HİGGS KÜTLESİ VE DOĞALLIK SORUNU HİGGS MASS AND THE NATURALNESS PROBLEM ÖZGÜNMUSTAFA ÖZŞİMŞEK PROF. DR. MÜGE BOZ EVİNAY Tez Danışmanı Hacettepe Üniversitesi Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı için Öngördüğü YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır. 2015 ÖZET HIGGS KÜTLESİ VE DOĞALLİK SORUNU Özgün Mustafa ÖZŞİMŞEK Yüksek Lisans, Fizik Mühendisliği Bölümü Tez Danışmanı: Prof. Dr. Müge BOZ EVİNAY Haziran 2015, 63 sayfa Standart Model’in olağanüstü başarılarına ve Higgs’in keşfinden sonra bir teori statüsüne yükselmesine karşın, halen çözüm bekleyen pek çok sorunmevcuttur. Sorunların çözümü için StandartModel’in ötesine geçebilmek gerekmektedir. Bu eşiğe ulaşabilmek için hiç kuşkusuz Model’in cevaplayamadığı soruların, çıkış noktalarının iyice kavranması gerekir. Aslında, tez kapsamında hedeflenen de budur. Şöyle ki, bu çalışmada esas olarak Standart Model’in öğre- nilmesi ve Higgs’in keşfinden sonra çözüm bekleyen en temel sorunlardan biri olan doğallık probleminin anlaşılmasına odaklanılmıştır. Bu doğrultuda, Standart Model’in temelini teş- kil eden simetriler, korunum yasaları ve ayar kuramları incelenerek, Standart Model’de çok önemli bir yere sahip olan Higgs mekanizması ayrıntılı bir şekilde çalışılmıştır. Ardından, doğallık sorununun üzerinde yoğunlaşılarak, bu problem için önemli bir hazırlık basamağı oluşturan Higgs’in kütlesine fermiyonik halka diagramlarından gelen kuantum düzeltmeleri, boyut regülarizasyonu çerçevesinde ayrıntı ile incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Global iç simetriler. Simetriler ve korunum yasaları. Abelyen ve Abel- yen olmayan ayar kuramları. SimetrilerinWigner-Weylmodu. SimetrilerinNambu-Goldstone realizasyonu. Higgs Mekanizması. Standart Model. Yukawa etkileşimi. Doğallık sorunu. Feynman parametrizasyonu. Boyutsal düzenleme. Passarino-Veltman yöntemi. i ABSTRACT HIGGS MASS AND THE NATURALNESS PROBLEM Özgün Mustafa ÖZŞİMŞEK Master of Science, Department of Physics Engineering Supervisor: Prof. Dr. Müge BOZ EVİNAY June 2015, 63 pages Despite the great success of Standard Model, there are still many problems awaiting for solu- tions. It seems that to solve these problems one needs to go beyond the Standard Model. To achive this ultimate goal, the first step is to understand the Standard Model and its fundamen- tals. The next step is to acquire a thorough understanding of the challenging open problems in the framework of the Standard Model. This is essentially what is done in this thesis. Na- mely, the primary aim in this study is first to gain expertise on the Standard Model, focusing particularly on the naturalness problem, which is the most fundamental problem awaiting for a solution after the discovery of the Higgs boson. In line with these objectives, symmetries and conservation laws, essentials of gauge theories, spontaneous symmetry breaking and the Higgs Mechanism, which occupies an important place in the Standard Model are studied in great detail. Then, by concentrating on naturalness problem, the reasons why the Standard Model can be considered as an effective field theory are discussed. The fermionic loop cor- rections to the Higgs mass, which constitute a crucial input to the naturalness problem, and the techniques of dimensional regularization scheme are studied in detail. Keywords: Internal global symmetries. Symmetries and conservation laws. Abelian and non- abelian gauge theories. Wigner-Weyl realisation of symmetries. Nambu-Goldstone realisa- tion of symmetries. Higgs mechanism. Standard model. Yukawa coupling. The naturalness problem. Feynman parametrisation. Dimensional regularisation. Passaino-Veltman method. ii TEŞEKKÜR Bu derlemenin oluşturulmasında büyük emek sarf eden ve lisans eğitimimden başlayarak, tüm akademik eğitim sürecimde yanımda olan, beni en doğru şekilde yönlendiren ve yoluma ışık tutmak için hiç bir gayret ve çabayı esirgemeyen, kendisini hocadan öte gördüğüm da- nışmanım Sayın Prof. Dr. Müge Boz Evinay’a bütün samimiyetim ve içtenliğimle teşekkür ederim. Hassasiyetle vurgulamam gerekirse, yaptığı katkılarla bu çalışmayı birçok kademe ileri taşıyan ve çalışma hayatı boyunca edindiği engin bilgisini hiç tereddüt etmeden benimle ve çalışma arkadaşlarımla paylaşarak, fizik kültürümüzü kayda değer ölçüde artıran, kendi- sini çağdaş bir bilim insanı modeli olarak benimsediğim, benim ve çalışma arkadaşlarımın ufkunu sonuna kadar açmak ve global düzeyde bilim yapabilme amacı ve doğrultusunda her türlü olanağı hazırlayıp önümüze sunarak, sonsuz özveri göstermiş olan hocamız Sayın Prof. Dr. Namık Kemal Pak’a teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca boyutsal regülarizasyon konu- sunda yapmış olduğu yararlı tavsiyelerden ötürü, Sayın Doç. Dr. İsmail Turan’a teşekkür ederim. Son olarak bu çalışma boyunca manevi desteklerini hiç esirgemeyen ve beni yılma- dan çalışmaya teşvik eden sevgili ailem ve arkadaşlarıma da şükranlarımı sunarım. Bu tezin son evrelerinde, 014 A602 006 no’lu “CERN-LHC-CMS Projesi Çerçevesinde Ha- cettepe - CERN Bilimsel İşbirliğine İlk Adım” isimli alt yapı projesi desteği ile CERN-CMS üyeliği gerçekleştirilmiştir. Yapılan teorik çalışmaların uygulamalarına yönelik ileri eğitim evresinin anılan BAB Projesi çerçevesinde 2015 yazında CERN’e yapılacak ziyaret sırasında gerçekleştirilmesi planlanmaktadır. Projenin sağladığı motivasyon ve potansiyel olanaklar için Üniversitemiz yetkililerine içtenlikle teşekkür ederiz. iii GÖSTERİMLER VE KISALTMALAR Gösterimler gµν =  1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1  Minkowski metriği c = 1 = ℏ Doğal Birim sistemi Kısaltmalar QED Kuantum Elektrodinamiği (Quantum Electrodynamics) SM Standart Model (Standard Model) PaVe Passarino-Veltman (Passarino-Veltman) iv İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET............................................................................................................................... i ABSTRACT .................................................................................................................... ii TEŞEKKÜR..................................................................................................................... iii GÖSTERİMLER VE KISALTMALAR ........................................................................... iv İÇİNDEKİLER ................................................................................................................ v ŞEKİLLER ...................................................................................................................... vi 1. GİRİŞ........................................................................................................................... 1 2. SİMETRİLER VE KORUNUM YASALARI ............................................................... 3 2.1. Giriş ......................................................................................................................... 3 2.2. Global Simetriler ve Korunum Yasaları (Noether Teoremi)........................................ 4 2.3. Yerel Simetriler Korunum Yasaları ve Ayar Kuramları ..............................................10 3. STANDART MODEL VE HİGGS MEKANİZMASI...................................................16 3.1. Giriş .........................................................................................................................16 3.2. Simetrilerin Nambu-Goldstone Modu ........................................................................17 3.3. Kendiliğinden Simetri Kırılması ve Higgs Mekanizması ...........................................24 3.4. Standart Modelde Higgs Mekanizması .......................................................................28 4. DOĞALLIK SORUNU ................................................................................................39 4.1. Giriş: Doğallık Sorunu ..............................................................................................39 4.2. Kuantum Düzeltmelerin Kütle Üzerine Etkisi ............................................................41 4.3. Feynman Parametrizasyonu ve Schwinger Yöntemi Kullanılarak Türetilmesi ...........42 4.4. Boyutsal Regülarizasyon, Wick Dönmesi ve µ Parametresi........................................46 4.5. Higgs Kütlesine Üst Kuarktan İleri Gelen Işınımsal Düzeltmelerin Hesaplanması .....48 4.6. Passarino-Veltman Yöntemi ile Işınımsal Katkıların Sonsuzluk İçeren Kısımları- nın Elde Edilmesi ......................................................................................................54 5. SONUÇ........................................................................................................................57 A.PASARINO-VELTMAN YÖNTEMİ...........................................................................58 KAYNAKLAR ................................................................................................................61 ÖZGEÇMİŞ.....................................................................................................................63 v ŞEKİLLER Sayfa Şekil 3.1. Wigner-Weyl Modu Durumunda Potansiyelin Şekli[19] ..............................22 Şekil 3.2. Nambu-Goldstone Modu Durumunda Potansiyel .........................................23 Şekil 4.1. Birinci Mertebe Halka Düzeltmeleri ............................................................42 Şekil 4.2. Wick Dönmesi[22] ......................................................................................47 Şekil 4.3. Üst Kuark Halkası .......................................................................................48 vi 1.GİRİŞ Makroskopik bir sistemin gözlemlenebilir tüm fiziksel özelliklerinin, sistemi oluşturan mik- roskopik düzeydeki fiziksel tabiatın bir sonucu olduğu ilkesi, araştırmacıları her zaman, en temel seviyedeki fiziksel süreçleri keşfetmeye ve bu süreçlerin ardında yatan nedenleri anla- maya yöneltmiştir. Milattan yaklaşık 400 yıl önce Demokritus’un ”atom” kavramıyla felsefi boyutta kendini gösteren en küçüğü anlama dürtüsü, 17. yüzyılda Newton, Leibniz, Galilei gibi bilimsel öncülerin katkılarıyla, deneysel doğrulama ve matematiksel soyutlamaya dayalı bilimsel yöntemlere dönüşmüştür. Bu girişimlerin ilk ürünü ve temel parçacıklar dünyasına atılmış ilk adım olarak Thomson’ın elektronu keşfetmesi sayılabilir (1897). Daha sonraları bilindik maddenin diğer yapı taşları olan proton ve nötron keşfedildiyse de, 1930 sonrası keş- fedilen mezonlar, anti parçacıklar, nötron ve protona nazaran daha ağır baryonlar, temel par- çacıklar serüveninin devam edeceğinin birer göstergesi olmuşlardır. Günümüze gelindiğinde en küçüğü keşfetmek için çıkılan bu yolculuk, yüksek teknoloji ürünü parçacık hızlandırıcı- larında sürdürülmektedir[1]. Deneysel olarak yaşanan bu gelişmelerin arkasında, müon hariç hemen bütün parçacıkların keşfedilmeden önce postüle edilebildikleri düşünüldüğünde, kuramsal olarak gerçekleştiril- miş olan ilerlemelerin büyük bir etkisi olduğu görülür. Buna rağmen o dönem itibarıyla bir- birinden farklı türdeki etkileşimleri ve karakterdeki parçacıkların doğasını aynı resimde bir araya getirecek bir çerçeve ortaya konulamamıştı. Bu çerçevenin çizilebilmesi, denklemlerin içerebildikleri matematiksel simetrilerin, doğada kendini korunum yasaları olarak gösteri- yor olması olgusunun idrak edilmesiyle mümkün olmuştur. Bu yeni algı biçimi ayar ilkesi- nin doğması ve bu ilkeden hareketle ayar kuramlarının inşa edilmeye başlamasıyla, elektro- manyetik ve zayıf etkileşimlerin aynı matematiksel çatı altında bir araya getirilerek Elektro- Zayıf Model’in oluşturulmasıyla sonuçlanmıştır. Ardından güçlü etkileşimlerin bu modele yine ayar kuramları vasıtasıyla eklenerek modelin simetrisinin artırılması ve Elektro-Zayıf simetrinin kırılmasıyla gözlemsel olarak doğrulanan fiziği tarif eden Standart Model oluş- turulmuştur. Standart Model’in, yapısında Higgs mekanizması önemli bir yer tutar. Bundan ötürü Standart Model’in kavranması için ilk adım olarak Higgs mekanizmasının anlaşılması son derece önemlidir[1, 2, 3, 4, 5, 6]. Higgs mekanizması çözdüğü ”kütle sorunu” kadar, yol açtığı ”doğallık” sorunu ile de gün- demdeki yerini korumaktadır. Göreli kuantum mekaniği ve QED’den başlayarak, fizikçi- leri meşgul eden doğallık konusu, ilk olarak “sorun” başlığı altında değerlendirilse de, daha