir. Candan et al., [31]’da, bu iki özvektörü tek ve çift olarak belirleyecek bir yöntem önermiştir. Bu sayede S matrisinden AFD matrisinin özvektörlerinin bulunmasındaki belirsizlik ortadan kaldırılmıştır. Bu çalışma, Bölüm 4.2.1’de daha ayrıntılı olarak verilecektir. 4.2.1 S yöntemi Bu bölümde [21]’de geliştirilen AFD matrisinin öz-ayrışımına dayanan S-yöntemi verilmiştir. HG işlevleri Eş. 4.23 ile verilen diferansiyel denklemin çözümleridir. d2ψn(u) du2 − u2ψn(u) = λψn(u) (4.23) 40 Türev işleci D = d/du ve FD işleci F için Eş. 4.23 aşağıdaki biçimde yazılabilir. (D2 + FD2F−1)ψn(u) = Sψn(u) = λψn(u) (4.24) Eş. 4.24’de S = (D2+FD2F−1) işlecinin özişlevi HG işlevleridir. S ve F sıraba- ğımsız işleçler olduğu için FD’nin özişlevleri de HG işlevleridir. [31]’da, sürekli S işleci sonlu farklar yöntemi ile ayrık hale getirilerek Eş. 4.22 ile verilen S matrisi elde edilmiştir. AFD matrisinin özvektörlerinin tek veya çift vektör olduğu; F ve S matrislerinin ortak bir özvektör kümesinin bulunduğu yukarıda belirtilmişti. Bu nedenle S matrisinin özvektörleri de tek veya çift vektörler olmalıdır. [31]’da benzerlik dö- nüşümü PSP−1 kullanılarak S matrisi çift ve tek alt matrislere ayrılmıştır. P izdüşüm matrisi Eş. 4.25’de verilmiştir. P =                  √ 2 0 0 · · · 0 0 0 0 1 0 · · · 0 1 0 0 0 1 · · · 1 0 0 ... ... ... . . . ... ... ... 0 0 1 · · · −1 0 0 0 1 0 · · · 0 −1 0 1 0 0 · · · 0 0 −1                  (4.25) Eş. 4.25 ile verilen P vektörü gerçel, simetrik ve birimcil olduğu için PT = P = P−1 olmaktadır. h = Pg vektörünün ilk ⌊N/2 + 1⌋ elemanı g vektörünün çift bileşenlerini, son ⌈N/2 − 1⌉ elemanı da g vektörünün tek bileşenleridir. ⌊.⌋ işlevi argümanından küçük veya eşit en büyük tamsayı, ⌈.⌉ işlevi argümanından büyük veya eşit en küçük tamsayıdır. S matrisinin PSP−1 benzerlik dönüşümü matrisi Eş. 4.26 deki gibi çift Ev ve tek Od alt matrislere ayrıştırmaktadır. PSP−1 =   Ev 0 0 Od   (4.26) 41 S matrisi incelendiğinde PS matris çarpımının ilk ⌊N/2+1⌋ satırının çift diziler, son ⌈N/2−1⌉ satırının tek diziler olduğu görülür. PS sağ taraftan P−1 = P mat- risi ile çarpıldığında her satır çift ve tek dizi bileşenlerine ayrılır: İlk ⌊N/2 + 1⌋ satır çift dizi olduğu için bu kısım [Ev 0] matrisine; son ⌈N/2 − 1⌉ satır tek dizi olduğu için bu kısım [0 Od] matrisine dönüştürülmüş olur ve Eş. 4.26 ile verilen üçlü köşegen matris elde edilir. PSP’nin alt blok matrisleri Ev ve Od özvektörlerinden S’nin özvektörleri bu- lunabilir. Ev matrisinin özvektörleri eev ile gösterilirse, PSP matrisi aşağıdaki eşitliği sağlamalıdır: PSP   eev 0   = λev   eev 0   (4.27) Eşitliğin her iki tarafı sol taraftan P ile çarpıldığında SP   eev 0   = λevP   eev 0   (4.28) elde edilir. Yukarıdaki eşitlik incelendiğinde P [ eTev 0T ]T vektörünün S mat- risinin çift