sonradan anlaşıldığı üzere yeni modellerin inşa sürecinde temel motivasyon kaynaklarından birini teşkil etmiştir. Şöyle ki, bu sorunun aşılması için önerilen pek çok modelin sonuçta fiziksel bilgiyi artırdığı görülmüştür. Benzer biçimde Standart Model’in sınırlarının ötesinin araştırılması için, Higgs’den kaynaklanan doğallık sorununun kullanılabileceği düşünülebi- 1 lir. Bu problemin olası çözüm senaryolarından birinin, herhangi bir öngörüsünün deneysel olarak doğrulanması sonuç olarak yine fiziksel bilgiyi artıracaktır. Bu bakımdan doğallık so- rununun kavranması oldukça önemlidir[7]. Bu tezin temel amaçları, Standart Model’in temel yapı taşı olan simetriler üzerinde yoğun- laşılarak, ayar simetrileri, simetrilerin modları (realizasyonları) ve Higgs mekanizmasının kavranılması yoluyla Standart Model’e hakim olunması, Standart Model Ötesi bir model için gereken alt yapının oluşturulması ve model inşası sürecinin öğrenilmesi, doğallık sorunu gibi Standart Model Ötesi kuram arayışlarında belirleyici rol oynayan bir olgunun irdelenmesi ve bu sorunun çözümü için önerilen modellerin anlaşılmasıyla sonraki aşamalarda yapılabilecek çalışmalar için gerekli donanımın kazanılmasıdır. Bu amaçlar doğrultusunda, tezin ikinci bölümünde, çağdaş modellerin temelini teşkil eden simetriler, korunum yasaları ve ayar ilkesi detaylı olarak incelenmiştir. Üçüncü bölümde, simetrilerin modları ve ayrıca Standart Model’e hazırlık olarak Higgs mekanizması incelen- miş ve skaler alan modeli üzerinde örneklenmiştir. Dördüncü bölümde Higgs mekanizması ve Standart Model detaylı olarak incelenmiştir. Beşinci bölümde doğallık sorunu ortaya ko- nulmuş, bu sorunun nasıl ve neden ortaya çıktığına değinilerek, Higgs kütlesine fermiyon- ların halka katkılarının hesaplanmasında kullanılan yöntemler ve bu süreçlerde gerekli olan regülarizasyon yöntemi tanıtılmıştır. Passarino-Veltman yöntemi ise ayrıca ek olarak sunul- muştur. 2 2.SİMETRİLER VE KORUNUM YASALARI 2.1.Giriş Simetri sözcük anlamı olarak bir işlemden sonra ilk durumla son durum arasındaki ”ayırt edilemezliği” ifade eder. Fizikte kastedilen simetriler, fiziksel süreci belirleyen hareket denk- lemlerinin belli matematiksel dönüşümlerden sonra aynı kalması yani ilk haline kıyasla ”ayırt edilemez” olmasıdır. Dünden bugüne fiziksel süreçleri ifade ederken kullanılan matematik- sel simetriler, doğanın işleyişinin keşfedilmesinde ve kavranmasında güçlü ve kullanışlı bir araç olarak öne çıkmışlar ve fiziksel süreçlerin kuramsal yapısının oluşturulmasında omurga görevi görmüşlerdir. Klasik mekanikten başlayarak korunum yasalarının fiziksel problemlerin çözümünde kayda değer ölçüde kolaylaştırıcı rol oynadığı görülmüştür. Klasik mekaniğin Lagrange formülas- yonunda, Lagranjiyende belirmeyen koordinata karşılık gelen konjuge momentumun koru- nuyor olması bunun en tipik örneğidir. Simetrilerin varlığının en önemli sonucu hiç kuşkusuz bu simetriye karşı gelen bir korunum yasasının bulunmasıdır. Emmy Noether’in 1918’de or- taya koymuş olduğu teoremler aracılığıyla Lagranjiyenin sahip olduğu simetrilerin korunum yasalarıyla birebir ilişkili olduğu anlaşılmıştır [8]. Bu simetrilerin Lagranjiyende kolaylıkla ve açıklıkla seçilebiliyor olması, Lagrange formülasyonunu geliştirilen çağdaş kuramlarda temel yapıtaşı olarak tercih edilmesine sebebiyet vermiştir. Bu çerçevede bahsi geçen simetri ilkesi aynı zamanda yeni bir modelin inşasında kullanılacak Lagranjiyenin seçilmesinde de bir rehber görevi görmektedir. Fiziksel süreçlerde bazı niceliklerin, deneysel olarak doğrulanmış şekilde, korunuyor olması olgusundan yola çıkılarak denilebilir ki, mevcut korunum yasaları Lagranjiyenin belli başlı bazı simetrilere sahip olmasını zorunlu kılar. Denklemlerin fiziksel süreçlerde beliren koru- num yasalarını matematiksel olarak barındırabilmesinin yolu budur. Bu simetrileri dört ana grupta toplamak mümkündür: 1. Sürekli uzay-zaman simetrileri: Uzayda ve zamanda öteleme, uzay-zamanda dönmeler. 2. Kesikli uzay-zaman simetrileri: Parite, zaman tersinmesi. 3. Permütasyon simetrisi: Bozonlar ve Fermiyonlar arasındaki simetri. 4. İç simetriler: U(1) ve SU(N) simetrileri: Elektriksel yükün korunumu, izospin, renk yükü korunumu, lepton, baryon sayıları korunumu[9]. Sayılan bu simetrilerin bazıları doğada tam olarak bulunurken, bazılarının kırılmış olabileceği düşünülmektedir. Bunların dışında simetriler iki sınıfa ayrılabilir: Global ve yerel simetriler. 3 Global simetriler, fiziksel bir teorinin evrenin her noktasında aynı anda daima sahip olduğu simetrilerdir. Bu simetriler söz konusuyken, aynı dönüşüm her yerde aynı anda uygulandı- ğında, bazı fizik kanunları değişmez kalır. Yerel simetriler ise, evrenin her noktasında ve za- manın her anında birbirinden bağımsız olarak yapılan dönüşümler altında sahip olunan simet- rilerdir. İlk bakışta yerel simetrilerin global simetrilerden daha ”dar” olduğu düşünülebilir. Ancak, tam tersi söz konusudur. Kuramlar inşa edilirken, yerel simetriler global simetrilere göre çok daha belirleyici-kısıtlayıcı koşullar getirirler [10, 11]. 2.2.Global Simetriler ve Korunum Yasaları (Noether Teoremi) Noether Teoremi’ne geçmeden önce, bu teoremin kullanıldığı ve hedef aldığı alan denklem- lerine kısaca bakmakta fayda vardır: Klasik mekanikten bilinen Euler-Lagrange denklemleri, göreli bir alan teorisi için, uzay ve zaman koordinatlarının aynı statüde olduğu göz önünde bulundurularak ve eylemin “değişimine” (varyasyon) bakılarak ∂L ∂ϕi = ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) ) , şeklinde yazılabilir. Burada, Lagranjiyen L = L(ϕi(x), ∂ϕi(x)), olarak verilir. Noether Teoremi’ne göre, Lagranjiyendeki her sürekli simetriye karşılık, sistemde korunan bir büyüklük vardır. Bir alan kuramı inşa edilirken, fiziksel korunum yasalarının kuram ta- rafından barındırılabilmesinin yolunun Lagranjiyenin sahip olacağı simetrilerden ileri ge- leceği ifade edilmişti. Bu simetriler uzay-zaman ötelenme simetrileriyse, kuramın enerji- momentum korunumu yasalarını içerdiği gösterilebilir. Bu yasaların, daha klasik fizikten başlayarak önemleri iyice kavranmış ve oluşturulacak herhangi bir kuramda olması istenen en temel özellik olagelmişlerdir. Enerji-momentum korunum yasalarının herhangi bir kuramda muhakkak olması istendiğin- den, ortaya atılacak modellerin Lagranjiyenlerinin uzay-zaman ötelenmesine ve Lorentz si- metrisine sahip olması gerektiği görülür. Bu olgular ışığı altında, Noether teoreminin incelenmesine uzay-zaman simetrilerinin yol açtığı korunum yasalarıyla başlanabilir. Teoremin ispatını kısaca gözden geçirmek için en genel anlamda hem Lagranjiyen, hem de alanlardaki değişimlerin her ikisini de birlikte içeren genel durum ele alınmalıdır: Bu aşamada, x→ x′ = x+ δx , ϕ→ ϕ′ = ϕ+ δϕ , (2.1) “infinitesimal”1 dönüşümleri altında eylemin değişmez kalmasının 1Yeni bir sözcük arayışına girmemek için, bu tezde, infinitesimal sözcüğü Newton ve Leibniz’in kullandığı teknik bağlamda kullanılmıştır. 4 ˆ d4x′L(ϕ′ i(x ′), ∂ϕ′ i(x ′)) = ˆ d4xL(ϕi(x), ∂ϕi(x)) , ne tür bir korunum yasasına yol açacağına bakılabilir. (2.1)’den hareketle, eylemdeki integral elemanı d4x′ = d4x(1 + ∂δxµ ∂xµ ) , şeklinde dönüşecektir. Lagranjiyen alanlara, alanlar da koordinatlara bağlı olduğundan, ey- lemdeki toplam değişim δS = ˆ d4x ( ∂L ∂ϕi δϕi + ∂L ∂(∂µϕi) δ ( ∂ϕi ∂xµ ) + ∂ ∂xµ (Lδxµ) ) = 0 , olarak elde edilir. Burada, alan varyasyonu ile türevin yer değiştirebildiği göz önünde bulun- durulursa δS = ˆ d4x { ∂L ∂ϕi δϕi + ∂L ∂(∂µϕi) ∂i ∂xµ (δϕi) + ∂ ∂xµ (Lδxµ) } , = ˆ d4x {[ ∂L ∂ϕi − ∂ ∂xµ ( ∂L ∂(∂ϕi) )] δϕi + ∂ ∂xµ [ ∂L ∂(∂µϕi) δϕi + Lδxµ ]} bulunur. Alanların Euler-Lagrange denklemlerini sağladığı durumlarda ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) δϕi + Lδxµ ) = 0 , (2.2) sonucu elde edilir. Parantez içindeki terim Noether akımı olarak bilinir.2 Eğer bu akımın tüm uzay üzerinden integrali alınır ve Gauss teoremi uygulanırsa; ˆ d3x ∂0J0 = − ˛ ds⃗.J⃗ = 0 , bulunur ve d dt ˆ d3x J0 = 0 , ifadesine ulaşılır. Q = ´ d3x J0, tanımı yapılırsa, Q’nun sistemde zamanla değişmeyen bir nicelik olduğu açıkça görülür. Bu nicelik, Noether Teoremi’nin öngördüğü Lagranjiyenin in- finitesimal değişimler altında sahip olduğu değişmezliğin bir sonucu olarak sistemde var olan korunumlu fiziksel büyüklüğe karşılık gelir. Noether Teoremi’nin tersi hem klasik hem ku- antum teorisinde geçerlidir. Bu yükler her iki durumda da simetri grubunun jeneratörleridir. 2 (2.2) ifadesi uzay-zaman ötelemelerinden kaynaklı Lδxµ terimini içermektedir. Salt iç simetrilere odak- lanıldığında, yalnızca ilk terim kalır ve bu da Noether teoreminin alışılagelmiş ifadesidir. 5 Uzay zaman simetrilerinin yanı sıra, yalnızca iç uzayda yapılan dönüşümlerin de öneminin vurgulamak için, en basit anlamda klasik ve göreli olmayan bir alan kuramından, örneğin serbest Schrödinger Lagranjiyeni ile başlanabilir3: L = − 1 2m (∇⃗ψ∗).(∇⃗ψ) + i 2 ( ψ∗∂ψ ∂t − ∂ψ∗ ∂t ψ ) . (2.3) (2.3) ile verilen Lagranjiyene karşı gelen Euler-Lagrange eşitliklerinin, hareket denklemlerini (Schrödinger denklemini ve kompleks eşleniğini) verdiği gösterilebilir. Gerçekten de ψ alanı için, hareket denklemlerine ulaşılmak istendiğinde ∂L ∂ψ − ∂t ∂L ∂(∂0ψ) − ∇⃗. ∂L ∂(∇⃗ψ) = 0 , hesaplanarak −i∂ψ ∗ ∂t + 1 2m ∇⃗2ψ∗ = 0 , sonucu bulunur ki, bu kuantum mekaniğinden çok iyi bilinen Schrödinger denklemidir. Yine aynı şekilde ψ∗için yazılan Euler-Lagrange denkleminden ∂L ∂ψ∗ − ∂t ∂L ∂(∂0ψ∗) − ∇⃗. ∂L ∂(∇⃗ψ∗) = 0 , eşitliği elde edilerek, gerekli hesaplamalar yapıldığında i ∂ψ ∂t + 1 2m ∇⃗2ψ = 0 , ifadesine ulaşılır. Şimdi bu Laganjiyenin sahip olduğu simetri ve yol açtığı korunum yasala- rına bakılabilir: ψ → ψ′ = e−iθψ , ψ∗ → ψ∗′ = eiθψ∗ . (2.4) dönüşümleri altında Lagranjiyenin değişmez kaldığı aşikardır. (2.2) kullanılan Noether akımı inşa edilebilir: ∆jµ = ∂L ∂(∂µψ) ∆ψ + ∂L ∂(∂µψ∗) ∆ψ∗ (2.4) ifadesinden alanların infinitesimal değişimlerinin ∆ψ = −i∆θψ , 3Bu tezde ℏ = 1 = c doğal birim sistemi kullanıldığından, bulunan ifadeleri iyi bilinen formlara çevirmek için ℏ gibi sabitlerin uygun yerlere yerleştirilmesi gerekir. 6 ∆ψ∗ = i∆θψ∗ , olduğu görülebilir. Bu değişimler kullanılarak ∆jµ = −i∆θ [ ∂L ∂(∂µψ) ψ − ∂L ∂(∂µψ∗) ψ∗ ] , bulunur. ∆jµ = ∆θ jµ, tanımından faydalanarak jµ = −i [ ∂L ∂(∂µψ) ψ − ∂L ∂(∂µψ∗) ψ∗ ] , elde edilir. Korunum yasaları bileşenler cinsinden ∂µj µ = ∂0J 0 + ∂iJ i = ∂0 [ ∂L ∂(∂0ψ) ψ − ∂L ∂(∂0ψ∗) ψ∗ ] + ∂i [ ∂L ∂(∂iψ) ψ − ∂L ∂(∂iψ∗) ψ∗ ] = 0 , (2.5) şeklinde ifade edilebilir ve Lagranjiyenden ∂L ∂(∂0ψ) = i 2 ψ∗ , ∂L ∂(∇⃗ψ) = − 1 2m ∇⃗ψ∗ , ∂L ∂(∂0ψ∗) = − i 2 ψ , ∂L ∂(∇⃗ψ∗) = − 1 2m ∇⃗ψ , (2.6) kısmi türevleri hesaplanarak, bu korunum yasası ∂ ∂t (ψ∗ψ) + 1 2mi ∇⃗. ( ψ∗∇⃗ψ − ψ∇⃗ψ∗ ) = 0 , olarak elde edilir. Bu ifade, süreklilik denklemi olarak bilinen denklemdir. Noether akımının zaman bileşeni için j0 = ψ∗ψ , (2.7) ifadesinden, bu kuramdaki korunan büyüklük Q = ˆ d3x J0 = ˆ +∞ −∞ ψ∗ψ d3x , (2.8) şeklinde bulunur. (2.8)’in kuantum mekaniğindeki olasılığın korunumundan başka bir şey olmadığı açıklıkla görülmektedir. Yani, kuantum mekaniksel parçacıkların durumunu ifade 7 eden dalga fonksiyonu ψ’nin tek olarak kesin bir şekilde belirlenememesinden doğan faz serbestliği, olasılığın korunması gerektiği sonucunu doğurmaktadır. Buraya kadar olan tartışmalar göreli bir alan kuramına uygulanmak istenirse, daha sonraki tartışmalar açısından önemli olan Klein-Gordon denklemi ele alınabilir: Klein-Gordon denk- lemi, pozitif bir olasılık yorumu yapılamayacağından, kuantum mekaniksel perspektiften uy- gun bir denklem değildir. Ancak bu denklem, alan teorisi çerçevesinde kendine kullanım alanı bulmuştur. Örneğin π±mezonlarının betimlenmesi için başlangıçta önemli bir rol oynamıştır. Simetri-korunum yasaları perspektifinden, bu teoremin taşıdığı özellikleri yakından görmek için, karmaşık Klein-Gordon alanı için Lagranjiyen ele alınırsa, L = 1 2 ∂µϕ ∗∂µϕ− m2 2 ϕ∗ϕ , (2.9) bu ifadenin ϕ→ ϕ′ = e−iθϕ , ϕ∗ → ϕ∗′ = eiθϕ∗ , (2.10) dönüşümleri altında değişmez olduğu kolaylıkla görülebilir. Korunan yükün bulunması için öncelikle alanlardaki infinitesimal faz değişimleri ∆ϕ = −i∆θϕ , ∆ϕ∗ = i∆θϕ∗ , (2.11) olarak hesaplanabilir. Bu durumda Noether akımı ∆jµ = i∆θ 2 [ ∂L ∂(∂µϕ∗) ϕ∗ − ∂L ∂(∂µϕ) ϕ ] , formunda bulunarak, jµ = i 2 [(∂µϕ)ϕ∗ − (∂µϕ∗)ϕ] , tanımıyla j0 = i 2 [ (∂0ϕ)ϕ∗ − (∂0ϕ∗)ϕ ] , ve korunan yük Q = i 2 ˆ d3x ((∂0ϕ)ϕ ∗ − (∂0ϕ ∗)ϕ) , (2.12) olarak elde edilir. Son olarak kuantum Noether Teoremi çerçevesinde, (2.12) ifadesinin (2.10) ile verilen glo- 8 bal dönüşümün üreteci olduğu gösterilebilir: Kuantum uzayında bu dönüşümü gerçekleştiren işlemci U = e−iθQ , şeklinde tanımlandığında, infinitesimal dönüşümler U−1ϕU ≈ ϕ+ i∆θ[Q, ϕ] , U−1ϕ∗U ≈ ϕ∗ − i∆θ[Q, ϕ∗] , formunda ifade edilebilir. Bu ifadenin (2.11)’de verilen ifadelere eşdeğer olduğunun gös- terilmesi gerekir ki, bunun için Q işlemcisi cinsinden aşağıdaki komütasyon bağıntılarının sağlanması gerekir: [Q, ϕ] = −ϕ , [Q, ϕ∗] = ϕ∗ . (2.13) Bu bağlamda, öncelikle, LagranjiyendenΠ, Π∗ alan momentum işlemcileri elde edilmelidir: Π = ∂L ∂(∂0ϕ) = ∂0ϕ ∗ 2 , Π∗ = ∂L ∂(∂0ϕ∗) = ∂0ϕ 2 . (2.14) (2.14)’deki işlemciler cinsinden (2.12) yükü Q = i ˆ d3x (Π∗ϕ∗ − Πϕ) , (2.15) olarak ifade edilir. Alan işlemcileri arasındaki kuantum komütasyon bağıntıları [Π(y⃗, t), ϕ(x⃗, t)] = −iδ3(y⃗ − x⃗) , [Π∗(y⃗, t), ϕ(x⃗, t)] = 0 , [Π(y⃗, t), ϕ∗(x⃗, t)] = 0 , 9 kullanılarak, (2.13) komutasyonlarının gerçekten sağlandığı ve böylece korunumlu yükün gerçekten dönüşümün üreteci olduğu görülür[12]. 2.3.Yerel Simetriler Korunum Yasaları ve Ayar Kuramları Kuantum fiziğinin başlangıcından mevcut anlayış düzeyine ulaşılması yaklaşık yüz yıllık bir süreçte gerçekleşmiştir. 1900’de Max Planck’ın ilk kuantum makalesi ile başlayan serüven, 1930 ve 1940’larda par- çacık hızlandırıcılarının geliştirilmesiyle ivme kazanmıştır. Zira kazanılan bu teknolojik yet- kinliklemaddenin derinliklerine ulaşılması ve içyapısının daha derinden anlaşılması mümkün olmuştur. Bu serüven, ulaşılan bu gözlemsel bilgilerin bir düzene sokulması için, teorilerin aranması ve geliştirilmesi ve böylece oluşturulan teorilerin öngörülerinin yeni inşa edilen daha yüksek enerjili hızlandırıcılarda deneysel olarak sınanmasıyla günümüze kadar devam etmiştir. Bugün gelinen noktada fizikçilerin amacı, bilinen kuvvetlerin tümünü içeren tek bir kuram oluşturulabilmesidir. Bu doğrultudaki ilk adım, zayıf etkileşmelerle elektromanyetizmanın tek bir model çerçevesinde birleştirilmesi olmuştur. Bu birleşme, sistemlerin enerjileri art- tıkça simetrilerinin de artmasından kaynaklanmaktadır. Bu teoriler, yerel simetrilerin ayar teorileri olarak bilinmektedirler ve ortak özellikleri, kuvvet taşıyıcıların bu yerel simetrilerin gereği olarak sisteme doğal bir biçimde dahil edilmeleridir [10, 11]. Bugün doğayı açıklayan bütün kuramlar ayar simetrisine sahip kuramlardır. Ayar kuramları, global dönüşüm parametresinin uzay-zamana bağlı olduğu durumlarda, kuramların sahip ol- ması istenilen simetrilerdir. Tartışmayı derinleştirerek yerel simetrilerin önemini ortaya koymak için, geçen bölümde glo- bal simetriler incelenirken de üzerinde durulan karmaşık Klein-Gordon denklemi ele alınarak işe başlanabilir: Klein-Gordon denkleminin L = 1 2 ∂µϕ ∗∂µϕ− m2 2 ϕ∗ϕ , (2.16) ile temsil edilen Lagranjiyene ϕ→ ϕ′ = e−iθ(x)ϕ , ϕ∗ → ϕ∗′ = eiθ(x)ϕ∗ , dönüşümleri yapılırsa, (2.16)’in L → L′ = L+ 1 2 (∂µθ)(∂ µθ)ϕϕ∗ + i 2 (∂µθ)ϕ ∗←→∂µϕ , 10 şeklinde dönüştüğü, yani bu dönüşümler altında değişmez kalmadığı görülür. Yerel ayar dö- nüşümleri sonrasında Lagranjiyeni değişmez kılmak için, türevin kovaryant türevle değişti- rilmesi ve Dψ’nin ψ gibi dönüşmesi istenir. Kovaryant türev: Dµ = ∂µ + igAµ , (2.17) şeklinde tanımlanır ve (2.16) ifadesi L = 1 2 (Dµϕ ∗)(Dµϕ)− m2 2 ϕ∗ϕ , (2.18) şekline dönüşür. Kovaryant türevin Dϕ→ (Dµϕ) ′ = UDµϕ , şeklinde dönüşmesi gerektiğinden, (∂µ + igA′ µ)e −iθ(x)ϕ = e−iθ(x)(∂µ + igAµ)ϕ , eşitliğinden, Aµ alanının dönüşmüş hali A′ µ = Aµ + 1 g (∂µθ(x)) , olarak elde edilir. Dolayısıyla (2.18) ile verilen Lagranjiyen ϕ→ ϕ′ = e−iθ(x)ϕ , ϕ∗ → ϕ∗′ = eiθ(x)ϕ∗ , Aµ → A′ µ = Aµ + 1 g (∂µθ(x)) , yerel ayar dönüşümleri altında değişmez kalır [13]. (2.18) eşitliğineAµ alanının kinetik terimi eklenerek Lagranjiyen L = 1 2 (Dµϕ ∗)(Dµϕ)− m2 2 ϕ∗ϕ− 1 4 FµνF µν , (2.19) biçiminde elde edilir. (2.19)’da, Fµν alan şiddet tensörüdür ve Fµν = ∂µAν − ∂νAµ olarak verilir. Bu tensörün yukarıda belirtilen ayar dönüşümleri altında değişmez kaldığı kolaylıkla gösterilebilir. Sonuç olarak, Klein-Gordon Lagranjiyeninin yerel ayar dönüşümleri altında değişmez kı- lınmasıyla bu yüklü skaler alanların aralarındaki etkileşme sağlanmış olur. Bunu sağlayan, kuvvet taşıyıcı alan Aµ’dür. Yerel ayar simetrisinin kurama kazandırılmasında yatan şık- lık, global simetrinin yerelleştirilmesi, yani her uzay-zaman noktasında fazları birbirinden 11 bağımsız ayarlayabilme serbestisinin sisteme yerleştirilerek, sistemi oluşturan parçacıkların birbirleriyle etkileşiminin sağlanmasıdır. Bu yöntem Dirac alanı için de uygulanabilir. Dirac denklemini veren L = iψ̄/∂ψ −mψ̄ψ , (2.20) Lagranjiyenden başlanarak, yerel faz dönüşümleri ψ → ψ′ = e−iθ(x)ψ , ψ̄ → ψ̄′ = ψ̄eiθ(x) , altındaki değişim δL = (∂µθ(x))ψ̄γ µψ , olarak bulunur. (2.17)’a benzer şekilde Lagranjiyenin değişmezliğini sağlamak için, kovar- yant türev Dµ = ∂µ + igAµ , olarak tanımlanarak (Dµψ) ′ = UDµψ , dönüşüm kuralını sağlaması istenirse, Aµ alanının bir öncekine benzer şekilde Aµ → A′ µ = Aµ + 1 g (∂µθ(x)) , olarak dönüştüğü görülebilir. Böylece, ψ → ψ′ = e−iθ(x)ψ , ψ̄ → ψ̄′ = ψ̄eiθ(x) , Aµ → A′ µ = Aµ + 1 g (∂µθ(x)) , dönüşümleri altında (2.20) Lagranjiyeninin değişmez kaldığı gösterilmiş olur. Bu ifadeye, Aµ alanının kinetik terimi eklenerek, düzeltilmiş olarak, LQED = iψ̄ /Dψ −mψ̄ψ − 1 4 FµνF µν , 12 biçiminde yazıldığında, yüklü Dirac fermiyonlarının Maxwell alanları aracılığıyla etkileşi- mini veren Lagranjiyen elde edilmiş olur. Yapılan işlemler, ψ alanının daha genel bir simetri grubuna ait olması durumuna da genel- leştirilebilir. Bu genel durumda Dirac Lagranjiyeni L = iψ̄i/∂ψi −mψ̄iψi , olarak ifade edilebilir. Eğer kuramın yine yerel ayar simetrilerine sahip olması istenirse daha önceden de yapıldığı gibi türev işlemcileri kovaryant türevlerle değiştirilmelidir. θa(x) gerçel bir fonksiyon, T a ise , üniter grubunHermityen üreteçleri olmak üzere4, dönüşümlerin simetri grup elemanları U = exp[−iθa(x)T a] , olarak parametrize edilebilir. Anılan dönüşümler, ψ → ψ′ = Uψ , ψ̄ → ψ̄′ = ψ̄U−1 , (2.21) şeklinde tanımlanabilir. Aµ = T aAa µ veDµ = I∂µ + igAµ, tanımlamalarıyla, matris gösteri- mine geçilirse, (Dµψ) ′ = UDµψ , şartının sağlanması istendiğinden, (2.21) ifadelerinden (∂µ + igA′ µ)Uψ = (∂µU)ψ + U∂µψ + igA′ µUψ = U∂µψ + igUAµψ , eşitliğine ulaşılabilir. Aµ’nun dönüşmüş hali, böylece A′ µ = UAµU −1 + i g (∂µU)U −1 , olarak elde edilir. Özetlenirse, L = iψ̄i /Dψi −mψ̄iψi , 4Hermityen üreteçler, grubun [T a, T b] = ifabcT c , cebrini ve Tr[T aT b] = 1 2 δab , normalizasyonunu sağlar. 13 Lagranjiyeni ψ → ψ′ = Uψ , ψ̄ → ψ̄′ = ψ̄ U−1 , A′ µ = UAµU −1 + i g (∂µU)U −1 , (2.22) dönüşümleri altında ayar simetrisine sahip olarak inşa edilmiş olur. Bu aşamada, kurama ayar alanının dinamiğini verecek olan kinetik teriminin de eklenmesi gerekir. Alanın dönüşüm bağıntısının, (2.22), Maxwell teorisinden çok farklı olduğu göz önüne alı- narak, bu işin biraz daha zor olduğu görülebilir. İlk adım olarak, Maxwell ”şiddet tensörü” seçilerek, işe başlanabilir: Dönüşüm fµν → f ′ µν = ∂µA ′ ν − ∂νA′ µ , formunda yazılıp, Aµ’nun (2.22)’de verilen dönüşümleri bu ifadede yerine yerleştirilirse f ′ µν = ∂µ[UAνU −1 − 1 ig (∂νU)U −1]− ∂ν [UAµU −1 − 1 ig (∂µU)U −1] , bulunur. Bu ifade yeniden düzenlenerek f ′ µν = UfµνU −1 + U [Aµ, U −1∂νU ]U −1 − U [Aν , U −1∂µU ]U −1 + i g U [U−1∂µU,U −1∂νU ]U −1 , (2.23) biçiminde yazılabilir. Bulunan bu sonuç alan şiddet tensörünün, Maxwell tensöründeki fµν tensöründen çok farklı olması gerektiğini göstermektedir. Zira bu ifadedeki değişim sadece ek terimlerden dolayı değil, dönüşüm davranışı bakımından da farklılık olduğunu ortaya koyar. İlk adım olarak (2.23)’ten alanların matris tabiatı göz önünde tutularak, dönüşümün F µν → F ′µν = UF µνU−1 , (2.24) şeklinde olması beklenebilir. İkinci adım, (2.23)’teki ilk terim dışındaki ek terimlerin fµν’ye ig[Aµ, Aν ] gibi bir terim eklenerek yok edilebileceğidir. Gerçekten de, bu yeni terimin dönü- 14 şümüne bakılırsa ig[Aµ, Aν ] = igU [Aµ, Aν ]U −1 + i g U [U−1∂νU −1, U−1∂µU ]U −1 + U [Aν , U −1∂µU ]U −1 − U [Aµ, U −1∂νU ]U −1 , (2.25) bulunur. (2.23) ve (2.25) ifadelerinde ek terimler, beklenildiği gibi birbirini götürür. Bu sa- yede, Yang-Mills alan-şiddet tensörü F µν = ∂µAν − ∂νAµ + ig[Aµ, Aν ] , şeklinde tanımlanarak ayar dönüşümleri altında (2.24) gibi dönüşen bir ifade elde edilmiş olur. Lagranjiyene eklenecek olan kinetik terimi belirlemek için, (2.24) dönüşüm bağıntısı dikkate alınarak, Tr[F 2]’nin değişmez kaldığı göstermek yeterlidir: Tr[F ′µνF ′ µν ] = Tr[UF ′µνU−1UF ′ µνU −1] = Tr[F µνF µν ] . Buradan hareketle, L = −1 2 Tr(F µνFµν) , bulunur. Matris gösteriminde Fµν ≡ T aF a µν , şeklindedir. Toplam Lagranjiyen böylece L = −1 2 Tr(F µνFµν) + iψ̄i /Dψi −mψ̄iψi , olarak elde edilir. Yang-Mills kuramının sahip olduğu bu estetik ve geometrik özellikler, onu parçacıkların Standart Model’inin omurgası haline getirmiştir [12, 14, 15, 16]. 15 3.STANDART MODEL VE HİGGS MEKANİZMASI 3.1.Giriş Parçacık fiziğinin Standart Modeli (SM), mevcut gözlemsel veri ile uyumlu, gözlemlenmiş tüm temel parçacıkları ve onların güçlü, elektromanyetik ve zayıf etkileşmelerini tarif eden kuramsal bir yapıdır. Standart Model matematiksel olarak SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)Y ayar alanı kuramı ile ifade edilir. Burada SU(3)C proton ve nötronun çekirdek içinde dağıl- madan bir arada kalmasını sağlayan güçlü etkileşimleri ifade eder. SU(2)L ⊗ U(1)Y yapısı ise atom çekirdeğinin beta bozunmasından sorumlu zayıf etkileşimleri ve kuvvetli elektro- manyetik etkileşimleri aynı çatıda birleştirebilme amacından kaynaklanmıştır. Burada elekt- romanyetizmanın kırılmamış bir simetriye karşı gelen sonsuz menzilinin garanti edilmesi kendiliğinden simetri kırılma mekanizması ile sağlanır[17]. Bir önceki bölümde, global simetrilerin korunum yasalarıyla bire bir ilgili olduğu, yerel ayar simetrilerinin ise maddenin birbiriyle olan etkileşimini betimleyen eylemin inşa edilmesinde adeta bir rehber gibi yol gösterici rol oynadıkları anlaşılmıştı. Bu incelemelerden yapılacak çıkarsamaların ilki doğada korunum yasası olarak karşılaşılan niceliklerin kuramlara global simetriler yoluyla aktarıldığıdır. Buna göre Standart Modelin hiç kuşkusuz belli başlı global simetrileri içermesi gerektiği ortadadır. Yerel simetrilere sahip ayar kuramlarının önemli bir özelliği, yerel ayar simetrilerinin Lag- ranjiyene doğrudan kütle terimi eklenmesine izin vermemeleridir. Standart Model de bir ayar kuramı olduğundan, modelde var olan kuvvet taşıyıcı alanların kütlesiz olacağı aşikardır. Kütlesiz bozonların sonsuz menzilli olduğu bilindiğinden, sadece atom çekirdeğinin içine etki eden zayıf kuvvetlerin doğasının neden bu şekilde olduğu sorusu cevapsız kalır. Hal- buki yalnızca çekirdek içi gibi oldukça kısa bir menzilde etkin olan kuvvetlerin oldukça küt- leli olması gerektiği aşikardır. Karşılaşılan bu güçlüklerin Higgs mekanizmasıyla aşılabildiği gösterilmiştir. Bu yöntem, Lagranjiyene doğrudan kütle terimi eklenmesine gerek kalmadan, zayıf etkile- şimlerin taşıyıcı vektör bozonlarına kütle kazandırılmasına olanak sağlar. Bu mekanizmanın sonucu olarak ortaya çıkan ve Higgs bozonu olarak bilinen parçacık LHC’de gözlenmiş, ken- diliğinden kırılan simetri mekanizması böylelikle deneysel olarak doğrulanmıştır. Bu simetri kırılması mekanizmasıyla kuramın baştan içerdiği simetri SU(2)L ⊗ U(1)Y → U(1)EM şeklinde kırılarak, nihai olarak elde elektromanyetik kuramın sahip olduğu simetrinin kal- ması sağlanmıştır. Kendiliğinden simetri kırılmasının Standart Model’deki önemi nedeniyle bu mekanizmayı yakından incelemekte fayda vardır. 