özvektörü olduğu görülmektedir. Od matrisinin özvektörleri eod ile gösterilirse, benzer şekilde S matrisinin tek özvektörleri de P [ 0T eTod ]T çar- pımı ile bulunabilir. S matrisinin bu şekilde hesaplanan özvektör kümesi tek bir tanedir ve F matrisi ile ortaklaşa sahiplenildiği için, AFD matrisinin gerçel ve birimdik özvektör kümesi oluşturulmuş olur. Eş. 4.21 ile verilen AKFD’nin hesaplanmasında, S matrisinin özvektörleri kul- lanılabilir. Bu durumda AKFD yöntemi S yöntemi olarak adlandırılacaktır. Son olarak hangi özvektörün hangi HG işlevine karşılık geldiği belirlenmelidir. Sürekli HG işlevlerinin yatay eksenle kesişim noktalarının sayısı n derecesi ile aynıdır. AFD özvektörlerinin sırası da bu şekilde seçilebilir. S matris özvek- törünün yatay ekseni kesme sayısı özdeğeri ile ters orantılıdır [31]. AFD öz- 42 vektörleri de yatay ekseni kesme sayıları artacak şekilde seçilirse sürekli HG işlevlerine benzeyen AFD özvektör kümesi seçilmiş olur. AFD özvektörlerinin S matrisinin özdeğerlerine göre sıralanması, yatay eksenle kesişim noktalarının sayısal olarak hesaplandığı durumlarda yapılan hataları gidermektedir [31]. Bir sonraki bölümde AFD özvektörlerinin, HG işlevi örneklerinin AFD matrisinin öz-uzaylarına izdüşümlenmesi ile yaklaşıklaması anlatılacaktır. 4.2.2 Dikgen İzdüşüme Dayalı AKFD Bu bölümde [22]’de verilen, AFD matrislerinin özvektörlerini hesaplama yön- temi anlatılacaktır. AFD matrisinin özvektörleri, sürekli FD’nin özişlevleri olan HG işlevlerine benzemelidir. [22]’de, HG işlevlerinden elde edilen örneklerle oluşturulan vektörlerin AFD öz-uzaylarına olan izdüşümleri hesaplanmış ve AFD özvektörleri olarak önerilmişlerdir. Bölüm 4.2’de F matrisinin dört farklı özdeğeri 1, −j, −1 ve j olarak verilmiştir. Her bir özdeğerin özvektör kümesi, F matrisinin farklı bir öz-uzayını germekte- dir. E0, E1, E2 ve E3 AFD öz-uzayları, sırasıyla, 1, −j, −1 ve j özdeğerlerine karşılık gelecektir. Farklı öz-uzayları geren özvektörler birbirlerine diktir. Sürekli KFD’nin özişlevleri birim değişintili HG işlevleri olduğu için, AFD mat- risinin şekilleri HG işlevlerine benzeyen özvektörleri, ûn, AKFD özvektörleri ola- rak seçilebilir: F2α/πûn = e−jnαûn (4.29) Yukarıdaki özdeğer denkleminde ûn, n. dereceden HG işlevine benzeyen öz- vektördür. HG işlevleri ile benzer şekle sahip olan AFD özvektörleri, AFD Her- mite özvektörleri olarak adlandırılmıştır. AFD Hermite özvektörleri, HG özişlevlere benzeyebilmek için, AFD’den sonra 43 şekillerini korumalıdır. Eş. 3.8 ile verilen HG işlevi Ts aralığı ile örneklendiğinde ψσ, n(mTs) = 1 (2nn! √ πσ)1/2 hn ( mTs σ ) exp (−m2T 2 s 2σ2 ) . (4.30) elde edilir. Eş. 3.8 ile verilen HG işlevinin Ts aralığı ile elde edilen örnekleri- nin AFD’si, sürekli FD’nin örneklerini m2π/NTs noktalarında vermektedir. HG