16 3.2.Simetrilerin Nambu-Goldstone Modu Nambu-Goldstone modu, esas olarak, Higgs mekanizmasının global simetriler söz konusuy- ken geçerli hali olduğundan, Higgs mekanizmasına geçmeden önce bu kilometre taşı özelli- ğindeki teoremi anlayıp, sonuçlarını değerlendirmekte fayda vardır: Nambu-Goldstone modunun da bir öncülü olarakWigner-Weyl modunun kavranması önem- lidir. Wigner-Weyl teoremi; eylemin sahip olduğu simetrilerin, vakum tarafından taşınması durumunda, dejenere kütle multipletlerinin varlığını öngörür. Bu durumda dönüşümün üreteçleriyle (Gi), Hamiltonyen ve |0⟩ ile temsil edilen vakum du- rumu arasında [Gi, H] = 0 ; U |0⟩ = |0⟩ , şeklinde bir bağıntı vardır. Teoremi ispatlamak için, U−1ϕaU = Rabϕb , dönüşüm bağıntısı ile başlanırsa; ve ϕa alanının p⃗momentumlu tek parçacık kuantum durumu |p⃗; a⟩ ile temsil edilmek üzere, U−1 |p⃗; a⟩ = Rab |p⃗; b⟩ , (3.1) şeklinde dönüştüğü gösterilebilir[18]. Durgun haldeki tek-parçacık kuantum durumu H |p⃗; a⟩rest = ma |p⃗; a⟩rest , (3.2) bağıntısını sağlayacaktır. Şimdi Hamiltonyenin [H,U−1] = 0 , ile gösterilecek değişmezlik bağıntısı, bu |p⃗; a⟩rest durumuna uygulanırsa, [H,U−1] |p⃗; a⟩rest = 0 , bulunur. İfade açık olarak yazıldığında, HU−1 |p⃗; a⟩rest − U −1H |p⃗; a⟩rest = 0 , (3.3) ve (3.1), (3.2) bağıntıları kullanıldığında,(3.3) ifadesi H Rab |p⃗; b⟩rest − U −1ma |p⃗; a⟩rest = 0 , 17 olarak elde edilir. İfade düzenlenirse, RabH |p⃗; b⟩rest − U −1ma |p⃗; a⟩rest = 0 , ve Rab(mb −ma) |p⃗; b⟩rest = 0 , sonucuna ulaşılır. Rab keyfi olduğundan ma = mb, olarak bulunur. Görüldüğü gibi vakum ve Hamilton işlemcisinin aynı simetriye sahip olması çakışık (dejenere) kütleli durumların olduğunu söylemektedir. Bu aşamadan sonra böyle global bir simetri dönüşümünün vakum ve Hamiltonyen işlemcisi tarafından tam olarak paylaşılmadığı simetri durumlarında ne olacağı ele alınacaktır. Bu du- rum, global simetriler için kendiliğinden kırılma mekanizmasına yol açan Nambu-Goldstone Teoremi olarak bilinir. Nambu-Goldstone Teoremi [H,U ] = 0 ve bazı i değerleri içinGi |0⟩ ̸= 0, olması durumunda sıfır kütleli uyarılmış durumların olduğunu söyler. İlk olarak U−1ϕaU = Rabϕb , simetri dönüşümünün infinitesimal haline bakılırsa, [Gi, ϕa(x)] = −(gi)abϕb(x) , bulunur. Burada gi’ler Rab = ( e−iθigi ) ab , parametrizasyonu ile tanımlanmıştır. Ardından bu ifadenin vakum beklenen değeri incele- nirse, ⟨0| [Gi, ϕa(x)] |0⟩ = −(gi)ab ⟨0|ϕb(x) |0⟩ , (3.4) olduğu görülür. Eldeki durumda, bazı ”i” değerlerinde, Gi |0⟩ ≠ 0, olduğu için, Gi |0⟩ = |0⟩i , kullanılarak, |0⟩ ile dejenere (yani aynı enerji özdeğerine sahip) başka vakum durumlarının olduğu görülebilir. Teoremi ispatlamadan önce, sıfırdan farklı vakum beklenen değerine ancak skaler (spinsiz) alanların sahip olabileceğini göstermek uygundur. 18 Bu durumun açık bir şekilde görülebilmesi için, örneğin vektör ve spinör alanlarının vakum beklenen değerinin sıfırdan başka değer alamayacağı gösterilebilir. Vektör bir alan Lorentz dönüşümleri altında, V µ → Λµ νV ν , gibi dönüşür. Bu Lorentz dönüşümlerinin kuantum Hilbert uzayındaki karşılığı ise U−1 (λ)V µU(λ) = Λµ νV ν , (3.5) şeklindedir. (3.5) ifadesinin infinitesimal dönüşümler altındaki hali ise [n⃗.J⃗ , V i] = −iλijV j , biçiminde bulunur. Burada Ji’ler Lorentz grubunun kuantum üreteçleridir1. Bu ifadenin va- kum beklenen değeri ⟨0| [n⃗.J⃗ , V i] |0⟩ = −iλij ⟨0|V j |0⟩ , olarak yazılır. Vakum Lorentz dönüşümleri altında değişmez olduğundan, Ji |0⟩ = 0 bağın- tısını sağlar. Dolayısıyla vektör alanı için ⟨0|V k |0⟩ = 0 , koşulu elde edilir. Eğer aynı inceleme spinör alanlar için yapılırsa, ψ′(x′) = S(x)ψ(x), dönüşüm özelliğinden yararlanılarak, spinör alanları için de vakum beklenen değerinin sıfır olması gerektiği görü- lebilir. Skaler alanların Lorentz dönüşümleri altında U−1ϕ(x)U = ϕ′(x′) = ϕ(x) , şeklinde dönüşmesinden kaynaklı olarak, Ji’ler Lorentz dönüşümünün üreteçleri olmak üzere, [Ji, ϕ] = 0, koşulunun sağlanması gerektiğinden, bu yolla ϕ alanlarının vakumun beklenen değeri üzerine herhangi bir bağ koşulu gelmez. Teoremi ispatlamak için, (3.4) ifadesiyle işe başlanabilir. Vakumun uzay zaman ötelenme- leri altında değişmez olması özelliğinden, (3.4) eşitliğinin sağ tarafının da uzay-zamandan bağımsız olması gerektiği görülebilir. 1λ Lorentz cebirinin, ve Λ = ewλ ifadesiyle tanımlanan Λ Lorentz grubunun elemanlarıdır. 19 Simetri üreteçleri, Noether teoremi uyarınca Gi(t) = ˆ d3yJ0 i (t, y⃗) , (3.6) olarak ifade edilir ve zamandan bağımsızdır. Dolayısıyla Gi(t) herhangi bir anda tanımla- nabilir. Bu spesifik t, t = 0, ya da t = x0, olarak seçilebileceği gibi, tamamen keyfi de bı- rakılabilir. Burada tartışma t = y0, keyfi seçimi ile sürdürülecektir. (3.6) kullanılarak, (3.4) yeniden yazılırsa, ˆ d3y ⟨0| [Ji(y⃗, y0), ϕa(x⃗, x0)] |0⟩ = −(gi)ab ⟨0|ϕb(0) |0⟩ ̸= 0 , (3.7) denklemine ulaşılır. Enerji öz durumlarının tamlık ifadesi∑ n |n⟩ ⟨n| = I , (3.7) eşitliğinin sol tarafına yerleştirilirse, ˆ d3y ⟨0| [Ji(y⃗, y0), ϕa(x⃗, x0)] |0⟩ =∑ n ˆ d3y ⟨0| Ji(y⃗, y0) |n⟩ ⟨n|ϕa(x⃗, x0) |0⟩− ∑ n ˆ d3y ⟨0|ϕa(x⃗, x0) |n⟩ ⟨n| Ji(y⃗, y0) |0⟩ , bulunur. Vakumun Poincare değişmezi olma özelliği eip.x |0⟩ = |0⟩ , ve ötelenme ifadeleri J0 i (x) = eip.xJ0 i (0)e −ip.x , ϕa(x) = eip.xϕa(0)e −ip.x , birlikte kullanılarak, (3.7) eşitliğinin sol tarafından ˆ d3y ⟨0| [Ji(y⃗, y0), ϕa(x⃗, x0)] |0⟩ =∑ n ˆ d3y [ ei(p.x−p.y) ⟨0| Ji(0) |n⟩ ⟨n|ϕa(0) |0⟩ − ei(p.y−p.x) ⟨0|ϕa(0) |n⟩ ⟨n| Ji(0) |0⟩ ] , elde edilir. Şimdi y⃗ integrali alınırsa, ˆ d3y e±ip⃗.y⃗ = (2π)3δ(p⃗) , 20 bağıntısı kullanılarak ˆ d3y ⟨0| [Ji(y⃗, y0), ϕa(x⃗, x0)] |0⟩ =∑ n (2π)3δ(p⃗) [ eip 0 n(x0−y0) ⟨0| Ji(0) |n⟩ ⟨n|ϕa(0) |0⟩ − eip 0 n(y0−x0) ⟨0|ϕa(0) |n⟩ ⟨n| Ji(0) |0⟩ ] , ifadesine ulaşılır. (3.7) ifadesinin sağ tarafının sıfırdan farklı ve zamandan bağımsız olduğu hatırlanırsa, bu durum, eşitliğin sol tarafının en az bir n değeri için, ⟨0| Ji(0) |n⟩ ⟨n|ϕa(0) |0⟩ ≠ 0 , şartını sağlamasını ve zamandan bağımsızlık şartı gereğince de P 0 n = 0, olmasını gerekli kılar. Demek ki, bu n durum için m2 n = (p0n) 2 − (p⃗)2 = 0 , olması gerekir. Böylece teoremin isapatı tamamlanmış olur. Sıfır kütleli uyarılmış alan du- rumlarına Nambu-Goldstone bozonları adı verilir[18]. Simetrilerin realizasyonuna ilişkin bu iki farklı mod, basit bir model üzerinden örneklenmek istenirse, U(1) faz simetrisine sahip, bir kompleks skaler alan modeli göz önüne alınabilir ve bu durumda sistemi betimleyen L = 1 2 (∂µϕ) ∗(∂µϕ)− V (ϕ) ; V (ϕ) = λ(ϕ∗ϕ− f)2 , λ > 0 , Lagranjiyenin, gerçekten de ϕ → ϕ′ = e−iλϕ, global dönüşümü altında değişmez olduğu görülebilir[18]. Eylem ve vakumun aynı simetriyi paylaşması ya da paylaşmaması, simetrinin iki farklı bi- çimde temsil edilmesi anlamına geldiği için, öncelikle potansiyel terimine yoğunlaşılıp va- kumun beklenen değerinin bulunması gerekir. Bu amaçla V (ϕ) = λ(|ϕ|2 − f)2 , potansiyelinin minimumlarının bulunması gerekir: ∂V (ϕ) ∂ϕ = 4λϕ∗(|ϕ|2 − f) = 0 , ∂V (ϕ) ∂ϕ∗ = 4λϕ(|ϕ|2 − f) = 0. Bu ifadelerden görüleceği gibi alanların ekstremumları ϕ = ϕ∗ = 0 ve ϕ∗ϕ = f , durumla- rında oluşmaktadır. 21 Şekil 3.1: Wigner-Weyl Modu Durumunda Potansiyelin Şekli[19] Burada f ’nin işaretinin çok belirleyici bir rol oynadığı açıktır. Şöyle ki, f < 0, için ikinci türevin işaretine bakılırsa, Şekil (3.1)’de gösterildiği gibi kuram için vakumun (potansiyelin minimumu), alanların var olmadığı durumda (ϕ = 0) oluştuğu görülebilir. Dolayısıyla ya- pılacak ϕ → ϕ′ = e−iλϕ, global dönüşümü vakumu etkilemeyecektir; hem eylem hem de vakum bu global dönüşümün simetrisini birlikte paylaşmaktadırlar. Parçacık spektrumunu görmek için, alan ϕ = ϕ1 + iϕ2 şeklinde iki gerçel alan cinsinden bileşenlerine ayrılarak potansiyel ifadesine bakılacak olursa, V (ϕ) = λ(ϕ∗ϕ+ |f |)2 = λ(ϕ2 1 + ϕ2 2 + |f |)2 , olduğu görülür. Bu durumda, kinetik terimle birlikte, Lagranjiyen L = 1 2 (∂µϕ1) 2 + 1 2 (∂µϕ2) 2 − λ|f |ϕ2 1 − λ|f |ϕ2 2 + (ϕ1ϕ2 etkileşim terimleri) , biçiminde elde edilir. Bu Lagranjiyen için parçacık spektrumuna bakıldığında, iki tane √ 2λ|f | kütleli parçacık bulunduğu göze çarpar. Önceden incelendiği gibi vakumun ve eylemin aynı simetriyi paylaştığı durumlarda Wigner-Weyl modu koşulu sağlanarak iki eş kütleli parçacık ortaya çıkmaktadır[19]. Aynı modelde f > 0 durumunda, Nambu-Goldstone modunun elde edilebileceği gösteri- lebilir. Lagranjiyen hala ϕ → ϕ′ = e−iλϕ, dönüşümü altında değişmezdir. Ancak alanın değerinin minimum olduğu değer bir önceki gibi sıfır değildir. Potansiyelin ikinci türevinin işaretine bakılarak ϕ∗ϕ = f denklemini sağlayan sonsuz sayıda minimum oluştuğu görüle- bilir. 22 Şekil 3.2: Nambu-Goldstone Modu Durumunda Potansiyel Kompleks alan, iki farklı şekilde parametrize edilebilir: ϕ = ϕ1 + iϕ2 = ρe i ξ√ f . (3.8) Polar alanlar cinsinden, Lagranjiyen L = 1 2 (∂µρ) 2 + ρ2 2f (∂µξ) 2 − V (ρ) , V (ρ) = λ(ρ2 − f)2 , şeklindedir. Potansiyelin ekstremum değerlerini bulmak için, türevler alınarak V ′(ρ) = 2λρ(ρ2 − f) = 0 , elde edilir. Minimum değer için, ikinci türevin işareti incelenirse V ′′(ρ) = 6λρ2 − 2λf < 0 ρ = 0 > 0 ρ = √ f , ve bu ifadeden ρ2min = f = v2 , 23 olduğu görülür. Vakumun etrafındaki kuantum dalgalanmalarına bakmak için ρ alanı ρ = h+ v , şeklinde tanımlanabilir. Yapılan yeni tanımla, Lagranjiyen L = 1 2 (∂µ(h+ v))2 + (h+ v)2 2f (∂µξ) 2 − V (ρ) , V (ρ) = λ ( (h+ v)2 − f )2 , (3.9) = 1 2 (∂µh) 2 − 4λv2h2 + 1 2 (∂µξ) 2 − 4λvh3 − λh4 + (ξh etkileşim terimleri) , biçiminde bulunur. (3.9) ifadesinde parçacık spektrumu incelendiğinde, Nambu-Goldstone teoreminin öngördüğü şekildemh = √ 8λv2 vemξ = 0, olmak üzere biri kütleli biri kütlesiz iki parçacık olduğu görülür[12, 14, 18]. 3.3.Kendiliğinden Simetri Kırılması ve Higgs Mekanizması Şu ana kadar global simetri üzerinden yapılan hesaplamalar yerel ayar simetrileri durumuna taşınırsa, Higgs mekanizması ile karşılaşılır. Aslında Higgs mekanizması yerel ayar simetri- leri ile kendiliğinden kırılan simetri olayının birleşimidir. Bu mekanizmanın sunduğu yenilik ise, kendiliğinde kırılan simetri sonucu ortaya çıkan kütlesiz parçacığın, etkileşimi sağlayan alan tarafından yutularak, Lagranjiyenden ayıklanabilmesidir. Bu sayede, başlangıçta kütle- siz olan vektör alana, ayar simetrisini bozmadan kütle kazandırabilmenin yolu açılmış olur. Bu mekanizma yine ayar simetrisine sahip kompleks skaler alan örneği üzerinde incelenebi- lir: Öncelikle, yerel ayar simetrisine sahip skaler Higgs alanı göz önüne alınırsa Lagranjiyen L = 1 2 (Dµϕ)†(Dµϕ)− 1 4 fµνfµν − V (ϕ) , (3.10) şeklinde yazılabilir. Burada,V (ϕ) = λ(ϕ∗ϕ−f)2, formundadır. Lagranjiyen yerel alan simet- risine ve f > 0, için potansiyel sonsuz sayıda minimuma sahiptir. Minimumların herhangi bir tanesinin vakum olarak seçilmesi durumunda simetri kendiliğinden kırılır. Vakumu belirlemeden önce, ayar dönüşümü altında vektör alanın ve skaler alanının nasıl dönüşeceğini anlamak önemlidir. Öncelikle ϕ→ ϕ′ = e−igλϕ , Aµ → A′ µ = Aµ + ∂µλ , (3.11) ayar dönüşümlerinin, ξ√ f = θ tanımı yapılarak, bu dönüşümlerin ρ ve θ üzerine etkisine bakıldığında, ϕ→ ϕ′ = e−igλρeiθ = ρei(θ−gλ) , (3.12) 24 ρ→ ρ′ = ρ , (3.13) θ → θ′ = θ − gλ , (3.14) bulunur. Dönüşümlerin ϕ1 ve ϕ2 alanlarındaki karşılıkları ise ϕ1 → ϕ′ 1 = ρ cos θ′ = ρ cos(θ − gλ) , ϕ2 → ϕ′ 2 = ρ sin θ′ = ρ sin(θ − gλ) , şeklindedir. (3.14)’den görüleceği gibi, λ = 1 g θ , seçimi ile (3.11) , (3.13) ve (3.14) ifadeleri Aµ → A′ µ = Aµ + 1 g ∂µθ , ρ→ ρ′ = ρ , θ → θ′ = 0 , formunda elde edilirler. Yani, bu ayar seçimi ile θ alanı yok edilmiştir. Yine bu seçimin ϕ1ve ϕ2 alanları üzerine etkisi ϕ1 → ϕ′ 1 = ρ cos θ′ = ρ , ϕ2 → ϕ′ 2 = ρ sin θ′ = 0 , şeklinde olduğundan, bu parametrizasyonda ϕ2 alanının ayıklanması söz konusudur. Bu aşa- mada vakum seçimine dönülecek olunursa, potansiyel V (ρ) = λ(ρ2 − f)2 , formundadır ve potansiyelin minimum olduğu değer, V ′(ρ) = 2λρ(ρ2 − f) = 0 , ifadesinden ρ2m = f = v2 , şeklinde bulunur. Dolayısıyla, bu minimum değerlerden birisi vakum durumu olarak seçile- rek ve vakum değeri civarında kuantum dalgalanmaları h ile gösterilmek üzere, polar para- metrizasyonda ϕ′ = ρ = h+ v , 25 yazılabilir. Bu aşamadan sonra, dönüşmüş alanlar için Lagranjiyen L = 1 2 (∂µh) 2 − 4λv2h2 + 1 2 g2v2A′ µA ′µ − 1 4 f ′µνf ′ µν + g2vA ′2 µ h+ 1 2 g2A ′2 µ h 2 − 4λvh3 − λh4 , (3.15) formunda bulunur2. Sonuç olarak, (3.15) ifadesindeki parçacık spektrumuna bakılırsa, √ 8λv2 kütleli skaler bir parçacığın yanı sıra, daha önceden kütlesiz olan vektör alanın da kütle kazandığı görülür. Böylece kendiliğinden kırılan simetri mekanizması ile vektör alanlara kütle kazandırılmış olur. (3.15) ifadesinden görüleceği üzere, Aµ alanı kütle kazanarak yeni bir serbestlik derecesine kavuşmuştur. Bu serbestlik derecesinin nereden geldiği kuramın üniter kalması ve renor- malize edilebilmesi açısından önem taşır. Nambu-Goldstone teoremince öngörülen kütlesiz parçacık, ayar dönüşümü tanımlanarak Lagranjiyenden ayıklanmıştı. Dolayısıyla Aµ alanı- nın kazandığı yeni serbestlik derecesinin, yok olan ξ alanının Aµ’nun yapısına “boylamsal” (longitidunal) bileşen olarak katılmasından geldiği görülebilir: A′ µ = Aµ + 1 gv ∂µξ . Yapılan tartışma daha yüksek simetri içeren herhangi bir Yang-Mills alanına da genişletile- bilir. Ancak Standart Model’in temelini oluşturan Elektro-Zayıf Model çerçevesinde karşıla- şılması nedeniyle, SU(2) simetri grubu için yapılacak inceleme önemlidir. Kovaryant türev, matris temsilinde Dµ = I∂µ + igAa µ τa 2 , ve Higgs alanı polar gösterimde Φ = e i τ⃗ .