işlevinin FD’sim2π/NTs noktalarında örneklenirse HG işlevinin AFD’si elde edi- lebilir: F {ψσ, n} ( m2π NTs ) = √ σ (2nn! √ πσ)1/2 hn ( m2π NTs ) exp (−m22π2σ2 N2T 2 s ) . (4.31) Eş. 4.30 ve 4.31’de verilen ayrık HG işlevlerinin şekillerinin birbirine benzemesi için HG işlevinin değişintisi σ = √ N 2π Ts olarak seçilmelidir. Bu durumda Eş. 4.30 aşağıdaki gibi yazılabilir. φn(m) = 1 (2nn! √ πσ)1/2 hn ( m √ N/2π ) exp (−m2π N ) . (4.32) φn(m), HG işlevinin örneklerini vermektedir. φn(m) örneklerinden oluşan vektör normalize edilerek AFD özvektörlerine benzeyen vektörler elde edilebilir. ūn = [φn(0) φn(1) . . . φn(N − 1)]T ∥ ∥ ∥ [φn(0) φn(1) . . . φn(N − 1)]T ∥ ∥ ∥ (4.33) HG işlevinin örnekleri yaklaşık olarak AFD özvektörlerini vermektedir. n art- tıkça yaklaştırma hatası da artmaktadır. ūn vektörlerinin AFD öz-uzaylarına iz- düşümleri, HG işlevlerine daha çok benzeyen AFD özvektörlerini, ũn, verebilir: ũn = ∑ (n−m)4=0 < ūn, vm > vm, n, m = 0, 1, . . . , N − 2, N − 1 + (N)2 (4.34) Eş. 4.34’te, < ·, c>̇ vektör iç çarpımı işlecidir. Eş. 4.34 ile verilen ũn vektör- leri, n = 4p + l için, l. AFD öz-uzayını geren, p. özvektörü göstermektedir. 44 l., l = 0, 1, 2, 3, AFD öz-uzayı e−jlπ/2 özdeğerine karşılık gelmektedir. p indisi p = 0, 1, . . . , ♯(N, l) değerlerini alabilir. AFD özdeğerlerinin tekrar sayısını gös- teren ♯(N, l), aynı zamanda l. AFD öz-uzayının kertesine karşılık gelmektedir ve Çizelge 4.1’de verilmiştir. AFD özvektörlerine benzeyen ũn vektörleri, farklı AFD öz-uzaylarına izdüşümler ise birbirine dik olmakta, aynı AFD öz-uzayına izdüşümler ise dik olmayabilmektedir. AKFD’nin sürekli KFD’ye benzer olması için özvektör kümesinin birimdik olması gerekmektedir. Dikgenleştirme algo- ritmaları kullanılarak ũn vektörleri AFD öz-uzayları içerisinde de birimdik hale getirilebilir. [22]’de iki farklı dikgenleştirme yöntemi, Gram-Schmidt Algoritması (GSA) ve Dikgen Procrustes Algoritması (DPA) önerilmiştir. Farklı AFD öz- uzaylarına izdüşümler olan vektörler zaten dik oldukları için, yalnızca aynı AFD öz-uzayına izdüşüm vektörleri kendi aralarında birimdik hale getirilerek AFD Hermite özvektörleri, ûn, oluşturulabilir. Gram-Schmitt Algoritması GSA algoritması kullanılarak birimdik ve gerçel bir AFD özvektör kümesi oluş- turulabilir. GSA yönteminde: • HG işlevlerinin örnekleri φn(m) Eş. 4.32 ile hesaplanarak Eş. 4.33’deki ūn vektörü elde edilir. • S matrisinin özvektörleri vm bulunur. • Eş. 4.34 kullanılarak ūn vektörlerinin AFD öz-uzaylarına izdüşümleri ũn vektörleri olarak hesaplanır. • Her l., l = 0, 1, 2, 3, AFD alt öz-uzayı için, û4p+l, p = 0, 1, . . . , ♯(N, l), vek- törleri aşağıdaki denklemler kullanılarak hesaplanabilir: e4p+l = ũ4p+l − ♯(N,l) ∑ q=0 < ũ4p+l, û4p+l > û4p+l û4p+l = e4p+l ‖e4p+l‖2 . 45 Eş. 4.21 ile verilen AKFD’nin hesaplanmasında, GSA yöntemi kullanılarak bu- lunan ûn AFD özvektörleri kullanılabilir. Bu durumda AKFD yöntemi GSA ola- rak adlandırılacaktır. Dikgen Procrustes Algoritması Dikgen Procrustes Algoritması (DPA) aynı AFD öz-uzayına ait ūn vektörlerini dikgenleştimek için kullanılabilir. Her l., l = 0, 1, 2, 3, alt uzay için, Vl, Ūl, Ûl matrisleri tanımlanabilir. Vl matrisinin sütunları, v4p+l, S matrisinin özvektörle- ridir. Ūl matrisinin sütunları, ū4p+l, AFD Hermite özvektörleridir. Ûl matrisinin sütunları, û4p+l, dikgen AFD Hermite özvektörleridir. p indisi, p = 0, 1, . . . , ♯(N, l) değerlerini almaktadır. Dikgen Procrustes problemi, QT l Ql = I kısıtı sağlanacak şekilde, ‖Ūl−Ûl‖F = ‖Ūl −VlQl‖F Frobenius normunu en küçülten Ql matrisinin bulunmasıdır. Bu şekilde HG işlevlerinin örnekleri Ūl ile dikgen AFD Hermite özvektörlerinin Ûl gerdiği uzaylar arasındaki Frobenius norm en küçük olacaktır. Frobenius normu enküçülten Qk matrisi hesaplandığında, Ûl = VlQl matrisi de buluna- bilir. VT l Vl = I olduğu için ÛT l Ûl = I olacaktır. Bu şekilde gerçel ve birimcil özvektörler elde edilmiş olur. Ql, VT l Ul çarpımının Tekil Değer Ayrışımı (TDA) ile bulunabilir. DPA yöntemi ile AFD’nin özvektörlerinin hesaplanması aşağıda verilmektedir: • HG işlevlerinin örnekleri φn(m) Eş. 4.32 ile hesaplanarak Eş. 4.33’deki ūn vektörü elde edilir. • S matrisinin özvektörleri vm bulunur. • Her l., l = 0, 1, 2, 3, AFD öz-uzayı için, Ûl matrisi aşağıdaki gibi hesap- lanabilir: VT l Ul çarpımının TDA’sı AlDlB T l hesaplanır. Ql = AlB T l Ûl = VlQl 46 Eş. 4.21 ile verilen AKFD’nin hesaplanmasında, DPA yöntemi kullanılarak bu- lunan ûn AFD özvektörleri kullanılabilir. Bu durumda AKFD yöntemi DPA olarak adlandırılacaktır. 4.2.3 AKFD yöntemleri ile bulunan AFD özvektörlerinin kar¸ sılaştırılması GPA, HG işlevlerinin örnekleri ile dikgen AFD Hermite özvektörleri arasındaki farkı, işlev derecesi n’nin küçük değerlerinden başlayarak n’nin büyük değer- lerine doğru en küçültmektedir. Bu yüzden GSA özvektörleri ile HG işlevinin örnekleri arasındaki fark n’nin küçük değerleri için az, n’nin büyük değerleri için fazla olmalıdır. DPA ise HG işlevlerinin örneklerinin gerdiği uzay ile, dikgen AFD Hermite özvektörlerinin gerdiği uzay arasındaki toplam farkı en küçült- mektedir. AFD özvektörleri ile HG işlevlerinin örnekleri arasındaki farkın normu ǫn aşağıdaki gibi tanımlanabilir. ǫn = ‖ūn − ûn‖2 Şekil 4.3’te n = 0, . . . , 37 için, GSA, DPA ve S yöntemi ile elde edilen özvek- törler ile hesaplanan ǫn değerleri gösterilmektedir. Şekil 4.3 incelendiğinde S yöntemi ile elde edilen özvektörlerin GSA ve DPA ile elde edilenlere göre HG işlevlerinin örneklerine daha az benzediği gözlenmektedir. OPA özvektörlerinin n’nin büyük değerleri için; GSA özvektörlerinin ise n’nin küçük değerleri için HG işlevi örneklerine daha çok benzediği görülmektedir. 