ϕ⃗√ f ( 0 H ) = V Φ0 , (3.16) olarak ifade edilebilir. Burada V = e iτ⃗ . ϕ⃗√ f ve Φ = ( 0 H ) , 2 Buradaki alanlar, dönüşmüş olmaları nedeniyle üslü olarak gösterilmektedirler. Ancak üniter ayar dönü- şümü sonrası, dönüşmüş alanların fiziksel alanlar oldukları kabul edilerek, artık üs kullanılmadan gösterilebi- lirler. 26 formundadır. Ayar dönüşümleri altında alanlar ψ′ = Uψ , (Dµψ) ′ = U(Dµψ) , Φ′ = UΦ , (DµΦ) ′ = U(DµΦ) , A′ µ = UAµU −1 + i g (∂µU)U −1 , (3.17) şeklinde dönüşür. Ayar dönüşümü U = V −1 , (3.18) seçimi yapılarak gerçekleştirilirse, Higgs alanında önemli ölçüde yalınlaşma meydana gelir ve daha sonra yapılacak hesaplarda da büyük kolaylık sağlanmış olur. Bu dönüşüm altında Higgs alanının değişimi Φ→ Φ′ = UV Φ0 = Φ0 = ( 0 H ) , (3.19) şeklindedir. Bu durumda kovaryant türev incelenirse, (DµΦ) ′ = D′ µΦ0 , olması gerektiği görülür. Böylece, Higgs alanının hem kinetik hem potansiyel terimlerinde, sadece Φ0 alanı kalır ve bu ifadeler önemli ölçüde yalınlaşır. (3.17) dönüşümleriyle (3.10) Lagranjiyenindeki kinetik enerji terimi (D′ µΦ0)(D ′µΦ0) = g2H2 [ A1 µA µ 1 + A2 µA µ 2 + A3 µA µ 3(∂µϕ)(∂µϕ) ] , formuna indirgenirken, potansiyel terimi (3.18) ve (3.19) ifadelerinden V (H) = λ(H2 − f)2 , şeklinde oldukça sade bir biçimde yazılabilir. Yapılacak vakum seçimi için potansiyelinmini- mum olduğu değer daha önce yapılan hesaplara benzer olarak,H alanına göre türev alınarak bulunabilir: H2 m ≡ v2 = f . Bu değerlerdenHm = v, seçilerek, teorinin bu vakum etrafında kuantize edilebilmesi için, h 27 kuantum dalgalanma alanının hesaba katılması gerekir: Φ0 = ( 0 h+ v ) . (3.20) Higgs alanının işe katılmasıyla kütlesiz vektör alanların nasıl kütle kazandığının gösterilmesi için, vektör alanlara kütle kazandıracak terime odaklanılırsa, DµΦ0|h=0 = ( I∂µ + igτ⃗ .A⃗ )(0 v ) = igv ( A1 − iA2 −A3 ) , ve dolayısıyla 1 2 (DµΦ0) †(DµΦ0) ∣∣∣∣ h=0 = g2v2 2 (A2 1 + A2 2 + A2 3) , bulunur. Bu ifadeden Higgs mekanizması sayesinde vektör alanın gv şeklinde bir kütle edin- diği görülmektedir. Sonuç olarak, (3.10) Lagranjiyeninden başlanarak ve teorideki ayar ser- bestisinden yararlanılarak alanların Higgs alanının vektör kısmının yok edilecek şekilde ye- niden tanımlanmasıyla ulaşılan L = −1 4 F µν aF a µν + g2v2 2 (A2 1 + A2 2 + A2 3)+ 1 2 (∂µh)(∂ µh)− 4λv2h2 − 4λvh3 − λh4 + etkileşim terimleri , Lagranjiyeninden parçacık spektrumunu açıkça görmek mümkündür. Vektör alanlar gv küt- lesini, Higgs parçacığı ise √ 8λv2 kütlesini kazanmıştır[12]. 3.4.Standart Modelde Higgs Mekanizması Standart Model elektromanyetizma ve zayıf etkileşmeleri bünyesinde toplamış; ayrıca de- neylerle de defalarca doğrulanarak büyük birleşik alan kuramı oluşturma yolunda önemli bir kilometre taşı olarak bilim tarihinde hak ettiği yeri almıştır. Sonradan güçlü etkileşimlerin de modele dahil edilmesiyle doğanın üç temel etkileşiminin başarılı bir şekilde tek bir kuram çatısı altında toplanması mümkün olmuştur. Standart Model’in bu büyük ihtişamının güvencelerinden biri hiç tartışmasız bir şekilde kura- mın renormalize edilebilen ayar alanları üzerine inşa edilmiş olmasıdır. Kütleli ayar alanları- nın renormalize olmadığı, kütlesiz ayar alanlarınınsa renormalize olduğu ’t Hooft ve Veltman tarafından gösterilmiştir[20]. Bu katkı sayesinde kuram matematiksel olarak tutarlı, ya da bir başka deyişle herhangi bir kuramda var olması beklenilen fiziksel öngörü yeteneğine sahip- tir. Ancak ayar simetrisinin Lagranjiyende kütleli hiç bir terime izin vermemesi durumu göz önüne alındığında, kuramın bir gerçeklik sorunuyla karşı karşıya olduğu söylenebilir[10, 11]. Zayıf etkileşimlerin sadece çekirdek içi gibi kısa mesafelerde kendini göstermesi durumu, bu 28 etkileşimlerin taşıyıcı parçacıklarının kütleye sahip olmaları gerektiği gerçeğini açığa vurur. Bununla beraber, leptonların da kütlesiz olarak Lagranjiyende bulunması zorunluluğu göz önüne alındığında, gerçeklik sorununun bu iki temelde (yani, kuvvet taşıyıcılar, lepton ve kuarklara kütle kazandırma gereksinimi) yükseldiği açık ve nettir. Newton’dan başlayarak fiziksel formülasyona giren kütlenin, doğadaki üç temel kuvveti bir araya getirme iddiası olan bir modelde içerilmemesi, hiç kuşkusuz kulağa ”gerçekçi” gelmemektedir. Bu önemli sorunun aşılmasında ve kütlenin doğasının anlaşılmasında Higgs fiziği büyük öneme sahiptir. Kuramda mevcut olan kütlesiz alanlar ve parçacıklar sorununun giderilmesi için, matematiksel tutarlılıktan vazgeçilmesi beklenemeyeceğine göre, ayar simetrilerinin ko- runarak, modelde var olan kütle sorununa çözüm getirilmesi daha yerinde bir seçenektir. Bunu gerçekleştirmenin şık bir yolu, kuramın baştan içerdiği simetrilerin, Higgs mekanizma- sıyla kırılıp vektör alanlara kütle kazandırılmasıdır. Fermiyon alanlara (lepton ve kuarklar) bakıldığında mψ̄ψ şeklindeki terimlerin Lagranjiyende bulunması halinde ayar simetrisinin kırılması söz konusudur. Dolayısıyla, bu tip kütle terimlerinden vazgeçilerek, fermiyon küt- lelerinin modele başka şekilde dahil edilmesi gerekir. Bunun da yolu Higgs alanıyla fermiyon alanları arasındaki Yukawa etkileşiminden geçmektedir[19]. Standart Model’in matematiksel olarak formülasyonundan önce, zayıf etkileşimler üzerine yapılan pek çok çalışma fazlasıyla yol gösterici nitelik taşır. Zayıf etkileşime giren lepton ve hadronların izospin simetrisi gösterdiği ve zayıf etkileşimlerde paritenin korunmadığı ger- çeği, modelin SU(2)L, grubuyla temsil edilebileceği fikrini verir. Bu zayıf izospin kuan- tum sayısının yanı sıra, etkileşimlerin temsili için zayıf hiperyük kuantum sayısı da (dola- yısıyla simetrisi) yapıya dahil edilebilir. Böylece zayıf etkileşimler için grup yapısı olarak SU(2)L ⊗ U(1)Y , önerilebilir. Ancak zayıf etkileşimlerde bu iki kuantum sayısı da korun- mayıp sadece elektriksel yük korunduğundan zayıf etkileşimlerin başta sahip olduğu simet- rinin kırılması gerekir. Elektrik yükü korunduğu için, sistemde kalan tek simetri U(1)EM , olmalıdır[15]. Yol haritası oluşturulduktan sonra, dikkat edilecek tek husus yüklerin ve alanların doğru bir şekilde seçilmesidir. Kolaylık açısından sadece birinci nesil parçacıklarla ilgilenilirken, ku- arklar bir kenara bırakılarak, öncelikle leptonlar üzerine yoğunlaşılabilir. Yapılacak olan tar- tışma daha sonradan kuarklar işin içine dahil edilerek genişletilebilir. Buna göre kuantum sayıları Alanlar İzospin Kuantum Sayısı: I Hiperyük: Y Elektrik Yükü: Q=I3 + Y /2 νe 1 2 -1 0 eL −1 2 -1 -1 eR 0 -2 -1 Φ+ 1 2 1 1 Φ0 −1 2 1 0 Tablo 3.1: Standart Model Alanları ve Alanların Kuantum Sayıları[15] 29 şeklinde seçilirse, ortaya çıkan fiziksel sonuçlar deneysel olarak da tutarlı olur. Burada νe, eL alanları elektron alanının sol elli, eR ise sağ elli bileşeni olup L = ( νe e ) L , R = eR , şeklinde temsil edilirlerken, Higgs alanı,Φ⃗ ve ρ gerçel alanlar olmak üzere, Φ = ( Φ+ Φ0 ) = eiτ⃗ .Φ⃗ ( 0 ρ ) , şeklinde temsil edilir. Daha önceki tartışmalardan yararlanılarak, bahsedilen bileşenlerin tü- münü içerecek Lagranjiyen L = LAyar + LFermiyon + LHiggs + LY ukawa − V (Φ,Φ†) , (3.21) formunda verilir. Sırayla açık olarak ifade edildiğinde, her bir terim LAyar = − 1 4 F µν aF a µν − 1 4 fµνfµν , LFermiyon = iL̄γµ ( ∂µ + ig τa 2 W a µ + ig′ 2 Y Bµ ) L+ iR̄γµ ( ∂µ + ig′Y Bµ ) , LHiggs = 1 2 [(∂µ + ig τa 2 Wµ − ig′ 2 Y Bµ)Φ] †[∂µ + ig τa 2 W µa − ig′ 2 Y Bµ]Φ− λ ( Φ†Φ− f )2 , LY ukawa = −yd(R̄ϕ†L+ L̄ϕR) , (3.22) şeklindedir [15]. Dikkatler Higgs potansiyeline çevrildiği takdirde, vakumu belirlemek için daha önceden de yapıldığı gibi potansiyelin minimumlarının bulunması gerekir: ∂V ∂Φ = 2λΦ†[Φ†Φ− f ] = 0 , ∂V ∂Φ† = 2λ[Φ†Φ− f ]Φ = 0 , ifadeleri kullanılarak ve potansiyelin ikinci türevinin işareti de göz önünde bulundurularak, potansiyelin minimumlarının ⟨Φ†Φ⟩ = f = v2 , denklemiyle belirlenebildiği görülebilir. Dolayısıyla, üniter ayar seçimiyle, vakum durumu 30 olarak Φ0,m = ( 0 v ) , (3.23) bulunur. Bu seçimle simetrilerin ne şekilde kırıldığının görülebilmesi için SU(2)L ve U(1)Y üreteçlerinin, bu Φ0 üstüne ne şekilde etki ettiği incelendiğinde, τ1Φ0 = ( 0 1 1 0 )( 0 v ) = ( v 0 ) ̸= 0 , τ2Φ0 = ( 0 −i i 0 )( 0 v ) = −i ( v 0 ) ̸= 0 , τ3Φ0 = ( 1 0 0 −1 )( 0 v ) = − ( 0 v ) ̸= 0 , Y Φ0 = I ( 0 v ) = ( 0 v ) ̸= 0 , sonuçları elde edilir. Beklenildiği gibi, seçilen vakum (3.23)’teki Hamiltonyende varolan si- metrilere sahip değildir. Korunan simetri 1 2 (τ3 + Y )Φ0 = ( 1 0 0 0 )( 0 v ) = 0 , ifadesine bakılarak anlaşılabilir[19]. Bu sonuç değerlendirilirken, vakumun yüksüz olacak şekilde seçildiği ve dolayısıyla elektromanyetik etkileşimleri hissetmeyeceğini tekrar vurgu- lamakta yarar vardır. Şimdi, vektör bozonlarına kütle kazandırma sürecine bakılabilir. Bunun için de, Lagranjiyenin Higgs alanlarını içeren kısmına odaklanmak gerekir: LΦ = 1 2 (DµΦ)†(DµΦ)− V (Φ†Φ) , (3.24) Kovaryant türev incelenirse, bunun h’dan bağımsız kısmının (kuşkusuz, üniter ayarda), DµΦ0|h=0 = [ ∂µ + ig τa 2 W a − ig′Y 2 Bµ ] (0 v ) , = iv 2 ( g(W1 − iW2) −gW3 − g′Yϕ0Bµ ) . biçiminde olduğu görülebilir3. 3Ayar dönüşümü yapıldıktan sonra, ayar alanları daha önceden belirtilmiş olduğu gibi üs kullanılmadan ifade edileceklerdir. 31 (3.24)’teki kinetik ifadesinin yine h’den bağımsız kısmına odaklanılarak 1 2 (DµΦ0) †(DµΦ0) = 1 8 v2[g2(W 2 1 +W 2 2 ) + (gW3 + g′Yϕ0Bµ) 2] , elde edilir. Ayar alanlarından fiziksel alanlara geçilmek istenirse, W± = 1√ 2 (W1 ∓ iW2) , tanımı yapılarak, Lagranjiyendeki g2(W 2 1 +W 2 2 ) ifadesi fiziksel bozonlar cinsinden 2g2W+W− , şeklinde yazılabilir. Foton ve Z bozonu da benzer şekilde, B veW 3 alanı kullanılarak (gW3 + g′Yϕ0B)2 = ( W 3 B )( g2 gg′Yϕ0 gg′Yϕ0 g′2 )( W 3 B ) , (3.25) formunda bulunur. Burada göze çarpan ilk husus, foton ve Z alanının B ve W 3 alanlarının kombinasyonuyla oluşabilmesinin koşulunun ancak Yϕ0 ̸= 0, durumunda ortaya çıkmasıdır. Vakumun hiperyükü +1 olduğundan, bu seçimle matris için özdeğer ve özvektörler λ = 0→ 1√ g2 + g′2 ( −g′ g ) , λ = g2 + g′2 → 1√ g2 + g′2 ( g′ g ) , olarak hesaplanabilir. Fiziksel alanlar Aµ = 1√ g2 + g′2 (g′W3 + g′Bµ) , Zµ = 1√ g2 + g′2 (g′W3 − g′Bµ) , olarak tanımlandığında, (3.25) ifadesi (gW3 + g′Yϕ0Bµ) 2 = (g2 + g′2)2Z2 µ + 0.A2 µ , formuna dönüştürülebilir. Varılan sonucun açık bir biçimde ortaya konabilmesi açısından, Higgs’in kinetik teriminin vakum sektöründeki değeri 1 2 (DµΦ0) †(DµΦ0) = 1 8 v2[g2(W+2 +W−2 ) + (g2 + g′2)Z2 µ + 0.A2 µ] , 32 göz önünde bulundurulduğunda, parçacık spektrumunda kendiliğinden simetri kırılması so- nucu üç kütleli (W+ µ ,W − µ , Zµ) ve bir de kütlesiz alanla (Aµ) karşılaşılır. Higgs mekanizması vasıtasıyla zayıf etkileşimin taşıyıcılarının kütle kazanmış olmasının yanı sıra, foton alanı istenildiği gibi hala kütlesizdir ve bu haliyle, sistemde kırılmamışU(1)EM simetrisinin olduğunu gösterir. Taşıyıcı bozonların kütleleri ise, MW± = 1 2 vg , MZ = 1 2 v √ g2 + g′2 , olarak elde edilir. Eğer kütleler arasındaki ilişki incelenirse, fotonun yükle etkileştiği bilin- diğinden e = g sin θW = g′ cos θW , yazılabilir; bu ifadeden Weinberg açısı olarak adlandırılan θW , B veW 3 alanlarının karışım ölçüsüdür.W ve Z bozonlarının kütlelerinin oranı θW cinsinden MW MZ = 1 2 vg 1 2 √ g2 + g′2 = cos θW , olarak bulunabilir. Zayıf etkileşmelerin şiddetlerinin karakteristik bir ölçütü olan Fermi sabiti GF ≃ 10−5GeV−2 ve sin θW = 0.23, deneysel olarak saptanabildiğinden, vakumun beklenen değeri g2 8M2 W = GF√ 2 → v = √ 1√ 2GF = 246 GeV , bulunabilir. DolayısıylaW± ve Z bozonlarının kütleleri MW ≃ 80GeV , MZ = MW cos θW ≃ 90 GeV , olarak elde edilir.MW ’nun bilinen kütlesiyle uyumunun yanı sıra, Standart Model çerçeve- sinde Z bozonu ve kütlesi oldukça iyi bir duyarlılıkla öngörülebilmiştir. Higgs kütlesi ise MH = √ 8λv2 , şeklinde bulunduğundan ve λ keyfi bir sabit olduğundan, Standart Model Higgs bozonunun kütlesiyle ilgili herhangi bir öngörüde bulunamaz[12, 19]. Higgs mekanizmasının vektör bozonlara nasıl kütle kazandırdığı anlaşıldıktan sonra, fermi- yonların nasıl kütle kazandığının anlaşılması için Higgs alanıyla fermiyon alanlarının yaptığı Yukawa etkileşimine bakılması gerekir: Zayıf etkileşmelerde sadece sol elli parçacıklar yer aldığından, fermiyonların sol elli bileşen- leri zayıf-yük taşırken sağ elli bileşenleri sadece hiper yük taşırlar. Bu nedenle SU(2)L × 33 U(1)Y dönüşümü altında farklı dönüşürler: ψL → ψ′ L = eiW aTa+iαY ψL , (3.26) ψR → ψ′ R = ψRe iαY . mψ̄ψ kütle teriminde her iki kiral alanın mevcudiyeti ve (3.26)’de görüldüğü gibi bu iki ala- nın dönüşümlerinin çok farklı olması, SU(2)L ayar simetrisinin kırılmasına yol açar. Higgs alanında seçilen vakum değeri civarındaki kuantum dalgalanmalarını Yukawa etkileşmesine taşıyarak, bu sorunu aşmanın mümkün olduğu görülebilir: Higgs alanı ile fermiyon alanları arasındaki Yukawa etkileşimi göz önüne alındığında, Higgs alanının vakum beklenen değerinin sıfırdan farklı olması nedeniyle, fermiyonların kütle ka- zanacağı görülebilir. Bu durumu göstermek için (3.22) ile sunulan Standart Model’in Lag- ranjiyenindeki Yukawa tipi etkileşim incelenerek, tartışma diğer aileler ve fermiyonlara ge- nişletilebilir. Yukawa etkileşmesini veren LY ukawa = −yd(R̄Φ†L+ L̄ΦR) , (3.27) ifadesinden başlanarak, gerekli düzeltmeler yapıldığında LY ukawa = −yd [( ν̄ ē ) L ( 0 v + h ) eR + ēR ( 0 v + h )(ν e ) L ] , elde edilir ve e = eL + eR, gösterimi kullanıldığında kütle ve alanların etkileşim ifadesi −y(v + h)ēe , olarak bulunur. Bu eşitlik kullanılarak, elektronun kütlesinin me = yv olduğu görülür. Bu- radan da, Yukawa sabiti elektronun kütlesi cinsinden y = me v olarak ifade edilebilir. Buna göre herhangi bir fermiyonun Higgs alanıyla olan etkileşiminin fermiyonun kütlesiyle oran- tılı olduğu görülebilir. Dolayısıyla bilinen en ağır fermiyon olan üst kuarkın Higgs alanıyla en çok etkileşen fermiyon olması beklenir. Ayrıca Yukawa etkileşim kat sayısı keyfi bir sabit olduğundan, Standart Model temel olarak elektronun kütlesinin ne olacağını öngöremez. Lagranjiyene eklenen Yukawa tipi bir etkileşim sayesinde, nötrino kütlesiz bırakılırken elekt- ronun kütle kazandığı görülebilir. Bu tartışma, tüm leptonlara kolaylıkla genellenebilir. Ancak aynı genelleme fermiyon ailesinin öteki üyeleri olan kuarklara yapılmak istendiğinde, yeni bir zorlukla karşılaşılır: (3.27) şeklindeki bir Yukawa etkileşimi, sadece alt tip kuarklara kütle kazandıracağından, burada bir eksiklik olduğu aşikardır. Üst tip kuarklara da bir şekilde kütle kazandırılması için Lagranjiyene yeni bir Yukawa etkileşim terimi eklenmesi gerekir: 34 Bu terim Lu = −yu(ψ̄LΦ̃cψR + ψ̄RΦ̃c † ψL) , formundadır. Burada Φc, daha önce tanımlanan Higgs alanının elektrik yükü eşleniğidir: Φ̃c = −iτ2Φ∗ . Yine Higgs alanının vakum beklenen değerinin sıfırdan farklı olması kütlelerin kaynağını oluşturacağından, Yukawa Lagranjiyenlerinin sadece bu kısımlarına bakılırsa yd [( ūL d̄L ) Φ0dR + d̄RΦ † 0 ( uL dL )] = yd [( ūL d̄L )(0 v ) dR + d̄R ( 0 v )(uL dL )] , yu [( ūL d̄L ) Φ̃c 0uR + ūRΦ̃c 0 † ( uL dL )] = yu [( ūL d̄L )(v 0 ) uR + ūR ( v 0 )(uL dL )] , bağıntıları elde edilir. Burada u ve d kuarkların üst ve alt bileşenlerini simgelerken, L ve R indisleri sağ ve sol elli bileşenleri temsil etmektedir. Yapılan hesaplamalar sonucunda yd [( ūL d̄L ) Φ0dR + d̄RΦ † 0 ( uL dL )] = ydv [ d̄LdR + d̄RdL ] = ydvūu = muūu , yu [( ūL d̄L ) Φ̃c 0uR + ūRΦ̃c 0 † ( uL dL )] = yuv [ūLuR + ūRuL] = yuvd̄d = mdd̄d , ifadelerinden görüleceği üzere tanımlanan Higgs alanında seçilen vakum değeri civarındaki kuantum dalgalanmalarının Yukawa etkileşimine taşınmasıyla üst ve alt tipteki kuarklara istenilen kütleler kazandırılabilir. Yukawa etkileşimi tüm fermiyonlarla Higgs alanı arasında olduğundan, tartışmanın daha anlaşılır biçimde yürütülmesi amacıyla, öncelikle bu alanların, tablo olarak verilmesi uygun olacaktır: Spinor Alanı ΨI(renk,izo-spin,hiperyük) Sol elli kuarklar QI Li(3, 2, 1 3 ) Sağ elli üst kuarklar uIRi(3, 1, 4 3 ) Sağ elli alt kuarklar dIRi(3, 1, 1 3 ) Sol elli fermiyonlar LI Li(1, 2,−1) Sağ elli fermiyonlar lIRi(1, 1,−2) Tablo 3.2: Fermiyon alanlarının etkileşim durumundaki temsilleri[18] 35 Tablo (3.2)’de alanlara üst indis olarak verilen I , alanların etkileşim durumunda temsil edildi- ğini, alt indis i ise parçacıkların hangi aileye mensup olduklarını göstermektedir. QI Li açıkça yazılırsa QI Li(3, 2, 1 3 ) = ( uIg, u I r, u I b dIg, d I r, d I b ) i = ( uIg, u I r, u I b dIg, d I r, d I b ) , ( cIg, c I r, c I b sIg, s I r , s I b ) , ( tIg, t I r, t I b bIg, b I r , b I b ) , formunda olduğu görülebilir. Bu durumda,Yukawa sabiti yine keyfi bir parametre olmak üzere en genel halde etkileşim ifadesi LY ukawa = −Yij ( ψ̄LiΦψRj + ψ̄RjΦ †ψLi ) , ve LY ukawa = − [ Y d ij ( Q̄I LiΦd I Rj + d̄IRjΦ †QI Li ) + Y u ij ( Q̄I LiΦ̃ cuIRj + ūIRjΦ †QI Li ) + Y l ij ( L̄I LiΦl I Rj + l̄IRjΦ †LI Li ) ] , olarak elde edilir. İfadenin son terimi, esas olarak leptonların Higgs alanıyla etkileşimini gösteren terimdir. Diğer iki terim yakından incelendiğinde ve ifade açık olarak yazıldığında, kütle olarak yorumlanabilecek terimlerin yanı sıra, alanların karışmasından ötürü ortaya çıkan ve kolayca yorumlanamayan durumların da olduğu görülür. İlke olarak Higgs alanıyla fer- miyon alanlarının olası bütün etkileşimleri düşünüldüğünde, oluşturulabilecek tüm etkileşim terimlerinin özdurumlarının kütle özdurumlarına bire bir denk gelmemesi bu alan karışımını doğurmuştur. Esasen fiziksel olarak ölçülen kuark kütleleri bu durumların küçük bir kısmını oluşturur. Bunu göstermek için, örneğin Y d ijQ̄ I Liϕd I Rj terimi yakından incelendiğinde Y d ijQ̄ I Liϕd I Rj =  Y11 ( ū d̄ )I L ( Φ+ Φ0 ) Y12 ( ū d̄ )I L ( Φ+ Φ0 ) Y13 ( ū d̄ )I L ( Φ+ Φ0 ) Y21 ( c̄ s̄ )I L ( Φ+ Φ0 ) Y22 ( c̄ s̄ )I L ( Φ+ Φ0 ) Y23 ( c̄ s̄ )I L ( Φ+ Φ0 ) Y31 ( t̄ b̄ )I L ( Φ+ Φ0 ) Y32 ( t̄ b̄ )I L ( Φ+ Φ0 ) Y33 ( t̄ b̄ )I L ( Φ+ Φ0 )  d I R sIR bIR  , ve sadece Higgs’in vakum değerini içeren terimlere odaklanıldığında, Lkuark Y ukawa = d̄ILiM d ijd I Rj + d̄IRjM †d ji d I Li + ( ūILi ) Mu iju I Rj + ( ūIRj ) M †u ij u I Li , (3.28) 36 bulunur. Kuark alanlarının birbirleriyle karıştığı etkileşim durumlarından fiziksel kütle du- rumlarına geçmek içinMu,d ij matrisilerinin, üniter matrisler aracılığı ile diagonalize edilebi- leceğinden yola çıkılarak, Md diagonal = V d LM dV †d R , Mu diagonal = V u LM uV †u R , ve V u,d L , V u,d R ’nin üniterlik özellikleri kullanılarak, (3.28) ifadesi Lkuark Y ukawa = d̄ILiV †d L V d LM d ijV †d R V d Rd I Rj + d̄IRjV †d R V d RM †d ij V †d L V d Ld I Li + ( ūILi ) V †u L V u LM u ijV †u R V u Ru I Rj + ( ūIRj ) V †u R V u RM †u ij V †u L V u L u I Li , şeklinde yazılır. Bu ifadede fiziksel u ve d alanları dLi = V d Lijd I Lj dRi = V d Rijd I Rj , uLi = V u Liju I Lj uRi = V d Riju I Rj , (3.29) formunda tanımlanabilir. YineQI Li terimi zayıf etkileşimler çerçevesinde ele alınırsa, kuark- lar için yüklü zayıf etkileşimler durumunda Lagranjiyendeki kinetik terim, zayıf etkileşim özdurumları için yazılarak, L = iQ̄I Liγµ(∂ µ + i g 2 W µ a τa)Q I Li , L = i ( ū d̄ )I γµ(∂ µ + i 2 gW µ a τa) ( u d ) ,I gerekli düzenlemeler yapıldığında L = g√ 2 ūIiLγµW −µdIiL + g√ 2 d̄IiLγµW +µuIsiL + ... , bulunur. Lagranjiyen zayıf etkileşim özdurumları yerine kütle özdurumları cinsinden yazı- lırsa, (3.29)’te yapılan tanımlamalar kullanılarak, L = g√ 2 ūiL(V u L V d† L )ijγµW −µdiL + g√ 2 d̄iL(V d LV u† L )ijγµW +µuiL + ... , sonucu elde edilir. Tanım olarak uIi = ui , 37 dIi = V CKM ij dj , yukarı kuarklar için kütle ve etkileşim özdurumunun aynı, ancak aşağı kuarklarların dön- dürülmüş olduğu kabul edilerek, (V d LV u† L )ij = VCKM , matrislerinin kombinasyonları 3 × 3 matris gösterimiyle d I sI bI  = Vud Vus Vub Vcd Vcs Vcb Vtb Vcb Vtb  ds b  , olarak verilir. Cabibbo-Kobayashi-Maskawa matrisi (VCKM) olarak adlandırılan bu matriste Vud aşağı tipteki bir kuarkın yukarı kuarka geçiş olasılığını verirken, V ∗ ud ise tam tersini ifade eder. Görüldüğü gibi, etkileşim özdurumlarından kütle özdurumlarına geçiş kuark aileleri arasında bir karışıma neden olmuştur. Dolayısıyla yukarı ve aşağı kuarkların birbirlerine dö- nüşümünün yanı sıra aileler arası geçişler de fiziksel bir süreç olarak ortaya çıkar. VCKM ’nin varlığı, Standart Model’de CP simetrisinin kırılmasından da sorumludur[19]. 38 4.DOĞALLIK SORUNU 4.1.Giriş: Doğallık Sorunu Önceki bölümde ayrıntılarıyla tartışıldığı üzere Higgs Mekanizması sayesinde, zayıf etki- leşimin taşıyıcı vektör bozonlarına hem kütle kazandırılarak menzilleri çekirdek içine çe- kilmiştir; hem de fermiyon alanları ve Higgs alanı arasındaki Yukawa etkileşimi sayesinde fermiyon alanlarının da kütle sahibi olması sağlanmıştır. Higgs parçacığının gözlemlenmesi Standart Model’i artık bir teori statüsüne kavuşturmuştur ve bu bakımdan son derece önemli bir gelişmedir. Ancak bu yolun sonuna gelindiği anlamını taşımamaktadır. Kimileri doğrudan Higgs ile ilgili, kimileri Higgs’den bağımsız pek çok sorun hala çözüm beklemektedir. Standart Model’in yanıtsız bıraktığı ve Standart Model Ötesi bir kuramın cevaplaması bek- lenen açık noktalar şöyle sıralanabilir: • Doğallık Sorunu: Çok büyük kütlelerle çok küçük kütlelerin neden ve nasıl bir arada bulunabildiği? • Nesil Sorunu: Yalnızca üç nesil olması ve kütle hariç ikinci ve üçüncü nesiller birinci nesle bu kadar benzediği halde, kendini tekrarlamanın neden üçüncü nesilde durduğu ve ötesine geçmediği? Neredeyse kütlesiz nötrinodan, altın atomundan daha ağır üst kuarka uzanan bir kütle spektrumunun anlaşılmasını sağlayacak temel prensibin ne olduğu? • Hiyerarşi Sorunu: Farklı tür kuvvetlerin neden farklı enerji bölgelerinde etkin olduğu? Bunlar daha temel düzeydeki tek bir fenomenin farklı enerji bölgelerindeki farklı teza- hürleri ise, bu birleştirmenin nasıl yapılabileceği? • Doğanın bilinen diğer kuvveti olan kütle çekim kuvvetinin bu yapılanma içine nasıl yerleştirilebileceği? • Karanlık madde ve karanlık enerjinin doğasının ne olduğu ayrıca kozmolojik sabitin kaynağının nasıl açıklanacağı? • Madde ve anti-madde asimetrisi ve CP ihlalinin altında yatan ilkenin ne olduğu[10, 11]? Tezin ana temalarından olan, doğallık ve hiyerarşi konuları bağlamında, Georgi, Quinn ve Weinberg 1974 yılında yayımladıkları makalelerinde ”hiyerarşi” ya da ”ince ayar” kavramını öne sürmüşlerdir. Bunu, bir etkin alan teorisi çerçevesinde, bir skaler alanın, farklı enerji öl- çeklerindeki hiyerarşiden ötürü kütlesinde yapılması gereken ince ayarlamalarla, hesaplanan 39 kütlesi ile gerçekte sahip olduğu fiziksel kütlesinin arasındaki uçurum sayılabilecek farkın giderilmesi olarak tarif etmişlerdir[7]. Etkin teoriden kasıt ise, daha yüksek enerji ölçeğinde geçerli genel bir kuramın, düşük enerji ölçeğinde geçerli durumudur. Standart Model Elektro-Zayıf enerji ölçeğinde (∼ 246 GeV ) büyük doğrulukla çalıştığından, bu enerji ölçeğinin etkin kuramı olarak düşünülmelidir. Eğer enerji ölçeği yükseltilirse Higgs parçacığının kütlesine gelen kuantum düzeltmeleri öylesine baskın olur ki, Higgs parçacığının şu anda gözlenmiş olan kütlesinde bulunabilmesinin an- laşılmasının tek yolunun modeldeki sabitlere, en azından 1034 mertebesinde, bir ince ayar yapılması olduğu anlaşılır [7, 17]. Hiyerarşi sorununun çözümü için yeni kuramlar ortaya atılmış ve bu konu, parçacık fiziğinde model inşasının ana odağı haline gelmiştir. Hiyerarşi sorununa paralel ve çok yakından ilgili bir başka sorun olan doğallık konusuna da kısaca değinmekte fayda vardır: Örneğin, Dirac’ın ”doğallık” tanımı, bir fiziksel parametrenin doğal birim sisteminde birim büyüklükte olmasıdır. Bu tanıma göre kütleler göz önüne alındığında, mu md doğaldır. Ancak me mτ değildir. Aynı şekilde Higgs kütlesi ve ona gelecek kuantum düzeltmelerin mertebesi de birim büyüklükte olmadığından doğal değildir[7]. Dirac’ın doğallık tanımının ardından daha ince ve genel bir tanım ’t Hooft tarafından ortaya atılmıştır: Bu yeni tanım, µ herhangi bir enerji ölçeği olmak üzere, α(µ) fiziksel parametre olarak çok küçükse ve bu parametrenin sıfıra götürülmesi durumunda eylemin simetrisi ar- tıyorsa , anılan parametrenin doğal bir parametre olduğunu söyler[7, 21]. Bu durumda me mτ doğaldır ve şayet kütleler sıfıra götürülecek olursa sistemde kiral simetri ortaya çıkar. Ancak Higgs parçacığının çıplak kütlesi ve ona eklenecek kuantum düzeltmeler bu kıstasa uyma- makta ve doğal görünmemektedir. Yani kütleler sıfıra götürüldüğünde, bu sefer sistemde daha büyük bir simetri de ortaya çıkmamaktadır[7]. Bu durumda akla doğallık-hiyerarşi-ince ayar sorunlarının gerçekten fiziksel sorunlar olup olmadığının gelmesi ”doğaldır”. Daha önceki kuramlardan elde edilen deneyimler, simetrileri genişleterek ya da serbestlik derecelerini artırarak doğallık sorunun giderilmesinin, fiziksel bilgiyi artırdığını ortaya koymuştur. Ancak doğallık konusunun, doğrudan fiziksel ilkeleri tahmin etmeye olanak sağlamaması da başka bir gerçek olarak ortaya çıkmaktadır. Yani, doğallık sorununun çözümü için girişilen çabalar kuramların parçacık sayılarını ve içerdikleri simetrileri bu amaçla genişletirken, buna koşut olarak, üstesinden gelinmesi gereken birçok yeni parametrenin de devreye girmesiyle, oldukça ağır bir bedele neden olmaktadırlar. Örnek olarak, göreli kuantum mekaniğinde Dirac denkleminin eksi enerjili çözümlerinden kaçınıldığı zaman, serbest elektronun ışıktan hızlı ancak zik-zaklı bir davranış göstermesi gerektiği görülür. Bu durumun kuantum alan kuramı çerçevesindeki karşılığı, fotonun self enerji düzeltmeleri hesaplanırken karşılaşılan sonsuzluğun elektronun negatif enerjili kuan- tum partnerinin devreye sokulmasıyla ortadan kaldırılmasıdır. Özetle, hem göreli kuantum 40 mekaniğinde, hem de kuantum alan kuramında yeni bir serbestlik derecesi eklenerek (yeni parçacık) çözülmüştür. Son olarak, Higgs alanının kozmolojik sabit üzerindeki etkisine değinilirse, şu anda evrenin başlangıcıyla ilgili eldeki senaryo, Büyük Patlama anında kuvvetler tek bir çatı altında toplan- mış durumdayken, tüm parçacıkların kütlesiz olduğunu, Higgs alanının evreni doldurduğunu ve Wigner-Weyl modu durumunda olan evrenin genişlediğini ön görür. Büyük patlamadan 10−11s sonra, Nambu-Goldstone mekanizmasıyla, evrenin başlangıçta sahip olduğu simet- rik yapı kırılarak, şu anki mevcut duruma geçildiği ve Higgs alanıyla etkileşen parçacıkların kütle kazandığı söylenebilir[7, 22]. 