4.2.4 Sürekli KFD ile AKFD arasındaki ilişki AKFD yöntemleri, giriş ve çıkıştaki örnekleme aralığının Ts = √ 2π/N oldu- ğunu varsayar. Bu nedenle giriş sinyalinin örnekleme periyodu Ts 6= √ 2π/N olarak seçilirse, Bölüm 4.1.1’de verilen HKFD ve sürekli KFD ilişkisinde olduğu gibi açı ve faz düzeltmelerinin uygulanması gerekir. Ancak HKFD ve AKFD yöntemleri örnekleme aralıklarını farklı varsaydıkları için uygulanması gereken açı ve faz düzeltmeleri farklı olur. HKFD, sürekli KFD’nin Eş. 3.4 ile verilen Fa tanımı ile; AKFD, KFD’nin Eş. 3.5 ile verilen Fa 2 tanımı kullanılarak elde edil- 47 0 5 10 15 20 25 30 35 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 HG islevinin derecesi, n ε n GSA DPA S yöntemi Şekil 4.3. HG işlevleri ile AFD özvektörleri arasındaki farkın normu. miştir. Bölüm 3’de bu tanımlar arasındaki ilişki Eş. 3.22 ile verilmiştir. Fa tanımı ile, Fa 2 tanımındaki giriş çıkış ilişkisinin elde edilmesi için, sinyal √ 2π kadar daraltılmalı, Fa işleci uygulanmalı, ve çıkışta √ 2π kadar genişletilmelidir. Giriş sinyalinin daraltılması, örnek periyodunun √ 2π’ye bölünmesi ile uygulanırsa, HKFD için Eş. 4.11 ile verilen açı düzeltmesi, AKFD yöntemi için, ζ = tan−1 ( 1 ( Ts 2π )2 N tanα ) (4.35) biçiminde olur. Çıkış uzamının √ 2π ile genişletilmesi ile, HKFD için Eş. 4.14 ile verilen çıkış örnekleri arasındaki mesafe, AKFD yöntemi için, ∆α = sinα TsN sin ζ = √ T 2 s cos 2 α+ 4π2 (NTs) 2 sin 2 α (4.36) 48 biçiminde olur. AKFD yöntemi için faz düzeltme çarpanı, PD(α, ζ, u) = √ √ √ √ T 2 s 2π N − j T 2 s 2π N cotα 1− j T 2 s 2π N cotα exp [ j u2 2 cotα ( 1− cos2 ζ cos2 α )] (4.37) biçiminde verilir. PD(α, ζ, u) faz düzeltme çarpanının ∆α aralıklı örnekleri, P̂D(α, ζ,m) = √ √ √ √ T 2 s 2π N − j T 2 s 2π N cotα 1− j T 2 s 2π N cotα exp [ j (m∆α) 2 2 cotα ( 1− cos2 ζ cos2 α ) ] (4.38) olur. AKFD yöntemi ile g(u′) sinyalinin, a = 2α/π kesir değerli sürekli KFD’sinin ör- nekleri elde edilmek istenirse, AKFD sinyale Eş. 4.35 ile verilen ζ = bπ/2 açısı ile uygulanır. Elde edilen değerlere Eş. 4.38 ile verilen faz düzeltme çarpanı uygulanmalıdır. Böylece ga(u) sinyalinin örnekleri, ĝa(m) = P̂D(α, ζ,m)ĝb (m) (4.39) biçiminde elde edilir. Örnekler arasındaki mesafe Eş. 4.36 ile verilir. Bir sonraki alt bölümde, KFD’nin sayısal hesaplama yöntemlerinin başarım kar- şılaştırılması verilecek, HKFD ve AKFD yöntemleri için verilen açı ve faz dü- zeltmelerinin etkisi incelenecektir. 4.3 KFD’yi Ayrık Hesaplama Yöntemlerinin Başarım Karşıl aştırması Bu alt bölümde KFD’yi ayrık hesaplama yöntemlerinin başarımları karşılaştı- rılacaktır. Yöntemlerin başarım ölçütü olarak sürekli KFD’ye ne kadar yakın örnekler verebildikleri seçilmiştir. Sürekli KFD ile yöntemlerin KFD örnekleri ara