4.2.Kuantum Düzeltmelerin Kütle Üzerine Etkisi Kuantum alan kuramlarında fiziksel kütle, Lagranjiyendeki çıplak kütle ve ona eklenen kuan- tum düzeltmeleriyle verilir. Higgs bozonunun fiziksel kütlesinin bulunması ve bunula ilintili olarak doğallık sorununu oluşturan etkilerin anlaşılması için, Higgs bozonunun fermiyonlar ve ayar bozonlarıyla olan halka etkileşimlerinden kütlesine gelecek katkılara bakılmalıdır. Bu bağlamda Higgs bozonunun fermiyonlarla etkileşimlerinden kütlesine gelen düzeltme- lere bakılırsa, bunların “limit” (cut-off) enerji ölçeği Λ’ya δmh ∼ Λ2 şeklinde bağlı olduğu ve yüksek enerji ölçeklerinde kütlenin kararlı olmadığı ve doğallık sorununun buradan kay- naklandığı görülür. Aynı şekilde Higgs bozonunun kütlesine ayar bozonlarıyla yaptığı etki- leşimlerden gelecek katkıların δmh ∼ logΛ şeklinde olduğu ve yüksek enerji ölçeklerinde kütlenin halen kararlı kalabildiği gözlenir. Bu hesaplama fermiyonlar ve ayar bozonları için yapıldığında, bu parçacıkların kütlelerine gelecek düzeltmeler iyileştirilemez sonsuzluk içermediğinden (logΛ), kütlelerinin kuantum düzeltmeler altında kararlı kaldığı görülür[10, 11]. Ancak daha önce değinildiği gibi, skaler Higgs alanı söz konusu olduğunda kuantum dü- zeltmelerinden gelen katkı sonsuz büyüklüktedir ve bu durumda iki seçenekten biriyle yola devam edilmesi gerekir: • Higgs parçacığının çıplak kütlesi fiziksel kütlesiyle aynı seçilerek pertürbasyon kuramı bir kenara bırakılabilir. • Pertürbasyon kuramından vazgeçmeden yüksek enerji ölçeklerinde 1034 mertebesinde ince ayar yapılabilir. Birinci seçenek kuramınmatematiksel alt yapısının yok edilmesi anlamına geldiğinden, ikinci seçeneğe yönelmek ilk bakışta daha doğru bir yaklaşım olsa da, bunun da teknik anlamda doğal olmadığı açıktır[7]. 41 hph = kh + khΠ(k2)c kh + khΠ(k2)c khΠ(k2)c kh + · · · Şekil 4.1: Birinci Mertebe Halka Düzeltmeleri Higgs bozonunun çıplak kütlesine fermiyonlardan gelecek olan katkı hesaplanmak istenirse, düzeltme terimine katkı verecek olan bütün halka diagramları yazılarak işe başlanabilir.Π(k2), m2 H’ye halka diagramlaından gelen katkı olmak üzere 1 k2 −m2 H = 1 A , B = Π(k2) , tanımları yapıldığında ve 1 A−B = A−1 + A−1BA−1 + A−1BA−1BA−1... , açılımı kullanılarak 1 A−B = 1 k2 − [m2 H +Π(k2)] , ifadesine ulaşılır. Görüldüğü gibi, √ m2 H +Π(k2), Higgs bozonunun giydirilmiş fiziksel küt- lesidir [12]. Fermiyon halkasının Higgs kütlesine yapacağı katkı, fermiyonların kütlesiyle orantılı olduğundan; kuantum düzeltmeleri altında fermiyonik kısımdan gelecek en büyük katkıyı üst kuark verir. mf üst kuark dışındaki diğer fermiyonlardan birinin kütlesini temsil etmek üzere, m2 t (Π(k 2)) m2 f (Π(k 2)) ∼ O m2 t m2 f , bulunur. Esasen bulunan sonuçlar sonsuzluk içerdiğinden fiziksel olarak kabul edilebilir de- ğildirler. Ancak bütün fermiyonların sonlu katkıları ele alındığında üst kuarktan gelen kat- kının en başat katkı olduğu görülür. Gerçekten de anılan katkı, kütlesi üst kuarka en yakın fermiyon olan alt kuarktan gelen katkıyla kıyaslandığında bu durum açıkça görülür: mb mt = 0, 024 . Oranın çok küçük olduğu ve diğer fermiyonların kütlelerinin üst kuarkın kütlesiyle aynı mer- tebede olmadığı göz önünde bulundurularak, fermiyonik kısımdan, sadece üst kuarkın katkı- sının alınması yeterlidir[7]. 4.3.Feynman Parametrizasyonu ve Schwinger Yöntemi Kullanılarak Türetilmesi Schwinger parametrizasyonu yöntemi, Feynman halka diagramları hesaplanırken integralle- rin paydalarının yeniden düzenlenip integralin daha kolay alınabilir hale getirilmesinde kul- 42 lanılan genel bir yöntemdir. Yöntem incelenecek olunursa, Feynman halka diagramlarından ileri gelen integralin payda- sının 1 (q2 −m2 + iϵ)((q − k)2 −m2 + iϵ)... , şeklinde olduğu görülür. Schwinger alogoritması geliştirilirken, çıkış noktası 1 A+ iϵ = −i ˆ ∞ 0 dt exp[it(A+ iϵ)] , integralidir. Paydada var olan iϵ terimi, integral alınırken A = 0 yapan q değerlerinden mey- dana gelecek olan sonsuzluğun etrafından dolaşılmak istendiği için eklenmiştir. Bu işlem integrali güvenli bir biçimde alma olanağı sunduğu için son derece yararlıdır. İşlemler ta- mamlandıktan sonra ϵ→ 0, limiti alınarak ifadenin ilk şekline dönülür. Bu yöntemin bir benzeri Feynman parametrizasyonu yöntemidir. Schwinger parametrizas- yonu yöntemi ile aynı işlevi gerçekleştirmesine karşın, kullanışlı olduğu yerler bakımından aralarında fark vardır. Feynman parametrizasyonu yöntemi ile simetrik sınırlara sahip integ- rallerin içinde (tek fonksiyon)×(çift fonksiyon) şeklinde ifadeler de elde edebildiğinden, bu yöntem integralin yalınlaşması bağlamında daha faydalıdır. Bu yöntemdeki omurga, paydadaki q’ya göre kuadratik dereceli çarpanların daha yüksek de- receden bir polinoma dönüştürülmesidir. Feynman parametrizasyonunun genel formu olan 1 a1a2a3...an = Γ(n) ˆ 1 0 dx1... ˆ 1 0 dxnδ(1− ∑n i=1 xi) [a1x1 + a2x2 + ..anxn]n , (4.1) ifadesini ispat edebilmek için, öncelikle bu payda Schwinger yöntemiyle parametrize edilerek hesaba başlanabilir. Bu durumda integralin paydası N∏ i=1 1 ai + iϵ = (−i)N ˆ ∞ 0 dt1 ˆ ∞ 0 dt2... ˆ ∞ 0 dtN exp[i N∑ i=1 ti(ai + iϵ)] , (4.2) şeklinde parametrize edilir ve bu eşitliğin sağ tarafı C herhangi bir pozitif sayı olmak üzere, ˆ ∞ 0 dλ λ δ(1− C λ ) = 1 , (4.3) özdeşliğiyle betimlenen birim ifade çarpılır; C = ∑N i=1 ti, olarak seçildiğinde, (4.3) eşitliği ˆ ∞ 0 dλ λ δ(1− ∑N i=1 ti λ ) = 1 , 43 formuna dönüşür. (4.2) ifadesindeki t değişkenlerinden ti : ti → xi = ti λ , dxi = dti λ , dönüşümleri ile x değişkenlerine geçilirse N∏ 1 ˆ dti = [ N∏ 1 ˆ dxi ] λN , bulunur. (4.2) ifadesi bu dönüşümler altında = (−i)N [ N∏ 1 ˆ ∞ 0 dxi ] ˆ ∞ 0 [ λN−1δ(1− N∑ 1 xi)exp[−λ[−i ∑ i xi(ai + iϵ)]] ] dλ , şeklinde yazılabilir. Gamma fonksiyonunun tanımlandığı Γ(z) = ˆ ∞ 0 tz−1e−tdt = (z − 1)! , ifadesinde X = −i ∑ i xiai → N , (4.4) z → N , değişken değişikliği λX → t , ve dλ = dt X , dönüşümleri yapılırsa, (4.2) denklemindeki ˆ λN−1e−λ[−i ∑ i xiAi]dλ , integrali 1 X ˆ dt( t X )N−1e−t = X−NΓ(N) , formuna dönüşür. Bulunan ifade, (4.1) eşitliğinde yerine konulursa, parametrize edilmek is- tenen ifade 1 a1a2a3...an = (−i)N [ N∏ 1 ˆ ∞ 0 dxi ] δ(1− N∑ i xi)X −NΓ(N) , 44 biçiminde elde edilir ve (4.4) tanımından 1 a1a2a3...an = Γ(N) [ N∏ i=1 ˆ ∞ 0 dxi ]δ(1−∑N =i xi) ( ∑N i=1 aixi) N , (4.5) bulunur. Dikkat edilirse, bu ifade, integrasyon sınırları hariç, (4.1)’de verilen Feynman para- metrizasyonuna eşdeğerdir. Yapılması gereken son basamak, integral sınırlarının [0, 1] aralı- ğına çekilmesidir. (4.5)’deki delta dağılımının mevcudiyeti ΣN i=1xi = x1 + x2 + · · ·+ xN = 1 , (4.6) koşulunu gerekli kılar. Tanım gereği, tüm xi’ler pozitif olduğundan, (4.6) koşulu, tüm xi’lerin 0 < xi < 1 , aralığında olmasını gerekli kılar ve (4.5) , ispatlanmak istenen (4.1) ifadesine indirgenmiş olur. Son olarak, integrallerin hesaplanması evresinde dikkat edilmesi gereken bir husus, (4.5) ifadesindeki delta integrali alındıktan sonra integrasyonun sınırlarının değişimine ilişkin bir inceliktir: Bunun vurgulanması için, basit bir örnek olarak, integralin paydasında dört terim olduğu durum incelenirse, 1 a1a2a3a4 = Γ(4) [ ˆ 1 0 dx1 ˆ 1 0 dx2 ˆ 1 0 dx3 ˆ 1 0 dx4 ] δ(1− x1 − x2 − x3 − x4) (a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4)4 , ifadesindeki delta dağılımı, x4 integralinin otomatik olarak alınmasını sağlar. Kalan üç in- tegralden sonuncusu, yani x3 bir incelik içerir. Şöyle ki, delta dağılımı gereği x4 = 1− (x1 + x2 + x3) , olduğundan ve bunun da 0 < x4 < 1 , koşulunu sağlaması gerektiğinden 0 < x3 < 1− (x1 + x2) , koşuluna ulaşılır. Demek ki, kalan üç integralden ilk ikisi [0, 1] aralığında alınırken, sondan bir önceki olan x3, [0, 1− (x1+x2)] aralığında alınmalıdır. Bu basit örnek üstünde gösterilen bu özellik, (4.1) genel ifadesindeki tüm N hali için geçerlidir [12]. 45 4.4.Boyutsal Regülarizasyon, Wick Dönmesi ve µ Parametresi Feynman diagramlarının halka kısımlarının hesabı, sonsuzluklar söz konusu olduğunda, re- gülarizasyon denilen yöntem gerektirir. Bu yöntemdeki mantık, öncelikle integrali ıraksama- yacak bir limitte yazıp sonra limit alınarak sonuca ulaşmaktır. Ancak bu sefer ulaşılan sonuç sonlu ve sonsuz kısım olarak ikiye ayrılmış şekilde ifade edilebilir. İntegralin sonlu kısmı fiziksel anlamın atfedildiği kısımdır. Regülarizasyon için bir çok yöntem bulunmasına karşın; boyutsal regülarizasyon hariç diğer bütün yöntemler ötelenme, Lorentz veya ayar dönüşümleri altında kuramların sahip olduğu değişmezlik özelliklerinin kaybolmasına; yani, simetrilerinin yok olmasına yol açarlar. No- ether Teoremi’nden çok iyi bilindiği üzere doğadaki bilinen bütün korunum yasaları simet- rilerle ilişkilidir. Bu bağlamda bahsi geçen diğer regülarizasyon yöntemlerinin kuramların gerçekle olan bağlarını çarpıcı bir şekilde ortadan kaldırdığı söylenebilir. Bu dönüşümler al- tında kuramların değişmezlik özelliklerinin aynı kalmasını sağlayan boyutsal regülarizasyon yöntemi, bu yanıyla diğer yöntemlere göre öne çıkmakta ve yenilerde pek çok ciddi çalışmada bu yönüyle tercih edilmektedir. Yöntemden kısaca bahsedilecek olursa: öncelikle integralin sonsuz çıkma nedeni, q üzerin- den integral alınırken integrandın payında bulunan q’nun derecesinin, d = 4, boyutta pay- dadakinden büyük olması olarak açıklanabilir. Ancak integralin d = 4, boyutta değil de d = 4 − 2ϵ < 2, boyutta alındığı düşünülürse, bu durum ortadan kalkarak integral prensip olarak alınabilir hale gelir. Sonuç ifadesinde ϵ→ 0, limiti alnarak ilk durum elde edilir. Karşılaşılan sonsuzluk sorunları çerçevesinde integralin paydası yeniden incelendiğinde, pay- danın iϵ terimi olmadan reel eksen üzerinde kutup noktaları içerdiği görülecektir. Bu tekil noktalar yeniden sonsuzluk üreteceğinden, integralin prensip olarak hesaplanması için kar- maşık düzleme taşınması regülarizasyonun bir parçasını teşkil eder. ϵ→ 0 limiti için iϵ terimi paydadaki ifadeye eklenerek kutup noktaları reel eksen üzerinden yaklaştırılabilir ve limit alındığında, özgün durum tekrar elde edilir. Feynman parametrizasyonununda iϵ teriminin eklenmesinin esas faydası Wick döndürmesi yapıldığında daha açık olarak ortaya çıkar[12]. 46 Şekil 4.2: Wick Dönmesi[22] Wick döndürmesi Minkowski uzayından Euclid uzayına olan bir dönüşümdür. Bu yöntemle integralin paydasında pozitif bir sayı elde edilmiş olur ki bu da paydadan gelen tekillik so- rununu sona erdirir. Wick döndürmesi, k0 → ik0, dönüşümüyle yapılır. Bu sayede uzayın metriği dört boyutta (+,−,−,−)’den (−,−,−,−) ’ye dönüşür. Wick dönüşümüyle bera- ber reel eksen üzerinden alınan integral, Cauchy kompleks integral teoremleri yardımıyla kutup noktalarını içermeyecek şekilde sanal eksen üzerine aktarılır. Düşük boyutlarda integ- ralin alındığı kontürde sonsuza uzanan çember dilimleri sonuca katkı vermezler ve integral bu sayede alınabilir hale gelmiş olur. Yakından incelendiğinde kuantum elektrodinamiği için etkileşim terimini içermeyen eylemin S = ˆ d4x[−1 4 FµνF µν + iψ̄/∂ψ −mψ̄ψ] , ile verildiği hatırlanarak, doğal birim sisteminde yine eylemin boyutsuz olması istendiğinden ve [m] = L−1 , boyutunda olduğundan, kütle boyutu cinsinden ψ ve Aµ’nun boyutları [ψ] = [ψ̄] = 3 2 , [Aµ] = 1 , olarak elde edilir. Yine çokça incelenen ϕ4 kuramı için S = ˆ d4x[(∂µϕ)∗(∂µϕ) + m2 2 ϕ2 − λ 4 ϕ4] , olarak yazılan eylemden, kütlenin ve skaler alanın boyutunun [m] = 1→ [ϕ] = 1 , 47 olduğu görülür. Tartışma d boyuta genellendiğinde, eylemin S = ˆ ddx[−1 4 FµνF µν + iψ̄/∂ψ] , ifadesinden Aµ’un ve ψ’nin boyutları, d = 4− 2ϵ, tanımıyla [Aµ] = 1− ϵ , [ψ] = [ψ̄] = 3 2 − ϵ , olarak bulunur ve etkileşim teriminde, bu boyutlar yerlerine konulursa S = ˆ ddxeψ̄γµψAµ ⇒ [I] = −d+ [e] + 2[ψ] + [A] = [e]− ϵ , ifadesinden [e] = ϵ, bulunur [15, 23]. 4.5.Higgs Kütlesine Üst Kuarktan İleri Gelen Işınımsal Düzeltmelerin Hesaplanması Standart Model çerçevesinde Higgs bozonunun kütlesine halka diagramlarından gelen kuan- tum katkısının incelemesi son derece önemli bir konudur. Bu hesaplamalar Standart Model Ötesi bir kuramın varlığı konusunda duyulan gereksinmelerin de çıkış noktalarını teşkil eder. Şöyle ki, Higgs bozonunun 4/7/2012 de bulunmasıyla kuram statüsüne terfi eden Standart Model çerçevesinde cevaplanması gereken yeni soru, Higgs bozonunun fiziksel kütlesinin neden 125 GeV olduğudur. Bu da yenilerde sıkça zikredilen ince ayar ve hiyerarşi soru- nunun temelini teşkil eder. Uzunca bir süredir sorunun çözümünün Standart Model Ötesi bir kuramla mümkün olduğu düşünülmekteydi. Yenilerde, düşük enerjilerde süpersimetri- nin gözlenmemiş olması, bu modelin konumuz bağlamındaki önemine büyük ölçüde gölge düşürmüştür. Karşılaşılan bu güçlüğün kaynağına inilirse, sorunun temelinde Higgs bozonunun kütlesine fermiyon halkalarından gelen kuantum katkılarının yattığı görülmektedir. Her fermiyonHiggs bozonunun kütlesine kendi kütlesiyle orantılı olan bir katkı verir. Bu bağlamda, diğer fermi- yonlara göre çok yüksek bir kütleye sahip üst kuarkın etkisi çok baskındır. Dolayısıyla va- rolan sonsuz kütle sorunsalında en büyük katkının Higgs bozonunun kütlesine üst kuarktan gelen halka kuantum düzeltmelerine ait olduğu söylenebilir. kh αα′h qL� β′βhhk Şekil 4.3: Üst Kuark Halkası Şekil (4.3)’te verilen diagramdan ileri gelen integral hesaplanmadan önce, bu integral alı- nırken kullanılacak olan Feynman parametrizasyonu yöntemine değinilecek olunursa, daha 48 önceden de belirtildiği gibi bu yöntem Feynman diagramları hesaplanırken integrallerin pay- dalarının yeniden düzenlenip integralin daha kolay alınabilir hale getirilmesinde kullanılan bir integrasyon değişkeni değişimidir. Bu yöntemle ayrıca simetrik sınırlara sahipmomentum integrallerinin içinde (tek fonksiyon)×(çift fonksiyon) şeklinde ifadeler de elde edildiğinden integralin yalınlaşması da söz konusu olur. Diagramdaki halkanın katkısı, integral ifadesi olarak iΠ(k2) = ˆ d4q 2π4 ( −igmt 2mw ) αα′ ( i[(/q − /k) +mt] (q − k)2 −m2 t + iϵ ) α′β′ ×( −igmt 2mw ) β′β ( i[/q +mt] q2 −m2 t + iϵ ) βα × (−1) , (4.7) yazılır. Burada g = e sinθw , zayıf etkileşime sabitidir1. Hesaplanan bu ifade, daha önce belirtildiği gibi, Higgs kütlesine olan kuantum düzeltmelerle ilişkilidir: 1 k2 −m2 H − ∏ (k2) . Casimir yöntemi kullanılarak ifade yeniden düzenlenirse, (4.7) ifadesi iΠ(k2) = − e2m2 t 4 sin2 θwm2 w ˆ d4q (2π)4 Tr [ [(/q − /k) +mt][/q +mt] ] (q2 −m2 t + iϵ)[(q − k)2 −m2 t + iϵ] , haline dönüşür. İfadenin pay ve paydasında yer alan q’nun derecesine bakıldığında, integralin payının q’ya göre altıncı, paydasının ise dördüncü dereceden olduğu görülür. Sınırların son- suza uzandığı göz önünde tutulduğunda integralin ıraksayacağı aşikardır. Bu güçlüğe rağmen integral hesaplanmak istenirse, regülarizasyon yapılarak integral alınabilir. Bu çerçevede işlemlere devam edilerek, ilk olarak ifade d boyutta yeniden yazılırsa iΠ(k2) = − e2m2 t 4 sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ ddq (2π)d Tr [ [(/q − /k) +mt][/q +mt] ] [q2 −m2 t + iϵ][(q − k)2 −m2 t + iϵ] , (4.8) biçimini alır. Burada d = 4 − 2ϵ, olup µ2ϵetkileşim sabitinin boyutsuz olması için eklen- miştir. Burada eklenen µ2 kütle teriminin Pauli-Villars yöntemindeki terimden farklı olduğu belirtilmelidir. Pauli-Villars yönteminde sonuca yansıyan kütle teriminin aksine boyutsal re- gülarizasyon için sonuçta böyle bir terimin belirmesi başlangıçtaki beklentiler arasında yer almaz ve bu kütleye fiziksel anlam atfedilmez. Yine, ϵ→ 0 durumunda µ→ 1 olduğundan, integral eski haline dönmüş olur. 1 Bu ifade, notasyon basitliği açısından tek renk için hesaplanacak; sonuç evresinde Nc = 3 faktörü göz önünde bulundurulacaktır. 49 (4.8) ifadesinin paydasını Feynman parametrizasyonu ile yeniden düzenlemek için q2 −m2 t = a , (q − k)2 −m2 t = b , tanımları yapılarak işe başlanabilir. Bu aşamadan sonra Feynman parametrizasyonu kullanı- larak 1 ab = ˆ 1 0 dx ˆ 1 0 dy δ(x+ y − 1) [ax+ by]2 = ˆ 1 0 dx 1 [ax+ (1− x)b]2 , (4.9) yazılıp, a ve b için yapılan tanımlar (4.9) ifadesinin paydasında kullanılarak ax+(1−x)b = [(q−k)2−m2 t ]x+(1−x)(q2−m2 t ) = k2x(1−x)−m2 t +(q−kx)2 , (4.10) formunda elde edilir. Bu sonuçlar yerlerine yerleştirildiklerinde Feynman parametrizasyonu tamamlanmış olur. Bu durumda (4.8) integralinin son hali iΠ(k2) = − e2m2 t 4 sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ ddq 2πd × Tr [ [(/q − /k) +mt][/q +mt] ] ˆ 1 0 dx [k2x(1− x)−m2 t + (q − kx)2 + iϵ]2 , şeklindedir. q’un sınırları±∞ olduğundan, q → q+kx, dönüşümü altında integralin sonucu değişmez. Bu dönüşüm altında integral iΠ(k2) = − e2m2 t 4 sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ 1 0 dx ˆ ddq 2πd × Tr [ [/q + (x− 1)/k +mt][/q + /kx+mt] ] 1 [k2x(1− x)−m2 t + q2 + iϵ]2 , (4.11) formuna gelir ki, paydada q’ya göre çift dereceden bir kuvvet elde edilmiş olur. Payda için B = −k2x(1− x) +m2 t , (4.12) kısaltması yapılırsa (4.11) iΠ(k2) = − e2m2 t 4 sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ 1 0 dx ˆ ddq 2πd × Tr [ [/q + (x− 1)/k +mt][/q + /kx+mt] ] 1 [q2 −B + iϵ]2 , olarak yazılabilir. Tr[γµγν ] = dgµν , T r[I] = d , 50 bağıntıları kullanılarak, payın “izi” (trace) Tr[/q + (x− 1)/k +mt][/q + x/k +mt] = Tr[γµγν ][qµ + kµ(x− 1)][qν + kνx] + Tr[I]m2 t = d [ gµν [qµqν + qµkνx+ kµqν(x− 1) + kµkν(x− 1)x] +m2 t ] , şeklinde bulumur. İntegral simetrik aralıkta ve payda q’ya göre çift dereceden bir ifade oldu- ğundan, pay’da bulunan q’ya göre tek dereceli terimler sonuca katkı vermezler. Yine pay’da bulunan qµqν terimi ise yalnızca µ = ν, durumu için katkı verir. Bu durumda (4.11) integra- linin son hali iΠ(k2) = −d e2m2 t 4 sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ 1 0 dx ˆ ∞ −∞ ( ddq (2π)d ) q2 + k2(x− 1)x+m2 t (q2 −B + iϵ)2 , olarak elde edilir. İntegrali basitleştirmek için sıkça kullanılan bir yöntem olanWick döndür- mesi ifadeye uygulanabilir. Wick döndürmesi Minkowski uzayını yapılan integrasyon dönü- şümüyle Euclid uzayına çevirir. Böylece uzay-zaman üzerinden alınan integral sadece uzay üzerinden alınır hale getirilebilir. Wick döndürmesi için gerekli olan q0 → iq0E , q⃗i → q⃗E ve dq0 → idq0E , dq⃗i → dq⃗E , dönüşümleri altında ifade iΠ(k2) = −id e2m2 t 4 sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ 1 0 dx ˆ ∞ −∞ ddqE (2π)d [(−q0E)2 − |q⃗E|2] + k2(x− 1)x+m2 t [−q0E2 − |q⃗E|2 −B + iϵ]2 , haline gelir ve gerekli düzenlemelerden sonra iΠ(k2) = −id e2m2 t 4 sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ 1 0 dx ˆ ∞ −∞ ddqE (2π)d −q2E + k2(x− 1)x+m2 t (q2E +B)2 , formuna ulaşılır. d boyutlu momentum uzayında küresel koordinatlar kullanılarak bu ifade iΠ(k2) = −id e2m2 t 4 sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ 1 0 dx × ˆ ∞ 0 dqE qd−1 E (2π)d [ −q2E + k2(x− 1)x+m2 t (q2E +B)2 ]ˆ d dΩ , (4.13) şeklinde yazılabilir. Burada açılar üzerinden alınan integral hesaplamak için, ilk olarak bir boyutta I = ˆ ∞ −∞ e−x2 dx = π 1 2 , bağıntısı hatırlanarak, d boyuta geçildiğinde bu integralin Id = ˆ ∞ −∞ ˆ ∞ −∞ ... ˆ ∞ −∞ e−x2 1e−x2 2 ...e−x2 ddx1dx2...dxd = πd/2 , (4.14) 51 formunda olduğu görülebilir. d boyutta küresel koordinatlara geçilmesi integralin açısal kıs- mının hesaplanmasına olanak sağlar. Bu durumda integral Id = ˆ d dΩd ˆ ∞ 0 rd−1e−r2dr , halini alır ve r2 = u , du = 2rdr→ dr = u−1/2 2 du, dönüşümleri ile Id = 1 2 ˆ d dΩd ˆ ∞ 0 u d 2 −1e−udu , (4.15) elde edilir. Bu durumda, (4.14) eşitliği ve Gamma Fonksiyonu’nun tanımından ˆ d dΩd = 2πd/2 Γ(d/2) , bulunur. Bu sonuç (4.13)’de yerine konulursa iΠ(k2) = − 2πd/2 Γ(d/2) id e2m2 t 4 sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ 1 0 dx × ˆ ∞ 0 dqE qd−1 E (2π)d [ −q2E + k2(x− 1)x+m2 t (q2E +B)2 ] , (4.16) elde edilir. (4.16) ifadesinde q’ya göre olan integrallerin, t = q2E B , B 1 2 2 t− 1 2dt = dqE , dönüşümleri ile Beta fonksiyonları formunda ifade edilebilmesi mümkündür. Beta fonksi- yonlarının ˆ ∞ 0 dx xm−1 (1 + x)m+n = Γ(m)Γ(n) Γ(m+ n) , Re(m),Re(n) > 0 , tanımından faydalanarak, q üzerinden integral alındığında iΠ(k2) = −id π d/2 (2π)d e2m2 tµ 2ϵ 2 sin2 θwm2 w × ˆ 1 0 dx [ − B d−2 2 Γ(d+2 2 )Γ(2−d 2 ) Γ(d/2)Γ(2) +k2(x−1)x B d−4 2 Γ(d 2 )Γ(2− d 2 ) Γ(d/2)Γ(2) +m2 t B d−4 2 Γ(d 2 )Γ(2− d 2 ) Γ(d/2)Γ(2) ] , sonucuna ulaşılır. Artık q üzerinden integral olmadığından, d = 4 − 2ϵ , ϵ → 0, dönüşümü yapılarak, integral yeniden dört boyuta aktarıldığında ve gerekli düzenlemelerle diagramdaki 52 halkanın katkısı iΠ(k2) = −i(2− ϵ)(4π) ϵ 25π2 e2m2 t sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ 1 0 dx [ −B1−ϵΓ(3− ϵ) Γ(2− ϵ) Γ(ϵ− 1) + [k2x(x− 1) +m2 t ]B −ϵΓ(2− ϵ) Γ(2− ϵ) Γ(ϵ) ] , ifadesine indirgenebilir. (4.12) kullanılarak iΠ(k2) = −i(4π) ϵ 25π2 e2m2 t sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ 1 0 dx(2− ϵ)B1−ϵ [ − Γ(3− ϵ) Γ(2− ϵ) Γ(ϵ− 1)+ Γ(2− ϵ) Γ(2− ϵ) Γ(ϵ) ] , bulunur. Gamma fonksiyonlarının Γ(x) = (x− 1)Γ(x− 1), özdeşliği kullanılarak, iΠ(k2) = −i(4π) ϵ 25π2 e2m2 t sin2 θwm2 w µ2ϵ ˆ 1 0 dx(2− ϵ)B1−ϵ [2− ϵ 1− ϵ + 1 ] Γ(ϵ) , ile ϵ içeren ve ϵ’un kuvveti olan terimler düzenlenirse iΠ(k2) = − i 25π2 e2m2 t sin2 θwm2 w ˆ 1 0 dx(2− ϵ)B ( 4πµ2 B )ϵ [ 2− ϵ 1− ϵ + 1 ] Γ(ϵ) , elde edilir. ϵ’un kuvvetini içeren terimler uygun biçimde açılarak; iΠ(k2) = − i 25π2 e2m2 t sin2 θwm2 w ˆ 1 0 dxB ×( 1 + ϵ ln 4πµ2 B + ϵ2 2 ln2 4πµ2 B + ... )( 1 + ϵ+ ϵ2 + .. )(1 ϵ − γ +O(ϵ) ) (2−ϵ) (3− 2ϵ) , ve ∆ϵ = 1 ϵ − γ + ln4π ve ϵ.∆ϵ = 1, olarak tanımlandığında bu ifade iΠ(k2) = iαm2 t 8π sin2 θwm2 w [ 6 ˆ 1 0 dxB∆ϵ+ 6 ˆ 1 0 dxB ln µ2 B − ˆ 1 0 Bdx ] , (4.17) haline indirgenebilir. Bu ifadede∆ϵ teriminin içinde bulunan 1 ϵ ifadesi, integralin sonsuzluk içeren kısmını, diğer terimler ise integralin fiziksel anlam atfedilen sonlu kısmını oluşturur- lar. Üst kuarkın katkısının kütlesi ile orantılı olduğu (4.17)’de açık olarak görünmektedir. Başlangıç evresinde bahsedildiği üzere, Standart Model’in en ağır kütleli parçacığı olması nedeniyle kuantum düzeltmelere en büyük katkı bu halka ifadesinden gelecektir. Öte yan- dan ifade sonsuzluk içerdiğinden, böyle bir sonucun bir bütün olarak nasıl fiziksel zemine oturtulacağı doğallık sorunu bağlamında tartışılabilir. 53 4.6.Passarino-Veltman Yöntemi ile Işınımsal Katkıların Sonsuzluk İçeren Kısımlarının Elde Edilmesi Bir önceki bölümde Feynman parametrizasyonu yöntemiyle Higgs bozonunun self enerji di- agramından ileri gelen integral hesaplanmıştı. Bulunan sonuç incelendiğinde, sonucun ırak- sak ve ıraksak olmayan iki kısımdan oluştuğu görülür. Passarino-Veltman yöntemi, bu iki kısımdan oluşan integralin ıraksak kısmının daha kolay ve hızlı bir şekilde hesaplanmasına olanak tanıyan bir yöntemdir [24]. Bu yöntemin altında yatan temel mantık, hesaplanması daha zor ve karmaşık olan tensörel integrallerin, sonuçları iyi bilinen skaler integrallere in- dirgenerek, sonucun bu skaler integraller cinsinden ifade edilmesidir. Skaler integrallerin ıraksak kısımlarının katsayıları bilindiğinden, hesaplanan halka integrallerin ıraksak kısım- ları, Feynman parametrizasyonu yöntemine göre daha kolay bir biçimde elde edilmiş olur. Önceki bölümde hesaplanan halka integral, boyutsal regülarizasyon yapılarak diagramdaki haliyle yazılırsa, (4.8) ifadesi Div [ iΠ(k2) ] = (−1)m 2 t m2 w g2 4 Div [ µ2ϵ (2π)4−2ϵ ˆ ddq Tr[(/q − /k +mt)(/q +mt)] [